管内流体流动的基本方程式
1.2 管内流体流动的基本方程式
1
2
继续将柏努利方程式扩展到理想流体的管流：
Z 、P 、u 均取管截面上的平均值即可，即上式可以不加修改
地推广应用于理想流体的管流，方程式的形式无需变化，因为理 想流体的每条流线速度相等 。 注意：尽管该方程式已经扩展到管流，但是，仍然是以单位流体 的能量来表示的，与管流量的大小无关。得到了机械能守恒这一 重要规律，更有意义的是建立起了“1-1”截面与“2-2”截面之间流 2013-7-15 9 第 1 章 流体流动 动参数的关系。
五、实际流体管流的机械能衡算方程式 将柏努利方程式扩展到描述实际流体的管流时，必须考虑： （1）Z 、P 应取管截面的平均值； （2）自管流的截面1流到截面2的机械能损失； （3）自管流的截面1 流到截面2 有时需要外加入机械能； （4）管流截面上的单位kg流体的动能应该取平均值。
u2 1 2 qm
2013-7-15 第 1 章 流体流动 23
2013-7-15
第 1 章 流体流动
24
例2：如图所示，30oC的水由高位槽流经直径不等的两管段。上部细管直径为 20mm ，下部粗管直径为36mm 。不计所有阻力损失，管路中何处压强最低？该处 的水是否会发生汽化现象？ 解：1）根据机械能衡算式判断何处压强最低
pA ( p d p)A gA d z d x
x方向上动量的变化速率为
x方向上力的代数和为
( p d p)A
u du
qm d u Au d u
u pA
dz
dz sin dx
singA d x
g d m gA d x
pA ( p d p)A gA d z Au d u
层流时α=2 ；湍流时α≈1
流体流动的基本方程
主要研究流体在管路中的流动，
质量守恒
讲
遵循着三大守恒定律 动量守恒
不讲
能量守恒
讲
1.2.1、流量与流速
1、定义 体积流量qv： 单位时间流过管路任一截面的流体体积。 质量流量qm： 单位时间流过管路任一截面的流体质量。 流 速u： 体积流量除以管截面积所得之商。（平均流速） 质量流速G： 质量流量除以管截面积所得之商。
同的
3. 管路直径的初步确定
u
qv A
qv 4d2
qv 0.785d 2
d qV 0.785u
流量取决于生产需要，合理的流速应根据经济衡算确定。
一般液体流速为0.5~3m/s， 气体流速为10~30m/s
1.2.1、黏性和黏度
流体内部存在内摩擦力或粘滞力
气体内摩擦力产生的原因还 可以从动量传递角度加以理解:
单位质量流 体的柏努力
=3080J/s=3.08 kw 泵的轴功率: P Pe 3.08 0.6 5.13kW
2g p1
g
z2
u
2 2
2g p2
g
u1=0, p1=p2=1.013105Pa, z1=0.7m, z2=0
将已知数据代入上式得：u2=3.71m/s 总压头h z1 u12 2g p1 g 11.03 mH 2O
〈2〉求各截面上的压力
0.5m
.A
.C
1
1
0.7m
2
p2
h f
（5） 对可压缩流体，即：
p1 p2 20% p1
柏努利方程仍适用，但应采用平均密度
化工原理 第一章 管内流体流动的基本方程式
伯努力家族的成员，有一半以上的天赋超越一般人的水准 ，至少超过120人以上的伯努力家族后裔，在法律、学术、科 学、文学、专门技术等方面享有名望。
2019/8/3
内的速度。
1
2
3a
3b 附图
2019/8/3
解： 管1的内径为
d1 89 2 4 81mm
则水在管1中的流速为：
u1
4qV
d12
9 103 0.785 0.0812
1.75m/s
管2的内径为： d2 108 2 4 100mm
则水在管2中的流速为：
u2
u1
(
d1 d2
)2
1.75 ( 81 )2 100
1.15m/s
2019/8/3
管3a及3b的内径为：
d3 57 2 3.5 50mm
又水在分支管路3a、3b中的流量相等，则有：
u2 A2 2u3 A3
即水在管3a和3b中的流速为：
u3
u2 2
(d2 d3
)2
质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量
用w表示，单位为kg/(m2.s)。
数学表达式为：w qm qV u
AA
对于圆形管道， A d 2
4
u
qV
d2
d 4qV
u
4
——管道直径的计算式
生产实际中，管道直径应如何确定？
2019/8/3
3、管径的估算 （1）管径的选择原则
1.3流体管中流动
2
聊城大学东昌学院化生系
一、流体的流量与流速
2.流速 （平均流速）
单位时间内流体质点在流动方向上所流经的距离。
qv 4qv u A d2
m/s
3
聊城大学东昌学院化生系
一、流体的流量与流速
3、管径的估算
4q v 对于圆形管道：d u
流量qv一般由生产任务决定。 通常钢管的规格以外径和壁厚来表示，通式为
阻力平方区
64 Re
0.03 0.025 0.02 0.015
d
层 流 区
过 渡 区
Re, d
0.002
0.001 0.000 0.0006 0.0004 0.0002 0.0001 0.00005 0.00001 108
湍流区
2 4 68 2 4 68 2 4 68 107 2 4 68
40
聊城大学东昌学院化生系
突然扩大
A1 2 ζ = (1 - ) A2 u1 hf = ζ 2g
