管内流体流动的基本方程式

= 1.15m/s
管3a及3b的内径为 d3 = 57 − 2 × 3.5 = 50mm
又水在分支管路3a、3b中的流量相等，则有 u2 A2 = 2u3 A3
即水在管3a和3b中的流速为
u3
=
u2 2
(d2 d3
)2
=
1.15 (100)2 2 50
=
2.30m/s
1.2.4 机械能守恒(伯努利方程) Mechanical energy conservation
③ 质量流速 （mass velocity ）
单位时间内流经管道单位截面积的流体质量。
=G q=m qV=ρ ρu
AA
G又称为质量通量(mass flux)
kg/（m2·s）
④流量 与流速 的关系（The relationship of flow rate and flow velocity)：
= qm ρ= qV ρ= uA GA
1.2.3 质量守恒方程（连续性方程）
Mass conservation（Equation of continuity）
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算
2 1
1’
2’
衡算范围：截面1-1’与截面2-2’间 衡算基准：单位时间
物料衡算：输入量－输出量＝累积量(accumulation ）
保持不变 。
将(1)式各项同除重力加速度g :
z + 1 u2 + p = Const.
2g ρg
式中各项单位为 J/kg = J N = m
N/kg
z ——位压头
u2
——动压头
2g
p ——静压头 ρg
总压头
（2）
二、理想流体管流的机械能守恒
理想流体 （1)μ＝0，τ＝0，无阻力损失 （2) 均匀流段截面上各点的总势能相等 （3) 截面上速度分布均匀，各点的动能相等
d1 = 89 − 2 × 4 = 81mm
1
2
3a
则水在管1中的流速为
u1
=
VS
π 4
d12
=
9 ×10−3 0.785 × 0.0812
= 1.75m/s
管2的内径为 d2 = 108 − 2 × 4 = 100mm
3b 附图1－3
由连续性方程，则水在管2中的流速为
u2
=
u1
(
d1 d2
)
2
= 1.75 × ( 81 )2 100
分析：
求流量qv
已知d
qv
=
3600u ⋅ π
4
d2
求u
直管 任取一截面
气体
判断能否应用？
柏努利方程
解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’ 截面1-1’处压强 ：
P1 = ρHg gR = 13600 × 9.81× 0.025= 3335Pa(表压）
截面2-2’处压强为 ：
P2 = −ρgh = −1000× 9.81× 0.5 = −4905Pa(表压）
例:以7m3/h的流量输送自来水，试选择合适的管路。 解：1.据经验值，选择流速u=1.2m/s 2.计算管内径d
d = 4qv =
4× 7 = 45.4 mm
πu 3600×π ×1.2
3.查附录 (热轧无缝钢管)，选择管子规格为φ57×5mm的 管路。
4.核算流速： ub=qv/A=4qv/(πd2)=4×7/(3600×π×0.0472)=1.12 m/s
二、柏努利方程式的应用
(Application of Bernoulli equation)
1、应用柏努利方程的注意事项
1）作图并确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方
向，定出上下截面，以明确流动系统的衡标范围。 2）截面的截取
两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是 连续的，所求得未知量应在两截面或两截面之间，截面的
p1
ρ
+
u12 2
+ he
=
gz2 +
p2
ρ
+
u22 2
+
hf
P
ρ
1
+
u12 2
+
he
=
P2Байду номын сангаас
ρ
+
u22 2
+
hf
实际流体的Bernoulli方程
1. 柏努利方程的不同形式
（1）以单位质量1kg流体为衡算基准,
J/kg
gz1
+
u12 2
+
p1
ρ
+ he
=
gz2
+ u22 2
+
p2
ρ
+ hf
总机械能 Et
Bernoulli方程可以直接推广应用于理想流体的管流
gz + p + u 2 = 常数
ρ2
或
gz1 +
p1
ρ
+
u12 2
=
gz2
+
p2
ρ
+
u22 2
