数列常用性质
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数列常用性质
①
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒+=+q
p n m q p n m a a a a a a a a q p n m ·等比数列
等差数列
②等差数列中
()n k kn n n n n n S S S S S S S 1232,,--⋯⋯--也成等差数列
等比数列中
()n k kn n n n n n S S S S S S S 1232,,--⋯⋯--也成等比数列
③等差数列
()()
()()
()
122
122
1212112-⨯=-⨯+=
-⨯+=
--n a n a a n a a S n n n n n
常用求和公式
①
2
)1(321n
n n ⨯+=
++++ ②2
)12(7531n n =-+++++
③)12)(1(6
1321
2
222
++=
++++n n n n
④
第一组公式的平方
2
3
3
3
3
2)1(321⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=++++n n n
常用求和技巧： ①裂相相加
7
67
11)7161(
)413
1(
)312
1()2
11(7616
51541431
321
2
11
42130112
16121=-
=-++-+-
+-=⨯+
⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯=
+
++
+
②分组求和
()()()()()()55
1155555263110158136112610863117151311=⨯=++++=-++-+-+-=++++-+++++
③错位相减法
等差数列与等比数列的乘积 ④反序相加法
把数列倒过来排序，与原数列相加有公因式可提 例1．设{}n
a 公差为正数的等差数列
若
_______
80,15131211321321=++==++a a a a a a a a a 则
解一 设{}n
a 首项为a1,公差为d
()()()⎩⎨
⎧==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==+==+⇒⎩⎨
⎧=+⨯+⨯==+=++32165802·5315802··
1533111
11113211321d a d a a d a d a d a a a a a d a a a a
解二 设中间量法 设
()()⎩⎨
⎧-=±==⇒=⎩⎨⎧+-=⇒+-)
3(35
80
·153,,22222222舍去d d a d a a d a a d a a d a
105
333233*********
,5,21111131211321=⨯+⨯=+=+++++=++=d a d
a d a d a a a a a a a
例2．在等比{}n a 中；{}
1,,21+=n n a S n a 若数列项和为前
也是等比数列，则
n
S 等于
()221
-+n A
()n B 3 ()n C 2 ()13-n D
解：设公比为2
3222,q a q
a q ==则
()()
()
每个数都相等
常数列
,210120
242361441
23121211211
212
2
2
22
22
321n
S q q q q q q q q q q q a q a a n =⇒=⇒=+-⇒=+-⇒+=++⇒+⨯=+⇒⎪⎭⎪⎬⎫+=++=++=+
例3．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，
其首项分别为
(
){}n
b n C N
n a C N b a b a b a n 则数例设且,,,,5,,1111+
+
∈=∈=+
的前10项和等于（ ）
()()85
454012
9104101
4
3
251
111
111100
8570551011111111=+=⨯⨯+
⨯===+=-+=--++=-+==⎩⎨
⎧-+=-+=-+=-+=S d c n n n b a b a a C n b d n b b n a d n a a D C B A n b n n n n
难点在于代换。
例4．在等差数{}n
a 中，若
{}9
64,12S ，n a S a a n n 则项和前是数列=+的值为_____。
()54
2
9122
9
)(2
9
66
60544864919=⨯=
⨯+=
⨯+=
a a a a S D 、C 、B 、A 、
例5．在等差数列
{}n a 中，已知
_________
,13,2654321等于则a a a a a a ++=+=。
45
434240D C B A
解：设公差为d
()()()()14
34242
339313222555
5556465432=⨯+===++=++=++=⇒==+++=+a a a a a a a a a a a d d d d a a 方法一：
方法二：
()()()()()
42
1322727
933654362514321654=++=++∴==⨯=-+-+-=++-++a a a d d a a a a a a a a a a a a
例6.设
n
S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若
5
1010
5-==S S ，则公差为_____：
法一：