1.方程的推导 二、流型判据——雷诺准数
实验发现，影响流体运动情况的因素有三个方面：
① 流体的性质：黏度、密度
② 设备的情况：管道直径d;
③ 操作参数：流体流速u; Reynolds综合上述诸因素整理出一个无因次数群— 雷诺准数Re。
Re
du
聊城大学东昌学院化生系
13
1.方程的推导 二、流型判据——雷诺准数
雷诺数
Re 36
du
106
2
4
68 107
2
4 68
聊城大学东昌学院化生系 0.000001
0.000005
第一章-流体`流动
⊿ p～ R 一 一 对 应
U型测压管
•指示液与被测流体 物化学反应且不互溶； •密度大于流体密度
pA
A
h R
p1 p A gh p2 pa i gR
1
2
p A pa i gR gh A点的表压 p A pa i gR gh
第 二 节
流 体 静 力 解:（1） pA = p1 + ρH2O g(1.2 - R) 学 p1 = p2 = p3 = pa + ρHg g R 基 pA = pa + ρHg g R + ρH2O g(1.2 - R) 本 方 = pa + ( ρHg - ρH2O) g R + ρH2O g×1.2 程 = 1.279×105N/m2 式 （2） pA = [(1.279×105 ÷ 1.013×105) －1] ×1.033 = 0.271kgf/cm2
— 连续性假定
第 一 节 概 论
从微观上，流体是由大量的彼此之间有一定间隙 的单个分子所组成的，并且各单个分子作着随机的、混 乱的运动，如果以单个分子作为考察对象，那么流体将 是一种不连续的介质，所需处理的运动将是一种随机的 运动，问题将是非常复杂的。 但是，在研究流动规律时，人们感兴趣的不是单 个分子的微观运动，而是流体宏观的机械运动。
内能 流体所含的能量包括 动能
机械能
势能
位能 压能
○压能（静压能、压强能以及弹簧的势能等）
● 流体流动时存在着三种机械能（即动能、 位能和压能）之间的相互转换。
第 一 节 概 论
● 流体粘性所造成的剪力是一种内摩擦力， 它将消耗部分机械能使之转化为热能（即 内能）。输送机械提供能量补偿。 ● 气体在流动过程中因压强的变化而发生 体积变化时，存在着内能与机械能之间的 相互转换。
第二节流体流动的基本方程式
第二节 流体流动的基本方程式化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。
要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。
反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。
1-2-1 流量与流速一、流量单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。
若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。
体积流量与质量流量的关系为：w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。
二、流速单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。
以u 表示，其单位为m/s 。
实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。
流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17）式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。
流量与流速的关系为：w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。
因此采用质量流速就较为方便。
质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为：ρρu A V A w G s s === （1-19）式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。
必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。
式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。
一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 24d V u s π= 于是 uV d sπ4=（1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。
化工原理流体在管内的流动讲义
例1-4 如附图所示，从高位槽向塔内进料，高位槽
中液位恒定，高位槽和塔内的压力均为大气压。送液
管 为 φ45×2.5mm 的 钢 管 ， 要 求
pa
送液量为3.6m3/h。设料液在管
h
内 的 压 头 损 失 为 1 . 2 m（ 不 包 括
出口能量损失），试问高位槽的
液位要高出进料口多少米？
返回
面上总机械能、总压头为常数，即
gz u2 p Const.