管流中的流线
或
P1 + u12 = P2 + u22
ρ2 ρ2
Geometric significance of Bernoulli equation
5）当体系无外功，且处于静止状态时
gz1
+
p1
ρ
=
gz2
+
p2
ρ
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对
压强变化小于原来压强的20%，
即：p1
− p2 p1
＜20%时
仍可使用Bernoulli方程。式中流体密度应以两截面之间流体
的平均密度ρm代替 。
在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致 的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外， 还要求表示方法一致。
2、柏努利方程的应用
1）确定流体的流量 例：20℃的空气在直径为800mm
的水平管流过，现于管路中接一文丘 里管，如本题附图所示，文丘里管的 上游接一水银U管压差计，在直径为 20mm的喉径处接一细管，其下部插 入水槽中。空气流入文丘里管的能量 损失可忽略不计，当U管压差计读数 R=25mm，h=0.5m时，试求此时空气 的流量为多少m3/h? (当地大气压强为 101.33×103Pa)
有关物理量Z、u、p等除了所求的物理量之外 ，都必须是已
知的或者可以通过其它关系式计算出来。
3）基准水平面的选取 所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平
行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个 截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水 平面通过管道中心线，ΔZ=0。 4）单位必须一致
uA = u1 A1 + u2 A2 qm
qm2
［例1－3］如附图所示，管路由一段φ89×4mm的管1、一段φ108×4mm 的管2和两段φ57×3.5mm的分支管3a及3b连接而成。若水以9×10－3m3/s的 体积流量流动，且在两段分支管内的流量相等，试求水在各段管内的速度。
解： 管1的内径为
思考： 如果管道有分支，则稳定流动时的理想流体的Bernoulli
方程式又如何？
单位质量的柏努利方程式:
3
Et1=Et2+Et3 是否成立?
1
如不成立,正确的应该如何?
2
Et1=Et2＝Et3
1.2.5 实际流体的机械能衡算式
一、 实际流体的机械能衡算式
µ ≠ 0,τ ≠ 0,有阻力损失
gz1 +
Pa
ρ gz1 + ρ
u12 2
+
p1 +
pT
=
ρ gz2
+ρ
u22 2
+
p2
+ ρhf
其中
pT = heρ
为输送设备（风机）对流体1m3所提供的能量（全风压）， 是选择输送设备的（风机）重要的性能参数之一。
2. Bernoulli方程的讨论
1）适用条件：不可压缩、连续、均质流体、等温流动 Incompressible, continuous, homogeneous fluid, isothermic flow 2）Bernoulli方程表明：理想流体做稳定流动，没有外功加入 时，任意截面上单位质量流体的总机械为一常数。 3）对于实际流体，在管路内流动时，应满足：
（1）
——伯努利方程式
（1）适用于重力场中连续的同种不可压缩的理想流 体；
（2）物理意义：
zg ——单位质量流体所具有的位能，J/kg
p ——单位质量流体所具有的静压能，J/kg ρ u2 ——单位质量流体所具有的动能，J/kg
2
流动的流体中，存在着三种形式的机械能，
即位能、静压能和动能，三者可以转换，其总和
2、流速（Flow velocity）
单位时间内流体在流动方向上所流经的距离。
流速u，单位：m/s ① 点流速（Particle velocity ）
同一截面上各点速度不等。 管壁处为零，中心最大。 ② 平均流速（Mean flow velocity）
uA = ∫ u ⋅ dA = qV A u = qV / A
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P1 − P2 = − (101330 + 3335) − (10330 − 4905)
P1
(101330 + 3335)
= 0.079 = 7.9% < 20%
（2）以单位重量1N流体为衡算基准。
