控制系统频域设计

K(s + 2) G0 (s) = Gc (s)G(s) = 2 (s +1)(s + 2s + 4)
0.5K(0.5s +1) = (s +1)(0.25s2 +0.5s +1) 显然，系统为零型系统，在阶跃输入作用 下存在稳态误差，其位置误差系数 Kp=0.5K
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量 R(s)
c
（3）y轴与z轴方向亦单独调试，最后联调。 ↑ （一定是先提针或落针，再x-y运动）
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例5-18 遥控侦察车速度控制
例5-18 遥控侦察车速度控制
图5-54(a) 用于执行联合国维和使命的遥控侦察车
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例5-18 遥控侦察车速度控制
N(s) R(s)
1. 结构与组成 2. 设计要求
选择增益 ，使阶跃响应各项指标令人满 意。（具体指标不太明确，可供选择的空 间较大）
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3. 研究目的
G 1） ( jω) 与Φ( jω)的人工计算法与MATLAB绘制法并举；
2）系统频域指标 γ ， c ， ， r ， r ， n ， b 关系及其 ω ζ ω M ω ω 时域指标的关联； 3）控制器参数K变化对系统性能的影响； 4）设计方案的考虑与选择； 5）二阶系统近似概念； 6）动态性能估算与MATLAB仿真比较。
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
系统的相角裕度γ=14.5°，由图5-48求得系 统阻尼比ζ=0.13。
系统单位阶跃响应的最大超调量可估算为
σ =e %
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−πζ / 1−ζ2
×100%= 66.2%
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
0.5K(0.5s +1) = 2 (s +1)(0.25s +0.5s +1)
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量 R(s)
预期速度
+ -
K(s + 2) (s +1)
Gc(s)
G (s)
1 s2 + 2s + 4
C(s)
实际 速度
系统开环传递函数
要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
其次考虑系统在单位阶跃输入作用下的稳 态误差 1 1 ess = = 1+ Kp 1+0.5K 显然，K值越大，ess越小。若取K=20，则 ess=0.09。 0.5K(0.5s +1) G0 (s) = (s +1)(0.25s2 +0.5s +1) 为了选择合适的K值，令K=20，则
控制器
电机、螺杆 雕刻针支撑架
+ R(s) -
C(s)
x轴上 的位置
K
1 s(s +1 s + 2) )(
现在，取K=2，计算开环频率特性G(jω) 的幅值与相位，如表5-4所示。
表5-4 G(jω)的频率响应
ω 20log|G|(dB) Ψ(ω) (度）
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0.2 14
0.4 7
表5-5 设计实例的频率响应数据
ω 相角（度）
0 0
1.2 -65
1.6
2.0
2.8
4
6 -5.2
对数幅值（dB） 20 18.4 17.8 16.0 10.5 2.7
-86 -108 -142 -161 -170
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
要求用频率响应法选择K，使系统阶跃响应指标保持在允许范围内
因为已取ωr=0.8，故无阻尼自然频率
0.8 ωn = = 0.87 0.92
于是，雕刻机控制系统的二阶近似模型应为 2 ωn Φ s) ≈ 2 ( 2 s + 2ζω s +ωn n 0.76 = 2 s + 0.49s + 0.76 根据近似模型，可以估算出系统的超调量为
σ =e %
2011年10月26日
−πζ / 1−ζ2
×100%= 40%
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要求用频率响应法选择K，使系统阶跃响应指标保持在允许范围内
调节时间（∆=2%）为
ts = 4.4
最后，按实际三阶系统进行计算，得到 的σ%=39%，tp=4s，ts=16s。
ζωn
=17.96s
σ%=39% tp=4s ts=16s
20Fra Baidu bibliotek1年10月26日
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
开环幅值增益|G|(dB)
因此，在图5-55所示的尼科尔斯图中，需要将 K=20的开环对数幅相曲线垂直向下平移，使 得在ω1=2.8处，新的对数幅相曲线与2.0dB的 等M曲线相切，其对应的谐振峰值Mr=1.27。 平移后，系统的幅值增益降低13dB（4.5倍）， 故K值应取为K=20/4.5=4.44。
K
1 s(s +1 s + 2) )(
图5-49(b) 雕刻机控制系统结构图
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要求用频率响应法选择K，使阶跃响应各项指标保持在允许范围内
本例的设计目标是：用频率响应法选择 控制器增益K的值，使系统阶跃响应的各项 指标保持在允许范围内。
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要求用频率响应法选择K，使系统阶跃响应指标保持在允许范围内
而图5-55则给出了系统相应的尼科尔斯图， 图中标注了K=20时的G0(jω)曲线。
开环幅值增益 开环幅值增益|G|(dB)
开环相角∠(G)（度）
由图可见，系统的谐振峰值Mr=12dB，或者Mr=4。
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
根据求得的Mr=4，利用式（5-118）
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
D(s)=s3+3s2+(6+K)s+(4+2K)=0 列劳思表如下
S3 S2 S1 S0 1 3 （14+K）/3 4+2K 6+K 4+2K
根据劳思稳定判据可知：使闭环系统稳定的 K值范围为K>0。
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10(1+s / 2) G0 (s) = 2 (1+s)(1+s / 2+s / 4)
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
10(1+s / 2) G0 (s) = 2 (1+s)(1+s / 2+s / 4)
