函数的单调性与曲线的凹凸性教案

x
f ( x )
1 ( , ) 2
1 2
1 ( , ) 2

凹
0
拐点
1 arctan 1 2 ( ,e ) 2

凸
f ( x)
1 1 曲线在 ( , ] 上是凹的, 在 [ , ) 上是凸的. 2 2 1 1 arctan 2 故点 ( , e ) 是拐点. 2
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f (1) f (0) f ( ) (0 1)
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2. 曲线 y 1 e
x2
( 1 , 的凹区间是 2
1 , ) 2
1 ) 2
;
凸区间是 ( , 1 ) 及 ( 2
拐点为 (
1 1 ,1 e 2 ) 2
;
.
提示: y 2 e
arctan x
1 2x arctan x e 2 2 (1 x ) (1 x 2 )2
1 2x (1 x 2 )2
e
arctan x
令y 0,
1 得x . 2
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y e arctan x
1 2x , 2 2 (1 x )
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定理2.(凹凸判定法) 设函数 (1) 在 I 内
在区间I 上有二阶导数
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内
例3. 判断曲线
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .
的凹凸性.

y
y 4 x 3 , 解:
故曲线 在 上是向上凹的. O
x
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1
0
(1 , 2)


2 0 1
( 2 , )
2
y
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1 的单调减区间为 (1 , 2). O
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1 2 x
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说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
O y
x
y , y
2．求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 3．判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点
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练习2：P153 9(5)
求曲线y e
解:
arctan x
的凸凹区间及拐点。
y e
arctan x
D (, ),
1 1 x2
y e
所以函数y arctan x x在(, )上单调减少.
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又如, y x sin x在( , ) 内可导,且
y 1 cos x
处成立,
等号只在 x (2k 1) ( k 0, 1,) 故 y x sin x在( , ) 内单调增加.

2
因此 从而
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利用单调性证明不等式的步骤：
① 将要证的不等式作恒等变形（通常是移项）使 一端为0,另一端即为所作的辅助函数f(x).
② 求 f ( x ) ,验证f(x)在指定区间上的单调性.
③ 与区间端点处的函数值作比较即得证.
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当 0 x 时 证明：sin xtan x2x . 证明: 设 f(x)sin xtan x2x 则f(x)在 [0, )内连续
36 x( x 2 ) 3
( 2 , 11 ) 3 27
3
2) 求拐点可疑点坐标 3) 列表判别
01 0 得 x1 0 , x2 2 , 对应 y1 (,1), y2 11 令y 3 2 27
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3

( 2 , ) 3 0
内容小结
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增
在 I 上单调递减
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
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x2
(1 2 x 2 )
第五节 目录
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备用题
x 1 1. 求证曲线 y 2 有位于一直线的三个拐点. x 1 1 2x x2 ( x 2 1) ( x 1)2 x 证明：y 2 2 ( x 1) ( x 2 1) 2
(2 2 x) ( x 2 1) 2 (1 2 x x 2 ) 2( x 2 1) 2 x y ( x 2 1) 4 2( x 3 3x 2 3x 1) ( x 2 1) 3 2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) ( x 2 1) 3
40
20
40
20 20
20
40
40
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例2. 确定函数
的单调区间.
( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: f
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
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60(2 x 1)( x 1) 1 y (4 x 3 9 x 2 6 x )2 2
1 令y 0，得驻点为x 1， ， x 且 2
0为不可导的点.
1 ( ,1) 2
(1, )
x
f ( x )
f ( x)
(, 0)
1 (0, ) 2
例4. 求曲线
的拐点.
2 3
解: y 1 x 3
2 , y 9 x
5 3
( , 0) 0 不存在 y y 凹 0
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
x
(0 , )

凸 的拐点 .
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例5. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
y 12 x3 12 x 2 ,
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令 y 0 得
x1 1 , x2 2 3 ,
从而三个拐点为
x3 2 3
(1 , 1) , (2 3 , 1 3 ) , (2 3 , 1 3 ) 84 3 84 3
2 3 1
1 3 1 1 8 4 3
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练习1：P153 3(3) 10 确定函数y 3 的单调区间。 2 4x 9x 6x
10 10 解: y 4 x 3 9 x 2 6 x x(4 x 2 9 x 6)
定义域为D (, 0) (0, ),
10 60(2 x 2 3 x 1) y ( 3 ) 2 (4 x 3 9 x 2 6 x )2 4x 9x 6x 60(2 x 1)( x 1) (4 x 3 9 x 2 6 x )2
作业
P152 3 (1),(3) ; 5 (1), (3) ; 8 (1), (3) ; 9 (1),(2) ;
预习：第五节，第六节
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思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
因为
4
=
2 3 1
1 3 1 8 4 3
所以三个拐点共线.
x 1 y 2 x 1
y 2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) ( x 2 1)3
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π 2 证明: 当 0 x 时, 有 sin x x . 2. 2 π 2 π 证明: 令 F ( x) sin x x , 则 F (0) 0, F ( ) 0 π 2 2 y (x) cos x F π F (x) F ( x) sin x 0 F (x) 是凸函数 O π F (x) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即 π




1 1 该函数的单调减区间为( , 0)， )， )；单调增区间( ,1). (0, (1, 2 2
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例3. 证明
时, 成立不等式
sin x 2 证: 令 f ( x) , x π
且
证 x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 x2 x
y x3
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
O
x
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总结求函数的单调区间的步骤: 1．写出函数的定义域，并求出函数的导数
2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点)
3．以导数等于零的点、不可导点为分点， 把函数的定义域区间分成若干个区间， 并确定导函数在各个区间内的符号， 从而确定函数在每个区间内的单调性。
2
2
练习2：P153 5(3)
且 f (x)cos xsec2x2 , f (0)0 ,
( x ) sin x 2sec2 x tan x sin x(2sec3 x 1) 0 f
从而f (x)在[0,

从而f(x)在 [0, ) 内单调增加 2 因此当 0 x 时 f(x)f(0)0 sin xtan x2x0 也就是 sin xtan x2x
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
提示: 利用 f ( x) 0 f ( x) 单调增加 , 及
第三章 第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点
一阶导数和二阶导数在函数图像中的应用
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一、 函数单调性的判定法
定理 1.
推论:
如果f ( x )连续, 且除有限个(或可数个)点外,
f ( x ) 0或( f ( x ) 0), 则函数f ( x )单调递增(递减). 例1. 判定函数y arctan x x的单调性. 2 1 x 1 0. 且仅当x 0时，y 0. 解：y= 2 2 1 x 1 x
tan x
x 1
因此 从而
证明 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 证明
时, 成立不等式
所以g( x ) g(0) 0， 故f ( x ) 0.
令g( x ) x cos x sin x , 则g( x ) x sin x 0, 0 x
sin x 2 证: 令 f ( x) , x π x cos x sin x 且 f ( x ) ， 2 x
2 3 11 27
凸
凹
( , 0) 及 ( 2 , ) 上向上凹, 在 (0 , 2 ) 上 故该曲线在 3 3 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 , 11 ) 均为拐点. 向上凸 , 3 27
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确定曲线
的凹凸区间和拐点的步骤
1．写出函数的定义域，并求出函数的导数
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说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 . 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
的一个拐点.
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2
) 内单调增加 所以f (x)f (0)=0
2
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是凹的; (2) 若恒有
B
则称
Байду номын сангаас
则称
A 图形是凸的 .
连续曲线上有切线的凹凸分界点
yy 拐点 y
称为拐点 .
O O O
x x x xx1 x1 1 2 2 xx2 xx 1 2 x 22