人教版七年级下册数学数学台球桌上的角课件
2.1台球桌面上的角
2.1台球桌面上的角《21 台球桌面上的角》台球，作为一项备受欢迎的室内运动，其桌面看似简单，实则蕴含着丰富的几何奥秘。
其中，角的存在和变化尤为关键。
当我们站在台球桌前，准备击球的那一刻，目光所及之处尽是各种角度。
球与球之间的位置关系，球与桌边的碰撞轨迹，无一不是由角来决定的。
首先，让我们来了解一下台球桌面上最基本的角——直角。
台球桌的四个角通常都是直角，这为我们提供了一个稳定的边界和参考。
当球滚向桌边，与直角边碰撞时，其反弹的方向遵循着一定的规律。
这种规律是基于物理学中的反射原理，即入射角等于反射角。
比如说，一个球以一定的角度撞击桌边，如果入射角是 30 度，那么它反弹的角度也会是 30 度。
这一规律在我们击球时的策略制定中起着至关重要的作用。
如果我们想要将目标球打进特定的口袋，就需要准确地计算出击球的角度，以及球与桌边碰撞后的反弹角度。
除了直角，还有许多其他类型的角在台球桌上发挥着作用。
比如，两个球之间形成的夹角。
当我们想要通过击打一个球来撞击另一个球时，这两个球之间的夹角就决定了击球的力度和方向。
如果夹角较小，我们可能需要更精准的控制力度，以免击球后无法达到预期的效果；而如果夹角较大，那么击球的容错率相对会高一些。
再来说说球在桌面上滚动时形成的动态角。
当球沿着直线滚动，然后因为碰撞改变方向，这就形成了一个角度的变化。
这种变化对于我们判断球的后续轨迹至关重要。
有时候，一个小小的角度偏差可能会导致球完全偏离目标口袋，让我们错失得分的机会。
在实际的台球比赛或娱乐中，我们经常会遇到需要通过巧妙地利用角度来实现复杂击球的情况。
比如“斯诺克”比赛中，选手们常常会通过将母球藏在其他球后面，使得对手难以直接击打目标球。
这时，球与球之间形成的多个角度关系就需要选手们进行精确的计算和判断。
此外，不同的击球点也会影响球的旋转和角度变化。
如果我们击打母球的上部，球会向前旋转，与桌边碰撞后的角度变化相对较小；而如果击打母球的下部，球会向后旋转，与桌边碰撞后的角度变化则会较大。
台球桌上的角PPT课件
方法一：可利用对 顶角相等得出。
2020年10月2日
方法二：可利用补角得出。
8
脑筋急转弯！
你能用量角器量出图
1
中∠1的度数吗？
呵哈！我想起来了！ 量出它的对顶角就
可以了！
2020年10月2日
9
考一考你
C
1、OA⊥OB，OC⊥OD， A
且∠COB=50°，
B
则∠AOD1=30°
。
2、已知∠α= 48°21′则∠α的余角 O
台球桌面上的角
2020年10月2日
1
1 台球桌面上的角
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打 红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1 等于∠2 吗？
1
2
依据：入射角 等于反射角。
∠1=∠2
2020年10月2日
2
上图可以简单地表示为图2-1,其中CD与EF 垂直.各个角与∠1有什么关系?
D 图2－1
D
等于__41_°_3_9_′ __，补角等于__13_1_°_3_9′__
3、一个角的补角是它的余角的3倍，则
这个角为（ C ）
A、22.5° 2020年10月C2日、45°
B、50°
D、135°
10
余角、补角、对顶角的概念：
（1） 和为直角的两个角称互为余角； （2） 和为平角的两个角称互为补角； （3）两直线相交有多少对对顶角？
（2）如果将图2－2简单地表示为 图2－3，那么∠1与∠2的位置有什
图2－2 么关系？它们的大小有什么关系？
C
A2
O
图2－3 1
D
2020年10月2日
引入概念：如图2－3，两
数学数学台球桌上的角.ppt
∴所求的角 ＝110°－19°3′59″＝90°56′1″
1 2．如图，O为直线AB上一点，∠AOC = ∠BOC， 3
OC是∠AOD的平分线，求①∠COD的度数。②判断 1 OD与AB的位置关系。 解∵∠AOC ＝ ∠BOC
1
图2－3
D
顶角
B
对顶角相等
如图所示，有一个破损的扇形零件，利用 图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆 心角的度数吗？你能说出所量角是多少度 吗？你的根据是什么？
答：40°
方法一：可利用对 顶角相等得出。 方法二：可利用补角得出。
脑筋急转弯！
你能用量角器量出图 中∠1的度数吗？
1
呵哈！我想起来了！
1
台球桌面上的角
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打 红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1等于∠2
1
2
可知： ∠1=∠2
上图可以简单地表示为图2-1,其中CD与EF 垂直.各个角与∠1有什么关系?
