中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案

中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案

一、二次函数

1．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．

（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；

（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；

（3）M1113

+

0）、N1131）；M2

113

+

，0）、N2（1，﹣1）；M3

（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，

3m），代入所设解析式求解可得；

（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且

∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证

△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．

【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴点C的坐标为（0，3），

将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：

20

3

a a c

c

++=

⎧

⎨

=

⎩

，

解得：13a c =-⎧⎨=⎩

，

∴抛物线C 1的解析式为y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4， 所以点G 的坐标为（1，4）；

（2）设抛物线C 2的解析式为y=﹣x 2+2x+3﹣k ，即y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ， 过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，

∵△A′B′G′为等边三角形， ∴G′D=3

B′D=3m ，

则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ）， 将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：

2

40

43m k k m

⎧-+-=⎪⎨

-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231

m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，

∴k=1；

（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2）， ∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，

如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，

则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ ≌△PQN ， ∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ， ∴∠MOQ=∠HQN ，

∴△OQM ≌△QNH （AAS ）， ∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1， 解得：x=

113

2

±（负值舍去）， 当x=

1132+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （113

2

+，0）， ∴点N 坐标为（1132++131

2

-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（

113+﹣131-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，

同理可得△OQM ≌△PNH ，

∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1， 解得：x=﹣1（舍）或x=4，

当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，

∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M 1113+0）、N 1131）；M 2113

+0）、N 2（1，﹣1）；M 3

（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．

【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.

2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值.

(2)求支柱MN 的长度.

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

【答案】（1）y=-350

x 2

+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】

试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．

（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．

试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).

将B 、C 的坐标代入2

y ax c =+，得 6,

0100.c a c =⎧⎨=+⎩

解得3

,650

a c =-

=. ∴抛物线的表达式是2

3650

y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是23

56 4.550

N y =-

⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.

(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).

过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050

H y =-

⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

3．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)