反函数问题

反函数问题
四川省成都玉林中学 周先华
函数与其反函数是一对对立而又统一的事物。对函数的反函数的研究，不仅丰富了函数的内容本身，而且对于更好的理解事物的对立统一也具有哲学意义。在高考中，对反函数的考察是作为对函数知识考察的一个十分重要的内容，常以下列题型出现：
一． 求函数的反函数
1.求一般函数的反函数的基本步骤
例1.求函数的反函数。
分析：由知y2=1-x2(-1≤y≤0)，则x2=1-y2，由于-1≤x≤0，所以x(-1≤y≤0)，所以反函数为。
点评：由反函数的定义，求反函数的定义，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y)；（2）交换x=Ф(y)中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）。
2.求分段函数的反函数
例2.求函数的反函数。
分析：由y=x2，得x= -，即y=x2(x<0)的反函数为y= -(x>0)；由y=（x≥0）的反函数为y= -2x（x≤0）。因此原函数的反函数为y=
点评：分段函数要分段求，最后再用分段函数形式表示出来。
二． 利用反函数的概念求函数值
例3.若f(2x-1)=x+1，则= 。
分析：令x+1=2，则x=1，则2x-1=1即f(1)=2，因此=1.
点评：此题是否不必有求反函数的解析式呢？由上解答看出是不必要的。充分利用反函数的性质：
f(a)=b即可解决此类问题。
三． 求原函数与其反函数的交点
例4.若f(x)=与都过（1，2）点，则f(x)与图象交点的个数为 个。
分析：解方程组解得a=-3,b=7，则f(x)=。由f(x)与的图象关于直线y=x对称知f(x)与均过（2，1）点，又因为2条曲线与y=x交点也是同一点，故共有3个交点。
点评：函数f(x)与的交点若为（a,b），则点（b,a）也为它们的交点；
四． 利用函数与其反函数的图象的对称性
例5.函数f(x)=，的单调减区间是 。
分析：（1）设u=4-x2，=，令u>0，4- x2>0，得-2 （2）f(x)在定义域内为减函数，由于原函数与其反函数的图象关于y=x对称，单调性不变，则其反函数在定义域内也为减函数；因此只需考虑4- x2的增区间，由复合函数"同增异减"可得4- x2的增区间即为的减区间。解法同上。
点评：（1）函数y=f(g(x))，若y=f(x)是递减的，则u=g(x)的增区间就是y=f(g(x))的减区间，u=g(x)的减区间就是y=f(g(x))的增区间；（2）互为反函数的两个函数在对应的区间内的单调性相同（对应区间指原函数的定义域区间对应为反函数的值域区间）。
五． 证明函数是否具有反函数
例6.f(x)=。
（1）证明函数f(x)有反函数，并

求出反函数。
（2）反函数的图象是否经过（0，1）点？反函数的图象与y=x有无交点？
（3）设反函数为y=,求不等式≤0的解集。
分析：（1）欲证函数有反函数，需证函数在定义域范围内严格单调。显然，f(x)的定义域为正实数集；令00，即f(x)在正实数集上是增函数，则f(x)有反函数，且x>0时，，即的定义域为R，则y=解得，，所以=（x∈R）；（2）过程略。经过点（0，1）；无交点（3）解集为空集。
点评：函数有反函数的一个充要条件是函数严格单调。因此判断函数有无反函数，只需证明函数在定义域内是严格单调增或严格单调减即可。
练习：
1.求函数y=x -2(x<0)的反函数。
2.若f(x)=lnx，求。
3.函数y=-f(x)与y=-的图象关于 对称。
答案：1. 2. 3.y=-x
参考文献：
李盘喜。高中数学解题题典。东北师范大学出版社。


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