E
D
1
图2－1
如果两个角的和是平 如果两个角的和是直 角，那么称这两个角 角，那么称这两个角 互为补角； 互为余角； ①∠1 = ∠2
3
∴∠BOC＝3∠AOC
又∵∠BOC＋∠AOC=180° ∴3∠AOC＋ ∠AOC=180° ∴∠AOC = 45° ∴∠COD ＝90°－45°= 45° ∴∠AOD＝45°＋45°＝90°
Байду номын сангаас
∴ OD和AB互相垂直
2、已知∠α= 48°21′则∠α的余角 11°39′ 等于________ 。
第一节 台球桌面上的角
第一节台球桌面上的角●课时安排7课时第一课时●课题§2.1 台球桌面上的角●教学目标(一)教学知识点1.余角、补角及对顶角的定义.2.余角、补角及对顶角的性质.(二)能力训练要求1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.(三)情感与价值观要求通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念.●教学重点1.互为余角、互为补角的定义及其性质.2.对顶角的定义及性质.●教学难点互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解.●教学方法讲练结合法教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题.●教具准备一些与本节内容有关的图片.在电脑里用flash制作课本P50的台球桌面图.投影片四张第一张：想一想(记作投影片§2.1 A)第二张：议一议(记作投影片§2.1 B)第三张：议一议(记作投影片§2.1 C)第四张：练习(记作投影片§2.1 D)●教学过程Ⅰ.创设现实情景，引入新课［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线.下面大家来看几幅图片：(出示投影片：P49的桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片) 你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？(同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线)［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线.在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案.相信大家，一定会学得很好.台球，是我们大家喜欢的体育活动，好多同学也玩过，谁能说一说你打球入袋的技巧？［生甲］如果白球与所要打的球及袋口成一直线时，那么就可以直接打进去.如果不在一直线上时，可以利用白球击打所要打的球，使它碰桌沿后，反弹即可入袋.［生乙］利用白球击打所要打的球时，必须要选择一个方向，即确定一个角度，否则是不可能打球入袋的.［师］噢，由此看来，打台球的一些技巧还与角有一定的关系.那我们今天就来研究一下：“台球桌面上的角”.Ⅱ．讲授新课［师］我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋.如图所示(电脑显示P50的上图).此时：∠1=∠2.让我们来看看模拟实例(电脑演示：用白球撞击红球，红球反弹后入袋)下面我们来看红球滑过的痕迹(电脑演示；让学生了解：数学源于实际).我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图：图2－1其中：CD与EF垂直，各个角与∠1有什么关系？大家来分组讨论一下.［生甲］因为CD与EF垂直，所以∠EDC=∠CDF=90°，因此，∠1+∠ADC=90°，∠2+∠BDC=90°.又因为∠1=∠2，所以∠1+∠BDC=90°.［生乙］因为球桌边框是直的，所以∠EDF=180°.因此，∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°.又因为∠1=∠2,所以∠1+∠BDE=180°.［师］很好，同学们经过讨论分析，得到了与∠1有关系的角.看：∠1+∠ADC=90°，我们就可以称∠1与∠ADC是互为余角.再看：∠1+∠BDC=90°，我们也可以称∠1与∠BDC是互为余角.由此，我们得到了一个新的概念：互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle),也就是说其中一个角是另一个角的余角.只要有∠BDC+∠1=90°，就可知道∠1与∠BDC互为余角，反过来知道∠1与∠BDC 是互为余角，就一定知道∠1与∠BDC的和为直角.再之：∠1与∠BDC是互为余角就是说：∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角.大家看老师手里拿两个三角板(一边演示，一边叙述)：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角.同学们应注意：(强调)(1)互为余角是对两个角而言的.(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.