第11章 §11.2 第2课时 正弦定理的应用2021新高考

第2课时 正弦定理的应用

学习目标 1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.2.理解三角形面积公式及解三角形的含义.3.能用正弦定理解决简单的实际问题．

知识点一 三角形面积公式

在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝1

2bc sin

A ＝1

2

ca sin B .

知识点二 仰角与俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．

1．公式S ＝1

2ab sin C 适合求任意三角形的面积．( √ )

2．在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 3．仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角．( √ )

一、判断三角形形状

例1 (1)已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形

答案 A

解析 由正弦定理得，a cos B ＝b cos A ⇒sin A cos B ＝sin B cos A ⇒sin(A －B )＝0，由于－π＜A －B ＜π，故必有A －B ＝0，即A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．

(2)在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 解 根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ，

∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．

∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，

∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.

又－90°＜B －C ＜90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．

反思感悟 判断三角形形状的方法及注意事项

(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 跟踪训练1 (1)在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 是锐角，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形

答案 D

解析 由3b ＝23a sin B ，得b sin B ＝23a 3，根据正弦定理，得b sin B ＝a sin A ，所以a sin A ＝23a 3，

即sin A ＝

3

2

.又角A 是锐角，所以A ＝60°.又cos B ＝cos C ，且B ，C 都为三角形的内角，所以B ＝C .故△ABC 为等边三角形，故选D.

(2)在△ABC 中，若a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，则此三角形为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形

答案 C

解析 在△ABC 中，由a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，以及正弦定理可知，sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin 2B ，即sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，∵0

2，∴三角形

为直角三角形，故选C. 二、三角形面积公式及其应用

例2 (1)(多选)在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 答案 AC

解析 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，

又AB ·sin B

2AB ·AC ＝23；

当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝1

2AB ·AC ·sin A ＝ 3.

所以△ABC 的面积为23或 3.

(2)在△ABC 中，角A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则sin B ∶sin C ＝________. 答案 1∶4

解析 因为S △ABC ＝1

2

bc sin A ，

所以c ＝2S △ABC b sin A ＝231×

3

2＝4，由正弦定理b sin B ＝c

sin C ，

得sin B ∶sin C ＝b ∶c ＝1∶4. (学生留)

反思感悟 对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1

2bc sin A ，总的概括为两边与夹角正弦乘积

的一半．一般是已知角A 就选S ＝1

2bc sin A ，但也要结合具体条件，要根据解题目标和其他条

件()

如已知条件中角的大小选取对解题有利的面积公式．如已知a ，c ，就以选S ＝1

2

ac sin B

为宜．

跟踪训练2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＝2，B ＝π

6，C

＝π

4，则c ＝________，△ABC 的面积为___________． 答案 22

3＋1

解析 由正弦定理得，c ＝b sin C

sin B

＝2 2.

又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋2

4，

所以△ABC 的面积为S ＝1

2

bc sin A ＝3＋1.

(2)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1

3，S △ABC ＝43，则b ＝________.

答案 2 3

解析 ∵cos C ＝1

3，

∴0°

1－⎝⎛⎭⎫132＝22

3，

又S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32b ×22

3＝43，

∴b ＝2 3.

三、用正弦定理解决简单的实际问题

例3 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 为____ m.

答案 5(3＋1)

解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x ) m ．∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝3

3.

解得x ＝5(3＋1)．

∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1)m.