【全国百强校首发】内蒙古赤峰二中2020-2021学年高一下学期第二次月考数学(理)试题
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【详解】
可根据题目所给不等式组 画出如图所示的平面区域，
得出 、 、 ，
再根据线性规划的相关性质对目标函数 进行平移，
可知当目标函数 过点 时取最小值，此时 ，故选B．
【点睛】
本题考查线性规划的相关性质，能否通过不等式组正确的画出可行域并在可行域中找出目标函数的最优解是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力，锻炼了学生的绘图能力，是中档题．
A． B． C． D．
9．数列 满足 ，对任意 ，都有 ，则 （）
A． B． C． D．
10． 中，角 的对边分别为 ，且 ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B．2C． D．
11．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ， ，若三棱锥 体积的最大值为2，则球 的表面积为( )
A． B． C． D．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证：平面P ；
22．已知数列 中, .
(1)求证： 是等比数列,并求数列 的通项公式；
(2)已知数列 ,满足 .
(i)求数列 的前 项和 ；
(ii)若不等式 对一切 恒成立,求 的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
根据分式不等式解法，化为一元二次不等式，进而通过穿根法得到不等式解集．
设公差为d＝2，三个角分别为、A、B、C，
则a﹣b＝b﹣c＝2，
a＝c+4，b＝c+2，
∵A＝120°．
∴cosA ．
∴c＝3，
∴b＝c+2＝5，a＝c+4＝7．
∴这个三角形的周长＝3+5+7＝15．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．注意余弦定理的合理运用，是中档题．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．如图， 是正方形， 是正方形的中心， 底面 ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积.
19．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 .
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和 的值.
【详解】
不等式 可化简为 且
根据零点和穿根法，该分式不等式的解集为
所以选A
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法，切记不能直接去分母解不等式，属于基础题．
2．B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据“ 、 是方程 的两根”计算出 的值，然后通过等比数列的相关性质得出 ，即可计算出 的值．
【详解】
因为 、 是方程 的两根，
因此，该三角形无解.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，考查推理能力，属于基础题．
4．B
【分析】
本题首先可以通过题目所给出的不等式组画出不等式组在坐标系中所表示的可行域，然后通过对目标函数进行平移即可找出可行域内使得目标函数取最小值的点为 ，最后将 代入目标函数中即可得出结果．
A．15B．18C．21D．24
7．南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示.现用一与下底面平行且与下底面距离为 的平面去截该几何体，则截面面积是（）
A． B． C． D．
8．在R上定义运算: ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的最大值为（）
【全国百强校首发】内蒙古赤峰二中【最新】高一下学期第二次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
2．在等比数列 中，若 ， 是方程 的两根，则 的值为（）
A． B． C． D．
20．某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式 ，已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.
(1)求k的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
21．在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， 平面 ， 分别为 的中点，且 .
7．D
【分析】
由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．
【详解】
由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径
12．若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
13．不等式 的解集为 或 ，则实数a的取值范围______．
14．等差数列{an}前n项和为Sn，公差d<0，若S20>0,S21<0,，当Sn取得最大值时，n的值为_______．
15．设 为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
5．B
【解析】
解：由题意可知： ，且： ，
由均值不等式有： ，当且仅当 时等号成立.
本题选择B选项.
6．A
【分析】
设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d＝2，推出a﹣b＝b﹣c＝2，a＝c+4，b＝c+2，利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．
【详解】
解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
3．在 中，已知 ， ， ，则此三角形的解的情况是（）
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
4．若 满足 ，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，且 ， ， 成等差数列，则 有
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
6．已知 的一个内角为 ，并且三边长构成公差为2的等差数列，则 的周长为（）
①若 ，则 ；
②若 且 则
③若 // ，则 ；
④若 // ，则
则上述命题中正确的是_________
16．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn= （an ），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[ ]=______．
三、解答题
17．已知数列 为等差数列， ；数列 是公比为 的等比数列， ， .