［生］老师，我们知道了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：∠1+∠ADF=180°,∠EDB+∠1=180°.那么这样的两个角又叫什么呢？［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？［生甲］只要满足∠1+∠ADF=180°，就可知道∠1与∠ADF是互为补角.反之知道∠1与∠ADF是互为补角，就一定可知道∠1与∠ADF的和是平角.［生乙］∠1与∠ADF是互为补角，就是说：∠1是∠ADF的补角，∠ADF也是∠1的补角.［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.［生丁］∠EDB与∠1也是互为补角.［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.好，下面大家来想一想.(出示投影片§2.1 A)在下图中，CD与EF垂直，∠1=∠2.(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？图2－2(同学们分组讨论，得结论)［生甲］在图中：∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角.∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角.［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠1=90°所以：∠ADC=90°－∠1=∠BDC.［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：因为∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠2=90°，所以∠ADC=90°－∠1，∠BDC=90°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADC=∠BDC.［生丁］老师，是不是这样：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC与∠BDC就相等.因此可以说：同一个角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等.所以∠ADC与∠BDC相等.因此可以说：相等的角的余角相等.［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？［生齐声］丁同学总结得对.［师］很好，这就得出互为余角的性质：同角或等角的余角相等.接下来看第三个问题:(同学们踊跃发言，得出结论)［生］∠ADF与∠BDE相等.因为∠1+∠ADF=180°，∠1+∠BDE=180°，所以，∠ADF=180°－∠1=∠BDE.还可以这样说：因为∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，所以∠ADF=180°－∠1，∠BDE=180°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADF=∠EDB.因此得出结论：同角或等角的补角相等.［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.接下来，我们议一议.(可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问.)(出示投影片§2.1 B)(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？(2)如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？图2－3［生甲］(1)用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线.∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角.由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等.［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.如图中的∠AO D与∠BOC也是对顶角.由对顶角的概念可知,对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：(1)看是不是两条直线相交所得的角;(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.接下来大家想一想：对顶角有什么性质？［生齐声］对顶角相等.［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.下面大家来议一议(出示投影片§2.1 C)如图(P52的上图)所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°.［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°－140°=40°.