表5-5给出了在0≤ω≤6范围内典型频率点上 的开环对数频率特性的数据。
为了减小超调量，应该减小系统的增益。 假定要求σ%≤25%，则由图3-13可知，系统 共轭主导极点的阻尼比应为ζ=0.4；
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
再由图5-52可见，谐振峰值应为Mr=1.37或 20lgMr=2.7dB。
Mr Mr
ζ
可以画出闭环频率特性曲线， 如图5-51所示。
α(ω)
20log|φ|(db)
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要求用频率响应法选择K，使系统阶跃响应指标保持在允许范围内
根据图5-51，可以认为系统的主导极点 为共轭复极点。
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α(ω)
由图可见，系统存在谐 振频率，其值ωr=0.8,相 应的谐振峰值 20logMr=5 或 Mr=1.78
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量 R(s)
预期速度
+ -
K(s + 2) (s +1)
Gc(s)
G (s)
1 s2 + 2s + 4
C(s)
实际速度
解：首先考虑保证系统稳定性的K值范围。 系统开环传递函数 K(s + 2) G0 (s) = Gc (s)G(s) = (s +1)(s2 + 2s + 4)
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→
扩展与引伸
（1）仅有一个控制器参数 K，能否取得满意的动 态性能？ K ↓→γ ↑ →σ%↓ → s ，是否？(Simulink图应用) t （2）串联网络试凑法设计 γ 取 G (s) = K(s +a) ，按可实现要求选定b ，以 K b K， s +b a 为变化参数，可否使系统动态性能改善？
第3讲 控制系统频域设计
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1
设计实例
例5-17 雕刻机控制系统 例5-18 遥控侦察车速度控制
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2
例5-17 雕刻机控制系统
例5-17 雕刻机控制系统
z轴 雕刻针 y轴 待雕刻的金属板 控制器 位置测量 x-电机1 x-电机2 预期位置 位置测量
x轴
图5-49(a) 雕刻机控制系统
图5-53 雕刻机控制系统和阶跃响应
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要求用频率响应法选择K，使系统阶跃响应指标保持在允许范围内
结果表明，二阶近似模型是合理的，可 以用来调节系统的参数。在本例中，如果要 求更小的超调量，应取K<2，比如取K=1重 复以上设计过程。
2011年10月26日
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雕刻机控制系统设计小结： 雕刻机控制系统设计小结
1 Mr ≈ sin γ
可得系统的相角裕度γ=14.5°，表明此时系 统的阶跃响应为欠阻尼响应。 于是，可将系统近似为振荡二阶系统，故 可由式（5-120）或图5-48求得系统阻尼比 ζ=0.13。 1 2ζω n 4 2 −2 γ = arctg = arctg[2ζ( 4ζ +1− 2ζ ) ] ωc
预期速度
+ -
K(s + 2) (s +1)
Gc(s)
G (s)
1 s2 + 2s + 4
C(s)
实际速度
系统开环传递函数
0.5K(0.5s +1) G0 (s) = 2 (s +1)(0.25s +0.5s +1) 由于图5-54（b）为单位反馈系统，其闭环特 征方程为 D(s)=(s+1)(s2+2s+4)+K(s+2) =s3+3s2+(6+K)s+(4+2K)=0
20log|φ|(db)
要求用频率响应法选择K，使系统阶跃响应指标保持在允许范围内
Mr Mr
ζ
于是，可由Mr=1.78估计出系统的阻尼比ζ=0.28， 然后进一步得到标准化谐振频率为ωr/ωn=0.92。
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图5-52 在共轭复极点顶的频率响应中，谐振蜂值 Mr、谐振频率ωr与ζ的关系曲线
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例5-17 雕刻机控制系统
图5-49（a）所示为雕刻机，其x轴方向 配有2台驱动电机，用来驱动雕刻针运动； 还各有一台单独的电机用于图示的y轴和z轴 方向。雕刻机x轴方向位置控制系统框图模 型如图5-49（b）所示。
+ R(s) 控制器
电机、螺杆 雕刻针支撑架
C(s)
x轴上 的位置
预期速度
+ -
K(s + 2) (s +1)
Gc(s)
G (s)
1 s2 + 2s + 4
C(s)
实际速度
图5-54(b) 遥控侦察车速度控制系统框图
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要求用频率响应法选择K,使单位阶跃响应有较小的稳态误差和超调量
图5-54是用于执行联合国维和使命的一种遥 控侦察车模型及其速度控制系统框图。其 中，R(s)为预期速度，由无线电指令传递给 侦察车，扰动N(s)代表了路面上的颠簸冲击。 本例的设计要求是用频率响应法选择系统增 益K，使侦察车速度控制系统的单位阶跃响 应有较小的稳态误差和超调量。
解 : 本例设计的基本思路是：首先选择增益 K的初始值，绘制系统的开环和闭环对数频 率特征曲线，然后用闭环对数频率特征来估 算系统时间响应的各项指标；若系统性能不 满足设计要求，则调整K的取值，重复以上 设计过程；最后，用实际系统计算来检验设 计结果。
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要求用频率响应法选择K，使系统阶跃响应指标保持在允许范围内
0.8 -1
1.0 -4
1.4 -9
1.8 -13
-107 -123 -150.5 -162 -179.5 -193
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要求用频率响应法选择K，使阶跃响应各项指标保持在允许范围内 表5-4 G(jω)的频率响应
ω 0.2 0.4 0.8 1.0 1.4 1.8 20log|G|(dB) 14 7 -1 -4 -9 -13 Ψ(ω) (度） -107 -123 -150.5 -162 -179.5 -193
根据表5-4可绘制开 环对数频率特性图 如图5-50所示。
渐进线近似
γ
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要求用频率响应法选择K，使系统阶跃响应指标保持在允许范围内
由图可见，系统的相角裕度γ=33°，项应的 闭环系统是稳定的。 由闭环频率特性函数
2 Φ jω = ( ) 3 2 ( jω +3( jω + 2( jω + 2 ) ) ) 2 = 2 2 (2−3ω ) + jω 2−ω ) (