因式分解法2fantasy

自学
指导
认真思考下面大屏幕出示的问题, 列出一元二次方程并尽可能用多 种方法求解.
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等， 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等， 这个数是几？你是怎样求出来的？ 这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
2
解(x +3)(x +4) = 0, ： x +3= 0或 +4 = 0, x
∴x = −3 x2 = −4. , 1
(5)t(t +3) = 28
解 整 ， ： 理 得
(t −4)(t +7) = 0,
t +3 −28 =0, t
2
∴1 = 4,t2 = −7. t
t −4 = 0或 +7 = 0, t
22.2.3 因式分解法
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的 方法? 直接开平方法 X2=a (a≥0) 配方法 (x+m)2=n (n≥0) 公式法
−b± b −4ac 2 x= . b −4ac ≥0 . 2a
2
(
)
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做 分解因式.
小 是 样 的 颖 这 解 :
解 x2 −3x =0. :
3± 9 ∴x = . 2
x2 = 3x.
小 是 样 的 明 这 解 :
解: 方 x2 =3x两 程 边 同 约 x,得 都 时 去 . ∴x =3.
∴ 个 是或. 这 数 0 3
小颖做得对吗?
∴ 个 是. 这 数 3
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
1
顺口溜：竖分常数交叉验， 常数交叉 顺口溜：竖分常数交叉验 横写因式不能乱 因式不能乱。 横写因式不能乱。
二次三项式 ax2+bx+c的因式分解
十字相乘法口诀：首尾分解， 十字相乘法口诀：首尾分解， 交叉相乘， 交叉相乘，求和凑中
解 程: x2 −7x +6 =0得 1 =1 x2 = 6; 而 2 −7x +6 = (x −1 x −6); 方 x , x )(
解 (1.5x2 −4x = 0 : ) ,
x(5x−4) =0. ∴x =0,或 x−4 =0. 5
4 ∴x1 = 0; x2 = . 5
(x−2)(1−x) =0.
∴x−2 =0 或 −x =0. , 1 ∴x1 = 2; x2 =1.
AB=0
A=0或Ｂ＝０ 或Ｂ＝０
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
AB=0 A=0或Ｂ＝０ 或Ｂ＝０
想一想
2、一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 解：设这个数为x,根据题意,得 设这个数为x,根据题意, 设这个数为x,根据题意 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, x(2x∴x=0,或2x-7=0.
7 ∴ x1 = 0, x2 = . 2
1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式 为零”,转化为两个一元一次 方程. 4. 分别解两个一元一次方 程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀：
左分解 右化零 两因式 各求解
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2. 2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
2
解 原 程 形 ： 方 变 为 (x − 3)(x+ 2) =0
x − 3 = 0或 + 2 = 0, x
∴x1 = 3, x2 = − 2.
x +3 x(3−2x) x(3x−1) (8) − = 3 2 3
2
解 去 母 得 ： 分 ，
2
2(x +3) −3x(3−2x) = 2x(3x −1 ),
解 程: x2 +2x−3= 0得 1 = −3 x2 =1 而 2 +2x −3=(x +3)(x−1 方 x , ; x ); 3 3 2 解 程: 4x −12x +9 = 0得 1 = , x2 = ; 方 x 2 2 4 2 解 程: 3x +7x +4 = 0得 1 = − , x2 = −1 方 x ; 3
提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.” AB=0 A=0或Ｂ＝０ 或Ｂ＝０
例题欣赏
☞
(2).x−2−x(x−2) =0,
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
那 这 个 至 有 个 0. 么 两 数 少 一 为
小 是 样 的 亮 这 解 :
解 由 程 2 =3x,得 : 方 x x2 −3x = 0. ∴x(x−3) =0. ∴x =0,或 −3=0. x ∴x1 =0, x2 =3. ∴ 个 是或. 这 数 0 3
小亮做得对吗?
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
• 1.解下列方程:
4 x(2 x + 1) = 3(2 x + 1).
4 x(2x + 1) − 3(2x + 1) = 0,
(2x + 1)(4x - 3) = 0,
∴ 2 x + 1 = 0, 或4 x − 3 = 0.
1 3 ∴ x1 = − , x2 = . 2 4
(6)(4x −3) = (x +3)
2
2
解 移 ， ： 项 得 (4x−3 −(x+3) =0, )
2 2
(4x −3+ x +3)(4x −3− x −3) = 0 5x(3x −6) = 0,
5x =0 3x−6 =0, 或 x =0, x2 = 2. 1
(7)x −( 3− 2)x − 6 = 0
看 了 什 ?有 有 律 出 点 么 没 规 ?
解一元二次方程的方法： 解一元二次方程的方法
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
练习
(1 x −5)(x +2) =18 )( 解：整理原方程，得 x2－３x－28=0
(x－7)(x+4)=0 X－7=0,或x+4=0 x1=7,x2= -4
(2)(2a−3) =(a−2)(3a−4)
去 号 移 Βιβλιοθήκη Baidu 并 类 ， 括 ， 项 合 同 项 得 2x −7x +6 = 0,
2
(x −2)(2x −3) = 0 x −2 = 0或 x −3= 0 2
3 ∴x = 2, x2 = . 1 2
百度百科 祖暅定理_百度百科 我国古代数学祖暅是5世纪末、6世 纪初的人，是著名数学家祖冲之的 儿子.他提出了祖暅定理，并用这个 定理求得球体积的计算公式.在欧洲， 直到17世纪才由意大利数学家卡瓦 列利提出这个定理，他也没有加以 证明，但比祖暅晚了一千多年
柱体的体积
和高h的积 的积。 定理 棱柱的体积等于它的底面 积s和高 的积。
V棱柱= sh
推论：斜棱柱的体积等于它的直截面面积 截和侧 推论：斜棱柱的体积等于它的直截面面积s截和侧 的积。 棱l的积。 的积
V棱柱= s截 l
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法） 借助十字交叉线分解因式的方法）
例一： 例一：
步骤：
x
× x
⇓
x + 6 x − 7 =( x + 7)( x − 1) ①竖分二次项与常数项 竖分二次项与常数项
2
⇓
7
或
−7
②交叉相乘，和相加 交叉相乘， 相乘 ③检验确定，横写因式 检验确定，横写因式
−1
祖暅原理
前提：两个几何体夹在两平行平面间 前提：两个几何体夹在两平行平面间. 条件：被平行于这两个平行平面的任何平面 条件：被平行于这两个平行平面的任何平面 任何 所截得的两个截面面积都相等 结论： 结论：这两个几何体的体积相等 功能：从一种几何体的体积公式， 功能：从一种几何体的体积公式，推导另一 种几何体的体积
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等， 这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 =3x.
小 是 样 的 亮 这 想 : Q ×3=0 − ×0 =0 0 , 15 , 0×0 = 0. 反 来如 a⋅b =0 过 , 果 , 那 a =0 b =0 么 或 或 =b = 0. a 即如 两 因 的 等 0, , 果 个 式 积 于
2
解 去 号 整 ， ： 括 ， 理 得 a −2a+1=0
2
(a−1 = 0 )
2
∴ 1 = a2 =1. a
(3) 2y =3y
2
解 2y −3y = 0 ：
2
y( 2 y −3) = 0 y = 0或 2y −3= 0
3 2 ∴y1 = 0, y2 = . 2
(4)x +7x +12 = 0