［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.下面我们来做一练习，以巩固所学内容.Ⅲ.课堂练习补充(出示投影片§2.1 D)1.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.图2－4答案：图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4.2.判断对错(1)顶点相对的角是对顶角.( )(2)有公共顶点，并且相等的角是对顶角.( )(3)两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.( )(4)两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.( ) 答案：× × × √ (举反例说明)Ⅳ.课时小结这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下： 定义：互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角. 互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.对顶角：像这样直线AB 与直线CD 相交于O ，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.注意：(1)互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.(2)对顶角的判断条件：⎪⎩⎪⎨⎧无公共边有公共顶点两条直线相交性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等. 对顶角相等. Ⅴ．课后作业(一)课本P 52习题2.1 1、2、3 (二)1.预习内容：P 53~54 2.预习提纲(1)直线平行的条件是什么？ (2)同位角的概念.(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.Ⅵ.活动与探究两条直线相交于一点，有 对对顶角，三条直线相交于一点，有 对对顶角.……n 条直线相交于一点，共可组成 对对顶角.［过程］让学生在讨论的过程中，学会归纳.两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出.那n 条直线呢？设n 条直线为a 1,a 2,…,a n以a 1为边所得到的对顶角数为2(n －1). 以a 2为边所得到的新对顶角数为2(n －2). …以a n －2为边得到的新对顶角数为2×2.以a n －1为边得到的新对顶角数为2×1. 加起来得n (n －1)对对顶角.［结果］两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n 条直线相交于一点，共有n (n －1)对对顶角.●板书设计§2.1 台球桌面上的角一、台球桌面上红球滑过的痕迹图2－5∠1+∠ADC =90° ∠1+∠BDC =90° ∠1+∠ADF =180°∠1+∠BDE =180°二、互为余角、互为补角的定义 三、互为补角、互为余角的性质 同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等. 四、对顶角的定义⎩⎨⎧.延长线两个角的两边互为反向两个角有公共顶点五、对顶角的性质： 对顶角相等. 六、练习 七、小结 八、作业参考例题(2.1台球桌面上的角)［例1］已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数. 分析：解这类型的几何题时，常设未知数用列方程(或方程组)的方法去解.即用代数方法解决几何问题.解：设这个角的度数为x .根据题意，得180°－x =3(90°－x )+10° 解得 x =50°答：这个角的度数为50°.［例2］如图2－6，直线AB 、CD 相交于点O ，∠EOC =80°，OA 平分∠EOC ，求∠BOD的度数.图2－6分析：要求∠BOD的度数，从图中可知：只需求出∠AOC的度数.因为∠AOC与∠BOD1∠EOC，是由直线AB与CD相交而构成的对顶角.由已知：OA平分∠EOC，可知：∠AOC=2而∠EOC已知，则∠BOD即可求出.解：∵OA平分∠EOC,1∠EO C.∴∠AOC=2∵∠EOC=80°,∴∠AOC=40°.∴∠BOD=∠AOC=40°.参考练习(2.1台球桌面上的角)1.如图2－7，三条直线l1、l2、l3相交于一点，∠1=60°,∠2=40°,∠3= .答案：80°图2－7 图2－82.如图2－8，直线AB、CD相交于O，∠AOD+∠BOC=200°，则∠AOC= .答案：80°3.如图2－9，AB、CD相交于O点，若∠1=90°,那么其余各角是多少度?解：AB、CD相交于O，∴∠AOD=∠1=90°.∴∠AOC=180°－∠1=90°.∴∠BOD=∠AOC=90°.答：∠AOC、∠AOD、∠BOD都是90°.图2－9 图2－104.如图2－10所示，∠AOB与∠BOC是互为补角，OD平分∠AOB，O E平分∠BOC，则∠D O E= .解：∵OD平分∠AOB，1∠AOB.∴∠DOB=2∵OE平分∠BOC，1∠BOC∴∠BOE=2∴∠DOE=∠DOB+∠BOE1(∠AOB+∠BOC)=90°=2答案：90°5.