2
u2 p z Const.
2g g 返回
0 u12 2g
H
p1 g
1
u22 2g
p2 g
2 z2
返回
（3）单位质量流体具有的能量：
gz、u2/2、p/ρ是指在某截面上流体本身所具有
的能量；We和∑hf是指流体在两截面间流动时获 得和消耗的能量。
设1kg流体在系统中流动，因克服流体阻力而损失
的能量为∑hf （J/kg）
Qe' Qe hf
返回
U Qe hf
v2 pdv
v1
gZ u2 / 2 ( pv)
v2 v1
pdv
We
hf
( pv)
2
d( pv)
v2 pdv
p2 vdp
1
v1
p1
gZ u2 / 2
p2 p1
vdp
We
hf
表示1kg流体流动时机械能的变化关系，称为流体 稳态流动时的机械能衡算式,可压缩流体与不可压缩 流体均适用。
返回
不可压缩流体的v或ρ为常数
p2 p1
vdp
v( p2
p1 )
p
g Z
水管流速计算
水管流速计算水管流速是指水流通过一个管道单位时间内的速度。
在流体力学中，流速是指流体的速度，是指流经给定横截面的体积流量与该横截面的面积之比。
在水管流速计算中，一般可以采用以下几种方法进行计算。
1. 流体动力学公式：流体动力学是研究流体在液态或气态时运动规律的一门学科。
根据流体动力学原理，可以使用亨利-方程式或伯努利方程来计算水管流速。
根据亨利-方程式，流速的计算公式为v = √(2 * g * h)，其中v表示流速，g表示重力加速度，h表示水管顶部与水平面之间的高度差。
而根据伯努利方程，流速的计算公式为v = √(2 * (P1 - P2) / ρ)，其中v表示流速，P1和P2分别表示水管两个不同位置的压力，ρ表示水的密度。
2. 流量速度计算公式：流量是指在流体通过管道横截面时单位时间内通过的体积。
流量可以通过流速和横截面积的乘积来计算。
即Q = A * v，其中Q表示流量，A表示横截面积，v表示流速。
3. 测量方法：除了理论计算，还可以通过实际测量的方法来计算水管的流速。
常用的测量方法包括：风速计测量法、激光多普勒测量法、超声波测量法等。
其中，风速计测量法是通过测量在流体通过管道横截面时的动压差来计算流速的方法；激光多普勒测量法是通过激光束对流体中的微小颗粒进行测量来获得流速的方法；超声波测量法是利用超声波在流体中传播的速度与流速之间的关系来测量流速的方法。
4. 影响因素：水管流速的计算还受到一些因素的影响，包括管道直径、壁面粗糙度、管道的长短、水的温度等。
通常情况下，水管直径越大，流速越大。
而壁面粗糙度和管道的长短会增加水流的阻力，从而使流速减小。
而水的温度对流体的粘度有一定影响，从而对流速产生一定影响。
总而言之，水管流速的计算可以通过流体动力学公式、流量速度计算公式、测量方法等进行。
在计算过程中需要考虑到一些影响因素，如管道直径、壁面粗糙度、管道长度、水的温度等。
通过这些方法和考虑这些影响因素，可以准确地计算水管的流速。
管内流体流动的基本方程式
将(1)式各项同除重力加速度g :
z + 1 u2 + p = Const.
