双曲函数公式

恒等式

与双曲函数有关的恒等式如下:

cosh^2(x) - sinh^2(x) =1

coth^2(x)-csch^2(x)=1

tanh^2(x)+sech^2(x)=1

* 加法公式：

sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)

cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)

tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]

* 减法公式：

sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)

cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)

tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]

* 二倍角公式：

sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)

cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1

* 半角公式：

cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2

sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2

双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如

* 三倍角公式：

sin(3 * x) = 3 * sin(x) − 4 * sin(2 * x)

sinh(3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh(2 * x)

反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:

arsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1)]

arcosh(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1)]

artanh(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2 arcoth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2 arsech(x) = ± ln[1 + sqrt(1 - x^2) / x]

arcsch(x) = ln[1 - sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x < 0

ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x > 0

其中,

sqrt 为 square root 的缩写 , 即平方根

双曲函数与反双曲函数的导数

(sinh(x))'=cosh(x)

(cosh(x))'=sinh(x)

(tanh(x))'=sech^2(x)

(coth(x))'=-csch^2(x)

(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)

(csch(x))'=-csch(x)coth(x)

(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)

(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1)

(arctanh(x))'=1/(1-x^2) (|x|<1)

(arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)

双曲函数与反双曲函数的不定积分

∫sinh(x)dx=cosh(x)+c

∫cosh(x)dx=sinh(x)+c

∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c

∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c

∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c

∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c

∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c

∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c

∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2))+c2∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2)|+c

∫[1/sqrt(x^2+1)]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1))+c

∫[1/sqrt(x^2-1)]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1)|+c

(sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)