一个角的补角是这个角的对顶角的2倍，求这个角的度数.解：设这个角的度数为x,则：180°－x=2x∴x=60°答：这个角的度数为60°.1.台球桌面上的角练习准备一张白纸，把白纸对折得折线l，如图1，过l上一点D，如图2那样再折一次，展开这张纸如图3 .在图3中，过D点作l的垂线EF，则∠1与∠2相等吗？__________________________________________________∠1+∠CDA=_________，∠2+∠CDB=_________，∠1+∠ADF=_________，∠2+∠BDE=_________如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.想一想：(1）∠ADC与∠CDB相等吗？____(2）∠ADF与∠BDE相等吗？_______(3）图中哪些角互为余角__________(4）图中哪些角互为补角__________(5）由(1）(2）你可得出什么结论？_________________________________________________________________________ __参考答案1.台球桌面上的角∠1与∠2相等90°90°180°180°想一想：(1）相等(2）相等(3）∠1与∠ADC，∠1与∠CDB，∠2与∠CDB，∠2与∠ADC(4）∠1与∠ADF，∠1与∠BDE，∠2与∠BDE，∠2与∠ADF(5）同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等1.台球桌面上的角（15分钟练习）一、判断题1.若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余.（）2.若∠A与∠B互补，则∠A+∠B=180°.（）3.若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3互补.（）4.若∠AOB+∠BOC=180°，则点A、O、C必在同一直线上.（）5.若∠α+∠β+∠γ=90°，则∠α、∠β、∠γ互余.（）二、填空题1.如图1，直线l1与l2相交，∠1=50°，则∠2=_________，∠3=_________.图1 图22.如图2，直线AB与CD相交于O点，且∠AOD=90°，则∠AOC=_________=_________=_________=_________.3.如图3，若AO⊥CO，BO⊥DO，∠BOC=150°，则∠DOC=________，∠AOD=________.图3 图44.如图4，直线AB与CD相交于O，∠EOD=90°，正确填写下列两角关系的名称.∠1与∠2:______________________________________________________∠2与∠3:______________________________________________________∠2与∠4:______________________________________________________∠1与∠4:______________________________________________________三、选择题1.两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为（）A.1对B.2对C.3对D.4对2.下面说法正确的个数为（）①对顶角相等②相等的角是对顶角③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等A.1个B.2个C.3个D.4个3.若∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∠1=40°，则∠3等于（）A.40°B.130°C.50°D.140°4.如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（）A.（1）（3）B.（2）（3）C.（3）D.（3）（4）四、解答题1.如图5，AO⊥BO，直线CD经过点O，∠AOC=30°，求∠BOD的度数.图52.选做题已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角.参考答案1.台球桌面上的角一、1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.×二、1.130°50° 2.∠BOC=∠BOD=∠AOD=90° 3.60°30° 4.互为余角互为补角对顶角互为余角三、1.B 2.B 3.A 4.C四、1.120° 2.60°。
台球桌面上的角 ppt课件8
则∠AOD=
130° 。
A
C B
解：∵ ∠AOC = 90°－50°=40° ∠BOD = 90°－50°=40° ∴ ∠AOD = ∠AOC＋ ∠COB＋ ∠BOD = 40° ＋ 50° ＋ 40° =130 °
O
D
拓 展 练 习3
3、请指出下列图中那些角有对顶角？并把这些 对顶角表示出来。
此时∠1等于∠2。
E
1
D
2
F
A
C
B
上图可以简单地表示为图2 –1,
其中CD与EF垂直。
E
1
D
2
F
各个角与∠1有什么关系?
