三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质53915

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;

若O 是ABC ∆的重心，则

AB C AOB AOC B OC S 31

S S S ∆∆∆∆=

==故0OC OB OA =++;

1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;

若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：

：：=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++

3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或2

2

2

OC OB OA ==)

若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：

：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是

|

CB ||

CA |(

|

BC ||

BA |(

AC

|

AB |(

=⋅=⋅=-⋅

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是

ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是

ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。若O 是ABC ∆的内心，则

c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆

故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;

||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r

是ABC ∆的内心;

向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r

u

u u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；

例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线

的三个点，

动点P 满足

+

+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心

解析：因为

AB

是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r

与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又

AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,

同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.

证明 作图如右，图中GE GC GB =+

连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.

将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，

得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(3

1PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3

1PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））

例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r

，则O 是ABC ∆ 的（ ）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心

解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r

，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，由平行四边形性质知12

OE OD =u u u r u u u r

，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性

质，所以是重心，选D 。

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查

例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r

，则O 是ABC ∆ 的（ ）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心

解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。故O 是ABC ∆ 的外心 ，选B 。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2

1

-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =2

1-，

∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.

反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，

1

OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.

例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：

112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2

x Q y H x y （、,

122(,)33x x y G +212243(,)(,)222

x x y AH x y QF y ∴==--u u u u r u u u r ， 212(,)BC x x y =-u u u r

2212422142

()0()

AH BC AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-

u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r

2122232212

32()()0222

()22QF AC x x y

QF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+

u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r