常微分方程数值解法

第三章 常微分方程数值解法

一、考核知识点：

欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法，单步法的收敛性与稳定性。

二、考核要求：

1．熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法求微分方程近似解的方法。

2．了解龙格-库塔法的基本思想；掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的方法。

3．了解单步法的收敛性、稳定性与绝对稳定性。

三、重、难点分析

例1 用欧拉法，预估——校正法求一阶微分方程初值问题

⎩

⎨⎧=-='1)0(y y x y ，在0=x （0.1）0.2近似解 解 （1）用1.0=h 欧拉法计算公式

n n n n n n x y y x y y 1.09.0)(1.01+=-+=+，1.0=n

计算得 9.01=y 82.01.01.09.09.02=⨯+⨯=y

（2）用预估—校正法计算公式

1,0)(05.01.09.0)0(111)0(1=⎩⎨⎧-+-+=+=++++n y x y x y y x y y n n n n n n n n n

计算得

91.01=y ，83805.02=y

例2 已知一阶初值问题

⎩⎨⎧=-='1

)0(5y y y 求使欧拉法绝对稳定的步长h 值。

解 由欧拉法公式

n n n n y h y h y y )51(51-=-=+

n n y h y ~)51(~1-=+

相减得 01)51()51(e h e h e n n n -==-=- 当 151≤-h 时，4.00≤

例3 欧拉法的局部截断误差的阶为 。

改进欧拉法的局部截断误差的阶为 。

三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。

例4 欧拉法的绝对稳定实区域为 。

二阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。