沪科版七年级数学下册-第六章实数知识点复习

沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解

1、平方根

（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。

来表示，（读做“根号a”）

对于正数a

负的平方根用”表示（读做“负根号a” ）

如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。

（2）平方根的性质：

①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；

②0只有一个平方根，它就是0本身；

③负数没有平方根.

（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.

（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。

（50有意义的条件是a≥0。

（6）公式：⑴)2=a（a≥0）；

2、立方根

（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。

即X3=a,把X叫做a的立方根。数a的立方根用符号”表示，读作“三次根号a”。

（2）立方根的性质：

正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.

3、规律总结

（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

二、平方根、立方根例题。

例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由

①（-3）2②0 2③-0.01 2

（2）下列说法对不对？为什么？

①4有一个平方根②只有正数有平方根

③ 任何数都有平方根

④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数

解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。

（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 例2、求下列各数的平方根： (1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 例3、设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C.

D.

解析：（估算）因为

，所以选B

举一反三： 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27

立方根是__________. 3）___________， ___________，

___________. 【答案】1）

；

.2）-3. 3）， ，

【变式2】求下列各式中的 （1）

（2）

（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

例4、判断下列说法是否正确 （1）

的算术平方根是-3； （2）

的平方根是±15.

（3）当x=0或2时，

解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故

（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，

故

的平方根是

.

14169

（3）注意到，当x =0时， =，显然此式无意义，发生错误

的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x ≠0，所以当x =2时，x =0.

例5、求下例各式的值： （1） （2） （3） （4）

三、实数知识复习。 1、实数的分类

无理数：无限不循环的小数称为无理数。 2、绝对值

(1)一个正数的绝对值是它本身，

一个负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值是零。 (2)一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。

（3）注意：

例6、当a<0时，化简

的结果是( )

A 0

B -1

C 1

D ½

例7、化简下列各式： (1) |-1.4| (2) |π-3.142| (3) |

-|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

32736427 327102 64

-64-30

00

a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0000

2

a a a a a a a

解：(1) ∵=1.414…＜ 1.4 ∴|

-1.4|=1.4-

(2) ∵π=3.14159…＜3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π (3) ∵

＜

, ∴|

-|=

-

【变式1】化简： 3、有关实数的非负性

注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；

(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0. 例8、已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。 解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0,

≥0, |y+2z|≥0,

几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴ 解这个方程组得

∴(x-y)3-z 3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【变式2】已知

那么a+b-c 的值为___________

4、实数比较大小的方法

1、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：

2≈___________ 3≈___________ 5≈___________ 6≈___________

7≈___________

2、方法一：差值比较法

差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。 3、方法二：商值比较法

a 2

0≥0

a 0(0)a a ≥