随机过程的分类与举例

令v = x − µ σ
=
∫ 1
+∞
e
e jux
−
(
x−µ )2 2σ 2
dx
=
2π σ −∞
∫ 1
e e dv +∞
ju(σ v+µ )
− v2 2
2π −∞
=
π ∫ 1 jµu− 1σ 2u2 +∞ −(v− ju)2
e e dv = e 2
2
jµu−1σ 2u2
2
2
−∞
特别X～N(0,1)时
ϕ（来自百度文库)
ϕZ (u) = ϕX (u)ϕY (u)
(可推广到n个相互独立随机变量)
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
ⅵ ϕ (u) 是非负定的. 即对任意的n,任意复数Zk,任意实数uk (k=1,2,…,n),有
nn
∑ ∑ϕ (ul −uk )zl zk ≥ 0
l =1 k =1
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a b−a
jt(b − a)
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正态分布 r.v.X～N(µ, σ2),密度函数为
f (x) =
1
− ( x−µ )2
e 2σ 2 ,−∞ < x + ∞, µ,σ (> 0)常数
2π σ
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则特征函数
∫ ϕ (u) = E[e juX ] = +∞ e jux f (x)dx −∞
=
−u2
e2
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指数分布
r.v.X服从参数为λ(>0)的指数分布, 概率
密度为 则特征函数
f
(
x)
=
⎧λe−λx
⎨ ⎩ 0,
,
x x
≥ <
0 0
∫ ϕ (u) = E[e juX ] = +∞ e jux f (x)dx −∞
∫ ∫ = +∞ e juxλe−λxdx = +∞ λe( ju−λ )xdx
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(2)特征函数的性质
ⅰ ϕ（u）≤ ϕ（0）= 1
ⅱ ϕ(u) = ϕ(−u) ⅲ 若Y=aX+b ,a,b为常数,则
ϕY (u) = e ϕ jbu X (au)
ⅳ ϕ(u)在（− ∞，+ ∞）上一致连续.
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ⅴ 若X与Y相互独立,Z=X+Y,则
= E[e juX T ]
∫ ∫ =
+∞L
−∞
+∞ −∞
e
j
(
u1x1
+u2
x2
+L+un
xn
)
dF
(
x1
,
x2
,L
,
xn
)
为n维随机变量X的特征函数.也称多元特征函数
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多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质 n维随机变量的特征函数与其联合分布函数 是一一对应的
则利用特征函数性质：ϕ (k) (0) = jk EXk
得 EX = ϕ′(0) = λ
j
EX
2
=
ϕ ′′(0)
ϕ (u) = E[e juX ] = e juc
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二项分布
P(X
=
k)
=
C
k n
p
k
q
n−k
,
k=0,1,…,n.0<p<1,q=1-p.
则特征函数
(e ju p)k
n
∑ ϕ (u) = E[e juX ] =
e
C juk k n
pk
qn−k
=
( pe ju
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特征函数应用举例:
1.设X服从参数为λ的泊松分布，求 EX，EX2 ，DX 解： 由题意ϕ (u) = eλ(e ju −1) 则 ϕ ′(u) = jλe jueλ(e ju −1) ,ϕ ′′(u) = −(λe ju + λ 2e2 )e ju λ(e ju −1)
0
0
=λ
λ − ju
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(4)随机变量的分布函数与其特征函数 相互唯一确定.
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多元特征函数 设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数 为F(x1,x2,…,xn),则称
ϕ (u1, u2 ,Lun ) = E[e ] j(u1X1+u2X2 +L+un Xn )
+
q)n
k =0
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泊松分布
P(X = k) = λk e−λ ,
k!
k=0,1,2,…, λ>0
则特征函数
∑ ϕ (u) = E[e juX ] = ∞ e juk λ k e−λ
k =0
k!
∑ = e−λ ∞ (λe ju )k = e−λeλe ju = eλ (e ju −1)
k=0 k !
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均匀分布 r.v.X～U(a,b],密度函数为
f
(
x)
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
b
1
−a 0,
,
a
≤x≤ 其它
b
则特征函数
∫ ϕ (u) = E[e juX ] = +∞ e jux f ( x)dx −∞
∫= eb jux 1 dx =
1
(e jbu − e jua )
为随机变量X的特征函数.
−∞ < u < +∞
其中u为实参变量, e juX为复随机变量
定义中的积分称为Stieltjes积分，它有如下性质：
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⑴当g(x)为跳跃函数,且在xi (i=1,2,…)具有跃度pi时有
∫ ∑ +∞
f (x)dg(x) =
−∞
f (xi )pi
i
⑵当g(x)存在导数g´(x)时,有
∫ ∫ +∞
f (x)dg(x) =
+∞ f (x)g′(x)dx
−∞
−∞
利用Stieltjes积分可以统一离散型与连续型随机变量 的数学期望定义.
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特征函数的几点说明 (1) 特征函数总是存在的. 对任意实数u,有|ejux|=1.故E[ejux]总存在.
随机过程的分类与举例
¾补充知识 • 随机变量的特征函数 • 特征函数的性质 • 常见随机变量的特征函数 ¾随机过程的有限维特征函数族
¾随机过程的分类与举例
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补充知识—随机变量的特征函数
定义 设随机变量X的分布函数F(x),则称
∫ ϕ (u) = E[e juX ] = +∞ e juxdF (x) −∞
ⅶ 设随机变量X的n阶原点矩(即E[Xn])存在,
则 ϕ (u)存在k(k≤n)阶导数,且有
ϕ (k) (0) = jk EXk , k ≤ n
⇒
EXk
=
ϕ (k) (0)
jk ,
k≤n
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(3)一些重要分布的特征函数 单点分布 P(X=c)=1, c常数.则