2g ρg
式中各项单位为 J/kg = J N = m
N/kg
z ——位压头
u2
——动压头
2g
p ——静压头 ρg
总压头
（2）
二、理想流体管流的机械能守恒
理想流体 （1)μ＝0，τ＝0，无阻力损失 （2) 均匀流段截面上各点的总势能相等 （3) 截面上速度分布均匀，各点的动能相等
Pa
ρ gz1 + ρ
u12 2
+
p1 +
pT
=
ρ gz2
+ρ
u22 2
+
p2
+ ρhf
其中
pT = heρ
为输送设备（风机）对流体1m3所提供的能量（全风压）， 是选择输送设备的（风机）重要的性能参数之一。
2. Bernoulli方程的讨论
1）适用条件：不可压缩、连续、均质流体、等温流动 Incompressible, continuous, homogeneous fluid, isothermic flow 2）Bernoulli方程表明：理想流体做稳定流动，没有外功加入 时，任意截面上单位质量流体的总机械为一常数。 3）对于实际流体，在管路内流动时，应满足：
分析：
求流量qv
已知d
qv
=
3600u ⋅ π
4
d2
求u
直管 任取一截面
气体
判断能否应用？
柏努利方程
解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’ 截面1-1’处压强 ：
P1 = ρHg gR = 13600 × 9.81× 0.025= 3335Pa(表压）
第4讲 流体在管内的流动
基准水平面： 0-0’平面
三、机械能衡算-柏努力方程式
1.流动的流体所具有的机械能
(1)位能：质量为m的流体距基准水平面高度为Z时的位能 为mgZ。单位为J。
比位能：单位质量的流体距基准水平面高度为Z时的位能， 称为比位能。比位能大小为gZ。单位为J/kg。
(2)动能：质量为m，流速为u的流体所具有的动能为1 mu2
如图示。实验证明，对大多数流体，有： F u S y
或 F du
S dy
——牛顿黏性定律
上板以恒定 速度u沿x的 正方向运动
式中： F——内摩擦力，N。τ——剪应力，N/m2 du/dy——速度梯度；μ——比例系数，黏度。 牛顿黏性定律：黏性产生的剪应力与速度梯度成正比。
流体分类：牛顿型流体(Newtonian fluid) 非牛顿型流体(non-Newtonian fluid)
注意: 理想流体是指无黏性（μ=0）的流体，即流体流动 时不存在黏性力，即内摩擦力为零。
二. 质量衡算-- 连续性方程式 1、管内定态流动的连续性方程式的推导：
如右图示：一维稳定的管路系统。以管内壁，截面1-1’与2-2’ 间的管段作物料衡算。
依据质量守恒定律： ws1
ws 2
ws1 ws2
即： u1A11 u2 A2 2
J/kg)。是选择流体输送机械的重要依据。
A、有效功率Ne： Ne Wews
——用于流体输送的功率，单位：W(J/s) 或 KW(kJ/s)
B、轴功率N ： N Ne
——实际消耗的功率
C、效率η： Ne ——反映了泵对外加能量的利用程度。
N
4) 对于可压缩流体，若所取系统两截面间的绝对压强变化小 于原来绝对压强的20%（即 p1 p2 20% ）时，伯努利方程仍
1-2 流体流动基本方程
面达到最高时，h为零，R亦为零。
（2）远距离液位测量装置
管道中充满氮气，其密 度较小，近似认为
p A pB
pA pa gh
pB pa 0 gR
A
B
所以
0 h R
3、液封高度的计算
液封作用：
确保设备安全：当设备
内压力超过规定值时，气
体从液封管排出； 防止气柜内气体泄漏。 液封高度： h p
二、静力学方程的讨论
p = p0 + ρgh
①传递定律： p0 有变化时，流体内部其他各点上的 压强也发生变化； ②等压面的概念：在静止的同一连续流体内，处于 同一水平面上各点的压强都相等； ③压强可以用一定高度的流体柱来表示 p p0 h g 但必须说明液体的种类。
④ 静力学方程的能量形式：
液A和C；
扩大室内径与 U 管内径之比应 大于10 。
p1 p2 Rg( A C )
[分析]同压差下，两种指示液密度越接近，高度 差越大。
2、液位的测量 （1）近距离液位测量装置
压差计读数R反映出容器 内的液面高度。
0 h R
ρ
ρo
液面越高，h越小，压差计读数 R越小；当液
作业：
P54
1-5；1-8
§ 1.2 管内流体流动的基本方程 ( Basic equations of fluid flow ）
一、流量与流速
