分析力学第二章
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a b N
注意求和下标
U N Fa [U ab ( rab ) U外 r1, r2 ,, rN） Fa内 Fa外 （ ] ra ra b1
ba
——质点组的动量定理
质点组的动量定理
若U 外 r , r2 ,, rN）＝ ，则 Fa外 0 （1 0 ＝ d 故 P＝ ，P是守恒量 0 dt
N
1 在直角坐标系中，动能是速度的二次齐次式： T ma ( xi ( a ) )2 a 1 i 1 2
N
3
证明：动能T 是广义速度的二次齐次式。
N 3
s s 1 xi x T ma ( q i q ) a 1 i 1 2 1 q 1 q (a) (a )
第二章 守恒律
拉格朗日方程
守恒量: 由广义坐标 和广义动量 组成一些不随时间变化的量
用途：1、求运动方程的解； 2、分析解的性质
§1.2.1 动量和能量
一 、循环坐标与广义动量 比较：拉格朗日方程
和牛顿方程
定义：
——广义动量
——广义力
例子1：对在保守场中运动的单个质点，有 ——直角坐标系
广义动量
——无外场时，质点组的总动量守恒
二、质心 质心系
系统由N个质点组成
质心系：跟随质心一起运动的坐标系 问题：1）在这个坐标系研究质点组的运动有何优点？ 2）这是一个惯性系吗？ 质点组动量无条件守恒 不受外力时是惯性系
三、质心系和其它系的关系
质心系 K’相对于K系以速度V运动，系统在两系 的能量分别为E (K)，E’(K’)
——通常的动量
wenku.baidu.com
广义力
——通常的力
例子2：对在有心力场中运动的质点，有
对应于广义坐标 广义动量：
的
广义力：
拉氏方程
对应于广义坐标 还有守恒量没有？
的广义动量和广义力呢？
循环坐标：拉格朗日函数中不显含的广义坐标。
性质：和循环坐标对应的广义动量守恒。
证明：
二、能量 一般情况，系统处于随时间变化的外场中，其拉格朗日 函数为 ——非保守系，系统与产生力的外源有能量交换 对保守系，L不显含t，则 系统与外界没有能量交换，系统的能量守恒。
x x 定义 ma ( i i ) m ( q) q q a 1 i 1
N 3 (a) (a)
1 s s T m ( q)q q 2 1 1
证毕。
例：有心力场中动能 动能T是广义速度 的二次齐次式。
根据齐次函数的欧拉定理，如果
1、能量守恒来源于时间的均匀性； 一般地， 时间的均匀性 能量的定义？ 守恒量的定义？
——能量守恒
2、动量守恒来源于空间的均匀性； 一般地，系统中粒子坐标的改变 会导致系统拉格朗日的改变
空间的均匀性
目标：
(?) 为相应的守恒量
(?) 是动量吗？
结论：动量守恒是由空间的均匀性产生的。
3. 空间的各向同性与角动量守恒
1 1 2 2 ma va mara 2 2
N N
1 2 无相互作用的质点系： L La mara a 1 a 1 2 1 2 有相互作用的质点系： L mara G(r1, r2 ,, rN , t ) a 1 2
N
质点间的相互作用
1 2 将L mara G(r1, r2 ,, rN , t )代入 a 1 2
则：
K’为质心系，P’＝0 ——质点系在质心系能量最低(称为内能）,在其它系的 能量等于内能加上整体运动能量。
§1.2.3 守恒律和对称性的关系 角动量
能量守恒、动量守恒是机械运动的两条基本守恒律。它们产 生有深刻的物理原因。下面我们来证明 1. 能量守恒来源于时间的均匀性； 2. 动量守恒来源于空间的均匀性； 3. 角动量守恒来源于空间的各向同性。
系统由N个质点组成,先讨论质点间的相互作用
质心
假定两个质点间相互作用势能只依赖于它们的间距
则质点b 作用于质点a上的力
？
质点a作用于质点b上的力
成立条件：两质点间势能只依赖于它们之间的间距
系统由N个质点组成 系统的势能＝内部相互作用＋外场的势能
U U ab ( rab ) U外 r1 , r2 ,, rN） （
N
1 2 则E mara ( mara G (r1 , r2 ,, rN , t )) a 1 a 1 2
2
N
N
1 2 mara G (r1 , r2 ,, rN , t ) a 1 2
N
定义E T U
1 2 则L mara G(r1,r2 , ,rN ,t ) T U a 1 2
空间的各向同性 转动对称性
将系统转动任意角度
目标：
(?) 为相应的守恒量 (?) 是角动量吗？
?