∠2 = ∠1
互为余角 A
C
B
∠ADC + ∠1 = 图 2–1 90° ∠BDC + ∠1 = ∵ ∠BDC + ∠2 = 90° 90° ∠ADF + ∠1 = 180° ∠BDE + ∠1 = ∵ ∠BDE + ∠2 =180° 180° 互为补角
AOFDOC AOBDOE BOCEOF AOCDOF BODEOA COEFOB
（1）
没有
（2）
有
（3） 没有
（4） 没有
4.如图，AB、CD、EF是经过点O的三条 直线，说出：
∠AOC 的对顶角
∠FOB 的对顶角
是∠BOD
F
， C
，A ， ，
E
O D B
是∠AOE
∠DOF 的对顶角 是∠COE ∠AOD 的对顶角 是∠BOC ∠EOB 的对顶角
1、下列图形中，∠1和∠2是对顶角的图形是（ C ）
2.12、1台球桌面上的角
Exercise：
1、一个角的余角比这个角的补角的1/3还小 、一个角的余角比这个角的补角的 还小 10度，求这个角的余角及这个角的补角？ 度 求这个角的余角及这个角的补角？ 2、如图，已知AOB是一直 、如图，已知 是一直 的平分线， 线，OC是∠ AOB的平分线， 是 的平分线 是直角， ∠ DOE是直角，图中哪些 是直角 角互余？哪些角互补？ 角互余？哪些角互补？
已知：如图， 例： 已知：如图，∠1=70°，OE平分 ° 平分 的度数． ∠AOC．求∠EOC和∠BOC的度数． ． 和 的度数
解：因为∠1+∠AOC=180°； 因为∠ ∠ ° 又∠1=70°， ° 所以∠ 所以∠AOC=180°- 70° ° ° =110°． °
=55°． ° 又因为∠ 对顶角相等) 又因为∠BOC=∠1，(对顶角相等 ∠ ， 对顶角相等 所以∠ 所以∠BOC=70°． °
同角或等角的余角相等 余角、补角性质： 同角或等角的补角相等 数 学 语 言 （1 ） ∵ ∠1 + ∠2=90°（已知） ∠2=90° 已知） ∠3=90° 已知） ∠1 + ∠3=90°（已知） ∠3（同角的余角相等） ∴ ∠2 = ∠3（同角的余角相等） ∠1 + ∠2=90°（已知） ∠2=90° 已知） =90° 已知） ∠3 + ∠ =90°（已知） ∠3（已知） ∵ ∠1 = ∠3（已知） 等角的补角相等） ∴ ∠2 = ∠ （等角的补角相等）
反馈练习：
下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？
对顶角的性质
对顶角相等
问题： 问题：我们在图形中能准确地 辨认对顶角， 辨认对顶角，那么对顶角有什 么性质呢？ 么性质呢？ [板书 方法 ： 板书] 方法1： 板书 ∵∠1与 互补， ∵∠ 与∠2互补， 互补 ∠3与∠2互补 与 互补 (补角定义 ， 补角定义)， 补角定义 ∴∠1＝ ∴∠ ＝∠3 (同角的补角相 同角的补角相 等)． ． 方法2： 方法 ： ∵∠1=180°-∠2 ∵∠ °∠ ∠3=180°-∠2 °∠ (补角定义 补角定义) 补角定义 ∴∠1=∠ 等量代换 等量代换)． ∴∠ ∠3(等量代换 ．
七年级数学台球桌上的角
七年级数学台球桌上的角
台球桌面上的角1 如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1 等于∠212 可知：∠1=∠2
上图可以简单地表示为图2-1,其中CD 与EF 垂直.各个角与∠1 有什幺关系?FABCDE 图2－1②∠1+∠ADC =90°③∠1+∠BDC =90°①∠1 = ∠2
④∠1+∠ADF =180°⑤∠1+∠BDE =180°如果两个角的和是直角，那幺称这两个角互为余角；
如果两个角的和是平角，那幺称这两个角互为补角；FABCDE
∠1 和∠ADC
∠1 和∠BDC
∠1 和∠ADF
∠1 和∠BDE
互为余角的有：
互为补角的有：
∠2 和∠ADC
∠2 和∠BDC
∠2 和∠ADF
∠2 和∠BDEFABCDE
∠2 的余角是：∠ADC 和∠BDC
∠ADC = ∠BDC
∠2 的补角是：∠ADF 和∠BDE
∠ADF = ∠BDE
同角或等角的余角相等。
七年级数学台球桌上的角
D
1
2
F
∠1的补角是： ∠ADF和 ∠BDE
A ∠2的余角是：
∠ADC和 ∠BDC ∠ADC =： ∠ADF和 ∠BDE
∠ADF = ∠BDE
同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
3 1
2
∵ ∴
∠1＋ ∠3＝180° ∠2＋ ∠3＝180° ∠1＝ ∠2 同角的补角相等
2、已知∠α= 48°21′则∠α的余角 11°39′ 等于________ 。
3、一个角的补角是它的余角的3倍，则 这个角为（ C ）
A、22.5° C、45° B、50° D、135°
综合题： 1、如图，OB平分∠COD，∠AOB=90°，∠AOC=125°， 求比∠COD的补角小19°3′59″的角的度数。 解：∠BOC＝∠AOC－∠AOB
1
台球桌面上的角
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打 红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1等于∠2
1
2
可知： ∠1=∠2
上图可以简单地表示为图2-1,其中CD与EF 垂直.各个角与∠1有什么关系?
