数列中不等式恒成立问题【原卷版】

第二章 数列与不等式

专题09 数列中不等式恒成立问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.

本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．

(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．

【压轴典例】

例1.（2019·浙江高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每

12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2

）记,n C n *=

∈N

证明：12+.n C C C n *++<∈N

例2. （2018·浙江高考模拟）数列满足

，

，……，

（1）求，，，的值； （2）求与

之间的关系式

；

（3）求证：

例3. （2019·河南高考模拟（理））已知数列

}{n

b 的前n 项和为n

S

，

2

n n S b +=，等差数列

}{n

a 满足

123

b a =，

157

b a +=

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b +++

+<.

例4.（2016高考浙江理）设数列{}n a 满足1

12

n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1

1

2

2n n a a

-≥-，n *∈N ；

（II ）若32n

n a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *

∈N ．

例5.（2019·河北石家庄二中高考模拟（理））已知等比数列{}n a 满足1,23428n n a a a a a +<++=，且32

a +是

24

,a a 的等差中项.

()1求数列{}n a 的通项公式；

()2若1,2

log n n n b a a = 12

···+b n n S b b =++，对任意正整数n ，()10n n S n m a +++<恒成立，试求m 的取值范围.

例6.（2019·江苏高考模拟）已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，且2S 6＜S 3． （1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d ，求

1

a d

的取值范围； （2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），求a 1⋅q 的取值范围． 例7. （2017·高考模拟（理））已知数列{}n a 前n 项和n S ，点()(

)*

,n n S n N ∈在函数2

1

1

2

2

y x x =+

的图象上．

(1)求{}n a 的通项公式；

(2)设数列21n n a a +⎧

⎫⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，不等式1

log (1)3n

a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围．

例8.（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列{}n a 中，首项为

1

2

，其前n 项和是n S ，且

335441

,,2

a S S a S ++成等差数列,数列{}n

b 满足条件

(n

b 123n

12.a a a a =

(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设 1

n n n

c a b =-

,记数列{}n c 的前n 项和 n T . ①求 n T ;②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有 k n T T ≥.

【压轴训练】

1．(2018·郑州模拟)已知数列{}n a 满足123n a a a a ⋯=2

n 2(n ∈N *

),且对任意n ∈N *

都有

12111......n

t a a a ++<,则实数t 的取值范围为 ( ) 1.(.)3A +∞ 1.[.)3B +∞ 2.(.)3C +∞ 2

.[.)3

D +∞ 2.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，

，

，

对一切

恒成立，则的取值范围为__ __.

3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；

(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n

k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围． 4.(2019·湖北黄冈调研)数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝

n ＋1

2n

a n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n

4n －a n

，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.

5.(2019·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7. (1)求{a n }的通项公式；

(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值．

6. （2019·临川一中实验学校高考模拟（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足

()2212n n n S a a n *+=+∈N ．

（1）求数列{}n a 的通项公式；