r
上式对t求导：
若系统具有转动对称性，则
定义
——系统的角动量
则
——系统的角动量守恒
结论：角动量守恒是由空间的各向同性产生的。
质点组在惯性系K和质心系K’之间
内能 ＋ 整体运动能量
2) 在质心静止的参考系中，质点组的总角动量与原点的选择无关
是
s个变量
的n次齐次式，则
的二次齐次函数，则有
由于动能T是广义速度
所以
L 定义 E ( q ) L 1 q
s
是自洽的。
和E T U
结论：对于保守系统，在运动过程中，机械能保持不变。
§1.2.2 质点组的动量、动量与角动量
一、质点组的动量定理 ：动量变化的规律？
如何定义系统的能量？
目标：寻找保守系中有能量量纲的守恒量
定义： • 保守系的能量守恒 • 只要知道系统的L，就知道系统的能量E
三、相互作用的质点系的拉格朗日函数L
单个自由质点系统: 1：时空对称性 2：伽利略变换 3：最小作用量原理＋初值条件
1 2 L mv 2
质点系：
第a个质点： La
在质心系中任取两点O1、O2作为原点
质点a在O1系和O2系中矢径分别为
O1系和O2系都是质心系
注意求和下标
U N Fa [U ab ( rab ) U外 r1, r2 ,, rN） Fa内 Fa外 （ ] ra ra b1
ba
——质点组的动量定理
质点组的动量定理
若U 外 r , r2 ,, rN）＝ ，则 Fa外 0 （1 0 ＝ d 故 P＝ ，P是守恒量 0 dt
N
1 在直角坐标系中，动能是速度的二次齐次式： T ma ( xi ( a ) )2 a 1 i 1 2
N
3
证明：动能T 是广义速度的二次齐次式。
N 3
s s 1 xi x T ma ( q i q ) a 1 i 1 2 1 q 1 q (a) (a )
第二章 守恒律
拉格朗日方程
守恒量: 由广义坐标 和广义动量 组成一些不随时间变化的量
用途：1、求运动方程的解； 2、分析解的性质
§1.2.1 动量和能量
一 、循环坐标与广义动量 比较：拉格朗日方程
和牛顿方程
定义：
——广义动量
——广义力
例子1：对在保守场中运动的单个质点，有 ——直角坐标系
广义动量
——无外场时，质点组的总动量守恒
二、质心 质心系
系统由N个质点组成
质心系：跟随质心一起运动的坐标系 问题：1）在这个坐标系研究质点组的运动有何优点？ 2）这是一个惯性系吗？ 质点组动量无条件守恒 不受外力时是惯性系
三、质心系和其它系的关系
质心系 K’相对于K系以速度V运动，系统在两系 的能量分别为E (K)，E’(K’)
——通常的动量
wenku.baidu.com
广义力
——通常的力
例子2：对在有心力场中运动的质点，有
对应于广义坐标 广义动量：
的
广义力：
拉氏方程
对应于广义坐标 还有守恒量没有？
的广义动量和广义力呢？
循环坐标：拉格朗日函数中不显含的广义坐标。
性质：和循环坐标对应的广义动量守恒。
证明：
二、能量 一般情况，系统处于随时间变化的外场中，其拉格朗日 函数为 ——非保守系，系统与产生力的外源有能量交换 对保守系，L不显含t，则 系统与外界没有能量交换，系统的能量守恒。
x x 定义 ma ( i i ) m ( q) q q a 1 i 1
N 3 (a) (a)
1 s s T m ( q)q q 2 1 1
证毕。
例：有心力场中动能 动能T是广义速度 的二次齐次式。
根据齐次函数的欧拉定理，如果
1、能量守恒来源于时间的均匀性； 一般地， 时间的均匀性 能量的定义？ 守恒量的定义？
——能量守恒
2、动量守恒来源于空间的均匀性； 一般地，系统中粒子坐标的改变 会导致系统拉格朗日的改变
空间的均匀性
目标：
(?) 为相应的守恒量
(?) 是动量吗？
结论：动量守恒是由空间的均匀性产生的。
3. 空间的各向同性与角动量守恒
1 1 2 2 ma va mara 2 2
N N
1 2 无相互作用的质点系： L La mara a 1 a 1 2 1 2 有相互作用的质点系： L mara G(r1, r2 ,, rN , t ) a 1 2
N
质点间的相互作用
1 2 将L mara G(r1, r2 ,, rN , t )代入 a 1 2
则：
K’为质心系，P’＝0 ——质点系在质心系能量最低(称为内能）,在其它系的 能量等于内能加上整体运动能量。
§1.2.3 守恒律和对称性的关系 角动量
能量守恒、动量守恒是机械运动的两条基本守恒律。它们产 生有深刻的物理原因。下面我们来证明 1. 能量守恒来源于时间的均匀性； 2. 动量守恒来源于空间的均匀性； 3. 角动量守恒来源于空间的各向同性。
系统由N个质点组成,先讨论质点间的相互作用
质心
假定两个质点间相互作用势能只依赖于它们的间距
则质点b 作用于质点a上的力
？
质点a作用于质点b上的力
成立条件：两质点间势能只依赖于它们之间的间距
系统由N个质点组成 系统的势能＝内部相互作用＋外场的势能
U U ab ( rab ) U外 r1 , r2 ,, rN） （
N
1 2 则E mara ( mara G (r1 , r2 ,, rN , t )) a 1 a 1 2
2
N
N
1 2 mara G (r1 , r2 ,, rN , t ) a 1 2
N
定义E T U
1 2 则L mara G(r1,r2 , ,rN ,t ) T U a 1 2
空间的各向同性 转动对称性
将系统转动任意角度
目标：
(?) 为相应的守恒量 (?) 是角动量吗？
?
r
上式对t求导：
若系统具有转动对称性，则
定义
——系统的角动量
则
——系统的角动量守恒
结论：角动量守恒是由空间的各向同性产生的。
质点组在惯性系K和质心系K’之间
内能 ＋ 整体运动能量
2) 在质心静止的参考系中，质点组的总角动量与原点的选择无关
是
s个变量
的n次齐次式，则
的二次齐次函数，则有
由于动能T是广义速度
所以
L 定义 E ( q ) L 1 q
s
是自洽的。
和E T U
结论：对于保守系统，在运动过程中，机械能保持不变。
§1.2.2 质点组的动量、动量与角动量
一、质点组的动量定理 ：动量变化的规律？
如何定义系统的能量？
目标：寻找保守系中有能量量纲的守恒量
定义： • 保守系的能量守恒 • 只要知道系统的L，就知道系统的能量E
三、相互作用的质点系的拉格朗日函数L
单个自由质点系统: 1：时空对称性 2：伽利略变换 3：最小作用量原理＋初值条件
1 2 L mv 2
质点系：
第a个质点： La
在质心系中任取两点O1、O2作为原点
质点a在O1系和O2系中矢径分别为
O1系和O2系都是质心系