E
D
1
图2－1
如果两个角的和是平 如果两个角的和是直 角，那么称这两个角 角，那么称这两个角 互为补角； 互为余角； ①∠1 = ∠2
(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？
（2）如果将图2－2简单地表示为 图2－3，那么∠1与∠2的位置有 什么关系？它们的大小有什么关 系？能试着说明你的理由吗？
图2－2
C A 2
引入概念：如图2－3，直
线AB与CD相交于点O，∠1与∠2 有公共顶点O，它们的两边互为反 向延长线，这样的两个角叫做对
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2、已知∠α= 48°21′则∠α的余角 11°39′ 等于________。
3、一个角的补角是它的余角的3倍，则 这个角为（ C ）
A、22.5° C、45° B、50° D、135°
综合题： 1、如图，OB平分∠COD，∠AOB=90°，∠AOC=125°， 求比∠COD的补角小19°3′59″的角的度数。 解：∠BOC＝∠AOC－∠AOB ＝125°－90° ＝35° ∠BOD ＝ ∠BOC ＝35° ∠COD ＝35°×2 ＝70° ∠COD的补角 ＝110°
∴ OD和AB互相垂直
1
图2－3
D
顶角
B
对顶角相等
如图所示，有一个破损的扇形零件，利用 图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆 心角的度数吗？你能说出所量角是多少度 吗？你的根据是什么？
答：40°
方法一：可利用对 顶角相等得出。 方法二：可利用补角得出。
脑筋急转弯！
你能用量角器量出图 的度数吗 中∠1的度数吗？ 的度数
答：∠1和∠2 不是对顶角。因为： ∠2的一条边不是∠1的反向延长线。
1、如图(1)，OA⊥OB，OC⊥OD，且∠COB=50°， 则∠AOD=
1Байду номын сангаас0° 。
A
C B
解：∵ ∠AOC = 90°－50°=40° ∠BOD = 90°－50°=40° ∴ ∠AOD = ∠AOC＋ ∠COB＋ ∠BOD = 40° ＋ 50° ＋ 40° =130 ° O D
∠1的余角是： ∠ADC和 ∠BDC ∠2的余角是： ∠ADC和 ∠BDC
D
1 2
F
∠1的补角是： ∠ADF和 ∠BDE
A C
B
∠2的补角是： ∠ADF和 ∠BDE
∠ADC = ∠BDC
∠ADF = ∠BDE
同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
3 1
2
∵ ∴
∠1＋ ∠3＝180° ∠2＋ ∠3＝180° ∠1＝ ∠2 同角的补角相等
A
B C
④∠1+∠ADF =180° ⑤∠1+∠BDE =
②∠1+∠ADC = ③∠1+∠BDC =
90° 90°
180°
E
互为余角的有：
∠1和∠ADC ∠1和∠BDC ∠2和∠BDC ∠2和∠ADC
D
1 2
F
互为补角的有：
A C
B
∠1和∠ADF ∠1和∠BDE ∠2和∠ADF ∠2和∠BDE
E
1
呵哈！我想起来了！
原来是： 只要量出它的对顶角就可以了！
作业：P52
1、如图，在长方形的台球桌面上，∠1＋∠3＝90° ∠ 2＝ ∠3。如果∠ 2＝ 58°，那么∠1等于多少度？ 试着与同伴交流你的理由。
答：32°
理由：∠1=90°－∠3 = 90°－∠2 = 90°－58 ° =32 °
2、当光线从空气射入水中时，光线的 传播方向发生了改变，这就是折射现象 （如图所示）。图中与是对顶角吗？
1
台球桌面上的角
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打 红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1等于∠2
1
2
可知： ∠1=∠2
上图可以简单地表示为图2-1,其中CD与EF 垂直.各个角与∠1有什么关系?
E
D
1 2
图2－1
F
如果两个角的和是平 如果两个角的和是直 角，那么称这两个角 角，那么称这两个角 互为补角 补角； 补角 互为余角 余角； 余角 ①∠1 = ∠2
∴所求的角 ＝110°－19°3′59″＝90°56′1″
1 2．如图，O为直线AB上一点，∠AOC = ∠BOC， 3
OC是∠AOD的平分线，求①∠COD的度数。②判断 1 OD与AB的位置关系。 解∵∠AOC ＝ ∠BOC
3
∴∠BOC＝3∠AOC 又∵∠BOC＋∠AOC=180° ∴3∠AOC＋ ∠AOC=180° ∴∠AOC = 45° ∴∠COD ＝90°－45°= 45° ∴∠AOD＝45°＋45°＝90°
(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？ （2）如果将图2－2简单地表示为 图2－3，那么∠1与∠2的位置有 位置有 大小有什么关 什么关系？它们的大小有什么关 什么关系 系？能试着说明你的理由吗？
图2－2
C A 2
引入概念：如图2－3，直
线AB与CD相交于点O，∠1与∠2 有公共顶点O，它们的两边互为反 向延长线，这样的两个角叫做对