将上式各项除以g,则得:
z1
+
u12 2g
+
p1
ρg
+
He
=
z2
+
u22 2g
+
p2
ρg
+
H
f
m
位动 静
外
头压 压
加
头头
压
头
压 头 损 失
（3）以单位体积1m3流体为衡算基准。
gz1
+
u12 2
+
p1
ρ
+ he
=
gz2
+
u22 2
+
p2
ρ
+ hf
•将上式各项乘以流体密度ρ,则：
流速在1～1.5m/s范围内，故管路选择合适。
1.2.2 稳态流动与非稳态流动
稳态流动：各截面上的温度、压力、流速等物理量 仅随位置变化，而不随时间变化；
T , p, u = f ( x, y, z)
非稳态流动：流体在各截面上的有关物理量既随位 置变化，也随时间变化。
T , p, u = f ( x, y, z,θ )
(Bernoulli equation)
假定流体为理想流体，粘度为0，则机械能守恒
牛顿第二定律
F = ma
一、伯努利方程式
在x方向上对微元段受力分析：
（1）两端面所受压力分别为 pA 及 − ( p + dp) A
（2）重力的分量 gdm sinθ = gρAdx sinθ = gρAdz
θ dz gdm
3. 管径的计算（calculation of pipe diameter）
Cost
对于圆形管道
q=v
u=A
1 π d 2u
4
Total cost
Operating cost
d = 4qV
πu 流量qV一般由生产任务决定。 流速选择：
Equipment cost
uopt
u
u ↑→ d ↓ →设备费用↓ 流动阻力↑ →动力消耗↑ →操作费↑
故合力为 pA − ( p + dp) A − gρAdz = − Adp − gρAdz
动量变化率
qmdu = ρAudu
动量原理
ρAudu = − Adp − gρAdz
gdz + dp + udu = 0
ρ 不可压缩性流体，ρ = Const.
zg + 1 u2 + p = Const.
2ρ
第二节 管内流体流动的基本方程式
1.2.1 流量与流速 1.2.2 稳态流动与非稳态流动 1.2.3 连续性方程式 1.2.4 伯努利方程式 1.2.5 实际流体的机械能衡算式
1.2.1 流量与流速
1. 流量（Flow rate）
① 含义：单位时间流过管道任一截面的物质量。 ② 体积流量（volume flow rate） 单位时间内流体流过管道任一截面的体积. qV——m3/s或m3/h ③ 质量流量（mass flow rate） 单位时间内流体流过管道任一截面的质量. qm——kg/s或kg/h ④ 换算关系：qm＝qv·ρ
均衡 考虑
qv由生产任务指定，关键在于流速的选择： •u↓，d↑，操作费↓，设备费↑ •u↑，d↓，操作费↑，设备费↓
∴适宜的流速按总费用最低的原则选取，但经济衡算非 常复杂，故常通过经验值选择。
管径计算步骤
1.据经验值选择一适宜的流速u； 2.计算管内径d； 3.圆整，按照管子规格选用具体的管路。管子规格表示方 法为φ圆管外径×壁厚。 4.核算流速 是否在经验范围内
q=v
qm=
ρ
u1 A=1
u2 A=2
=
uA=
Const.
——一维稳定流动的不可压缩流体的连续性方程
对于圆形管道，
u1
π
4
d12
=
u2
π
4
d22
∴ u1 u2
=
d2 d1
2
表明：qv一定, 流速与管径的平方成反比。
思考：
如果管道有分支，则稳定流动时的连续性方程又如何？
qm = qm1 + qm2
qm1
而对连续稳定操作：累积量＝0，故 qm1 = qm2
u1 A1ρ1 = u2 A2ρ2
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：
qm= u1A1ρ=1 u2 A2ρ=2 = uAρ= Const.
Equation of continuity
若流体为不可压缩流体（Incompressible fluid）
若流动系统无外加轴功，即 he=0，则 Et1 = Et2 + hf
由于 hf>0，故 Et1> Et2
上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。
4） he和Σhf： 流体流动过程中所获得或消耗的能量 he：输送设备对单位质量流体所做的有效功，
Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功率
Ne = he ⋅ qm = he ⋅ qv ⋅ ρ