1. 体积流量 （volumetric flow rate） 单位时间内流经管道任意截面的流体体积 , qV, 单位为m3/s。 2. 质量流量（mass flow rate） 单位时间内流经管道任意截面的流体质量, qm, 单位为 kg/s。 二者关系：
化工原理-连续性方程
实验表明，流体流经一段管路时，由于流体 存在黏性，使得管截面上各点的速度不同。在工 程计算上为了方便起见，流体的流速通常指整个 管截面上的平均流速。
3
二、流速
平均速度 平均速度指体积流量与流通截面面积之比，
以u 表示，其单位为m/s。
u Vs A
ws Vs uA
25
二、流动系统的机械能衡算式与伯努利(Bernoulli)方程式
1kg流体在截面1-1′与2-2′之间所获得的总热量
因此
Qe Qe hf
U Qe hf
v2 pdv
v1
克服流动阻 力而消耗的
机械能
26
二、流动系统的机械能衡算式与伯努利(Bernoulli)方程式
代入
u2 U gz
实际上，Q ′应当由两部分组成：一部分是 e
流体与环境所交换的热，即图1-14中换热器所提
供的热量Q ；另一部分是由于液体在截面1-1′至 e
2-2′间流动时，为克服流动阻力而消耗的一部 分机械能，这部分机械能转变成热，致使流体的 温度略微升高，从实用上说，这部分机械能是损 失掉了，因此常称为能量损失。
适用条件：不 可压缩理想流
体
29
伯努利 (Bernoulli)方程
三、伯努利方程的讨论
1.伯努利方程
gz1
u12 2
p1
gz2
u22 2
p2
该方程表示理想流体在管道内作稳态流动而 又没有外功加入时，在任一截面上单位质量流体 所具有的位能、动能、静压能之和为一常数，称
为总机械能，以E表示，单位为J/kg。换言之，各
2
( pv) Qe We
中，可得
第四章气体管流基本方程
V 对于定常流动， t 0
dp V 2 V g sin V dx 2D x来自第三节能量方程
对于任何系统而言，各项能量之间的平衡 关系一般可表示为：
进入系统的能量—输出系统的能量=系统 储存能的增量
热力学第一定律： 系统储存能的变化＝系统吸收的热量－系 统对外做的功
第二节 运动方程
运动方程是牛顿第二定律应用于流体运动的形式。牛顿第 二定律表述为：作用于控制体的外力的合力等于流体的动量变 化，或者：作用于物体的外力的合力等于物体的质量乘以物体 的加速度，即
d AdxV Fx dt
Fx Adx d V dt
考虑到dx和A为常数，可写成：
如果ρ不随时间发生变化
一、总能量
V2 E m u gz 2
V2 Adx u gz 2
在dt时间内总能量增量
2 V E Adx u gz dt t 2
二、在此时间dt内控制面上的流动净功和交换 的能量
这就是管内一元流动的质量连续条件。方程称为连续性方程。
对于恒定流动，其流动参数不随时间改变
( A) 0 t
方程变为 或
AV 0 x
AV 常数 m
上式表示，管道任意截面的质量流量的相等。
若流通截面A不随x变化，则
V 常数
或
1V1 2V2
即管道任意截面的流体密度与流速成反比。
Q VAdxdt Q x
Q V2 V2 VA A u gz VA h gz x x t 2 2
对于定常流动
由热力学一般 关系式
管道水流量计算公式
管道水流量计算公式Q=A*v其中，Q表示流量，A表示管道的横截面积，v表示流体的平均流速。
为了更好地理解该公式的推导过程，我们需要先了解以下几个关键概念:1.伯努利原理：伯努利原理描述了流体在一条管道中的流动过程中，压力、速度、高度之间的关系。
根据伯努利原理，流体的总能量在管道中是守恒的。
2.马格纳斯·底氏公式：底氏公式是描述管道中流体流动过程中压力变化的重要公式。
根据底氏公式，管道中的静态压力与流体速度的平方成正比。
推导过程：1.首先，通过伯努利原理可以得出以下公式：P1+(1/2)*ρ*v1^2+ρ*g*h1=P2+(1/2)*ρ*v2^2+ρ*g*h2其中，P1和P2分别表示管道两端的压力，ρ表示流体的密度，g表示重力加速度，h1和h2分别表示管道两端的高度。
2.在水平流动的情况下，假设管道直径保持不变，流体在管道中的压力损失只与流速有关，与管道的形状和尺寸无关。
因此，可以将高度差h1和h2抵消掉，得到以下简化公式：P1+(1/2)*ρ*v1^2=P2+(1/2)*ρ*v2^23.接下来，根据底氏公式可以得出以下公式：P1+(1/2)*ρ*v1^2=P2+(1/2)*ρ*v2^2P2-P1=(1/2)*ρ*(v1^2-v2^2)P2-P1=(1/2)*ρ*(v1^2-v2^2)ΔP=(1/2)*ρ*Δv^2其中，ΔP表示压力差，Δv表示速度变化。