所以根据韦达定理可知 ，
因为数列Байду номын сангаас是等比数列，
所以 ， ，故选B．
【点睛】
本题考查等比数列的相关性质，主要考查等比数列中等比中项的灵活应用，若 ，则有 ，考查推理能力，体现了基础性，是简单题．
3．C
【分析】
利用正弦定理列出关系式，将 、 、 的值代入求出 的值，即可作出判断．
【详解】
由正弦定理得 ，得 ，
可根据题目所给不等式组 画出如图所示的平面区域，
得出 、 、 ，
再根据线性规划的相关性质对目标函数 进行平移，
可知当目标函数 过点 时取最小值，此时 ，故选B．
【点睛】
本题考查线性规划的相关性质，能否通过不等式组正确的画出可行域并在可行域中找出目标函数的最优解是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力，锻炼了学生的绘图能力，是中档题．
A． B． C． D．
9．数列 满足 ，对任意 ，都有 ，则 （）
A． B． C． D．
10． 中，角 的对边分别为 ，且 ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B．2C． D．
11．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ， ，若三棱锥 体积的最大值为2，则球 的表面积为( )
A． B． C． D．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证：平面P ；
22．已知数列 中, .
(1)求证： 是等比数列,并求数列 的通项公式；
(2)已知数列 ,满足 .
(i)求数列 的前 项和 ；
(ii)若不等式 对一切 恒成立,求 的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
根据分式不等式解法，化为一元二次不等式，进而通过穿根法得到不等式解集．
设公差为d＝2，三个角分别为、A、B、C，
则a﹣b＝b﹣c＝2，
a＝c+4，b＝c+2，
∵A＝120°．
∴cosA ．
∴c＝3，
∴b＝c+2＝5，a＝c+4＝7．
∴这个三角形的周长＝3+5+7＝15．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．注意余弦定理的合理运用，是中档题．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．如图， 是正方形， 是正方形的中心， 底面 ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积.
19．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 .
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和 的值.
【详解】
不等式 可化简为 且
根据零点和穿根法，该分式不等式的解集为
所以选A
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法，切记不能直接去分母解不等式，属于基础题．
2．B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据“ 、 是方程 的两根”计算出 的值，然后通过等比数列的相关性质得出 ，即可计算出 的值．
【详解】
因为 、 是方程 的两根，
因此，该三角形无解.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，考查推理能力，属于基础题．
4．B
【分析】
本题首先可以通过题目所给出的不等式组画出不等式组在坐标系中所表示的可行域，然后通过对目标函数进行平移即可找出可行域内使得目标函数取最小值的点为 ，最后将 代入目标函数中即可得出结果．
A．15B．18C．21D．24
7．南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示.现用一与下底面平行且与下底面距离为 的平面去截该几何体，则截面面积是（）
A． B． C． D．
8．在R上定义运算: ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的最大值为（）
【全国百强校首发】内蒙古赤峰二中【最新】高一下学期第二次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
2．在等比数列 中，若 ， 是方程 的两根，则 的值为（）
A． B． C． D．
20．某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式 ，已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.
(1)求k的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
21．在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， 平面 ， 分别为 的中点，且 .
7．D
【分析】
由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．
【详解】
由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径
12．若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
13．不等式 的解集为 或 ，则实数a的取值范围______．
14．等差数列{an}前n项和为Sn，公差d<0，若S20>0,S21<0,，当Sn取得最大值时，n的值为_______．
15．设 为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
5．B
【解析】
解：由题意可知： ，且： ，
由均值不等式有： ，当且仅当 时等号成立.
本题选择B选项.
6．A
【分析】
设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d＝2，推出a﹣b＝b﹣c＝2，a＝c+4，b＝c+2，利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．
【详解】
解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
3．在 中，已知 ， ， ，则此三角形的解的情况是（）
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
4．若 满足 ，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，且 ， ， 成等差数列，则 有
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
6．已知 的一个内角为 ，并且三边长构成公差为2的等差数列，则 的周长为（）
①若 ，则 ；
②若 且 则
③若 // ，则 ；
④若 // ，则
则上述命题中正确的是_________
16．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn= （an ），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[ ]=______．
三、解答题
17．已知数列 为等差数列， ；数列 是公比为 的等比数列， ， .
所以根据韦达定理可知 ，
因为数列Байду номын сангаас是等比数列，
所以 ， ，故选B．
【点睛】
本题考查等比数列的相关性质，主要考查等比数列中等比中项的灵活应用，若 ，则有 ，考查推理能力，体现了基础性，是简单题．
3．C
【分析】
利用正弦定理列出关系式，将 、 、 的值代入求出 的值，即可作出判断．
【详解】
由正弦定理得 ，得 ，