4.假设管道是水平的，且流体是理想流体，即没有粘性和摩擦损失，可以将压力差ΔP表示为阻力损失的形式，即：ΔP=4*f*(L/D)*(1/2)*ρ*v^2其中，f表示阻力系数，L表示管道长度，D表示管道直径。
5.将上述公式中的ΔP代入到伯努利原理的公式中，可得：4*f*(L/D)*(1/2)*ρ*v^2=(1/2)*ρ*Δv^2Δv=4*f*(L/D)*v^2其中，Δv表示速度变化，v表示流体的平均流速。
6.最后，将Δv代入到流量公式Q=A*v中，可以得到管道水流量计算公式：Q=A*vA=π*(D/2)^2其中，Q表示流量，A表示管道的横截面积，v表示流体的平均流速，π表示圆周率，D表示管道的直径。
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= 1.15m/s
管3a及3b的内径为 d3 = 57 − 2 × 3.5 = 50mm
又水在分支管路3a、3b中的流量相等，则有 u2 A2 = 2u3 A3
即水在管3a和3b中的流速为
u3
=
u2 2
(d2 d3
)2
=
1.15 (100)2 2 50
=
2.30m/s
1.2.4 机械能守恒(伯努利方程) Mechanical energy conservation
1.2.3 质量守恒方程（连续性方程）
Mass conservation（Equation of continuity）
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算
2 1
1’
2’
衡算范围：截面1-1’与截面2-2’间 衡算基准：单位时间
物料衡算：输入量－输出量＝累积量(accumulation ）
Bernoulli方程可以直接推广应用于理想流体的管流
gz + p + u 2 = 常数
ρ2
或
gz1 +
p1
ρ
+u12 2=Fra bibliotekgz2
+
p2
ρ
+
u22 2
管流中的流线
或
P1 + u12 = P2 + u22
ρ2 ρ2
Geometric significance of Bernoulli equation
（2）以单位重量1N流体为衡算基准。
将上式各项除以g,则得:
z1
+
u12 2g
+
p1
ρg
+
He
=
z2
+
u22 2g
+
p2
ρg
+
H
f
m
位动 静
外
头压 压
加
头头
压
头
压 头 损 失
（3）以单位体积1m3流体为衡算基准。
gz1
+
u12 2
+
p1
ρ
+ he
=
gz2
+
u22 2
+
p2
ρ
+ hf
•将上式各项乘以流体密度ρ,则：
有关物理量Z、u、p等除了所求的物理量之外 ，都必须是已
知的或者可以通过其它关系式计算出来。
3）基准水平面的选取 所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平
行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个 截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水 平面通过管道中心线，ΔZ=0。 4）单位必须一致
p1
ρ
+
u12 2
+ he
=
gz2 +
p2
ρ
+
u22 2
+
hf
P
ρ
1
+
u12 2
+
he
=
P2
ρ
+
u22 2
+
hf
实际流体的Bernoulli方程
1. 柏努利方程的不同形式
（1）以单位质量1kg流体为衡算基准,
J/kg
gz1
+
u12 2
+
p1
ρ
+ he
=
gz2
+ u22 2
+
p2
ρ
+ hf
总机械能 Et
5）当体系无外功，且处于静止状态时
gz1
+
p1
ρ
=
gz2
+
p2
ρ
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对
压强变化小于原来压强的20%，
即：p1
− p2 p1
＜20%时
仍可使用Bernoulli方程。式中流体密度应以两截面之间流体
的平均密度ρm代替 。
二、柏努利方程式的应用
(Application of Bernoulli equation)
1、应用柏努利方程的注意事项
1）作图并确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方
向，定出上下截面，以明确流动系统的衡标范围。 2）截面的截取
两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是 连续的，所求得未知量应在两截面或两截面之间，截面的
q=v
qm=
ρ
u1 A=1
u2 A=2
=
uA=
Const.
——一维稳定流动的不可压缩流体的连续性方程
对于圆形管道，
u1
π
4
d12
=
u2
π
4
d22
∴ u1 u2
=
d2 d1
2
表明：qv一定, 流速与管径的平方成反比。
思考：
如果管道有分支，则稳定流动时的连续性方程又如何？
qm = qm1 + qm2
qm1
流速在1～1.5m/s范围内，故管路选择合适。
1.2.2 稳态流动与非稳态流动
稳态流动：各截面上的温度、压力、流速等物理量 仅随位置变化，而不随时间变化；
T , p, u = f ( x, y, z)
非稳态流动：流体在各截面上的有关物理量既随位 置变化，也随时间变化。
T , p, u = f ( x, y, z,θ )
第二节 管内流体流动的基本方程式
1.2.1 流量与流速 1.2.2 稳态流动与非稳态流动 1.2.3 连续性方程式 1.2.4 伯努利方程式 1.2.5 实际流体的机械能衡算式
1.2.1 流量与流速
1. 流量（Flow rate）
① 含义：单位时间流过管道任一截面的物质量。 ② 体积流量（volume flow rate） 单位时间内流体流过管道任一截面的体积. qV——m3/s或m3/h ③ 质量流量（mass flow rate） 单位时间内流体流过管道任一截面的质量. qm——kg/s或kg/h ④ 换算关系：qm＝qv·ρ
均衡 考虑
qv由生产任务指定，关键在于流速的选择： •u↓，d↑，操作费↓，设备费↑ •u↑，d↓，操作费↑，设备费↓
∴适宜的流速按总费用最低的原则选取，但经济衡算非 常复杂，故常通过经验值选择。
管径计算步骤
1.据经验值选择一适宜的流速u； 2.计算管内径d； 3.圆整，按照管子规格选用具体的管路。管子规格表示方 法为φ圆管外径×壁厚。 4.核算流速 是否在经验范围内
故合力为 pA − ( p + dp) A − gρAdz = − Adp − gρAdz
动量变化率
qmdu = ρAudu
动量原理
ρAudu = − Adp − gρAdz
gdz + dp + udu = 0
ρ 不可压缩性流体，ρ = Const.
zg + 1 u2 + p = Const.
2ρ
uA = u1 A1 + u2 A2 qm
qm2
［例1－3］如附图所示，管路由一段φ89×4mm的管1、一段φ108×4mm 的管2和两段φ57×3.5mm的分支管3a及3b连接而成。若水以9×10－3m3/s的 体积流量流动，且在两段分支管内的流量相等，试求水在各段管内的速度。
解： 管1的内径为
例:以7m3/h的流量输送自来水，试选择合适的管路。 解：1.据经验值，选择流速u=1.2m/s 2.计算管内径d
d = 4qv =
4× 7 = 45.4 mm
πu 3600×π ×1.2
3.查附录 (热轧无缝钢管)，选择管子规格为φ57×5mm的 管路。
4.核算流速： ub=qv/A=4qv/(πd2)=4×7/(3600×π×0.0472)=1.12 m/s
③ 质量流速 （mass velocity ）
单位时间内流经管道单位截面积的流体质量。
=G q=m qV=ρ ρu
AA
G又称为质量通量(mass flux)
kg/（m2·s）
④流量 与流速 的关系（The relationship of flow rate and flow velocity)：
= qm ρ= qV ρ= uA GA
Pa
ρ gz1 + ρ
u12 2
+
p1 +
pT
=
ρ gz2
+ρ
u22 2
+
p2
+ ρhf
其中
pT = heρ
为输送设备（风机）对流体1m3所提供的能量（全风压）， 是选择输送设备的（风机）重要的性能参数之一。
2. Bernoulli方程的讨论
1）适用条件：不可压缩、连续、均质流体、等温流动 Incompressible, continuous, homogeneous fluid, isothermic flow 2）Bernoulli方程表明：理想流体做稳定流动，没有外功加入 时，任意截面上单位质量流体的总机械为一常数。 3）对于实际流体，在管路内流动时，应满足：
3. 管径的计算（calculation of pipe diameter）
Cost
对于圆形管道
q=v
u=A
1 π d 2u
4
Total cost
Operating cost
d = 4qV
πu 流量qV一般由生产任务决定。 流速选择：
Equipment cost
uopt
u