实数和二次根式的基本概念

知识点睛

.实数的基本概念

1.无理数的概念:

(1) 定义：无限不循环小数叫做无理数. (2) 解读:

1) 无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环 2) 无理数的常见类型:

① 具有特定意义的数。如 n 等;

② ……(每相邻两个1之间依次多一个2)等;

③ 开方开不尽的数，如72, V 4等.那么，是否所有带根号的数都是无理数呢

3) 有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数 和无限循

环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理

2.实数的概念及分类:

(1) 定义：有理数和无理数统称为实数. (2) 分类:

①按定义分：实数有理数整数---有限小数或无限循环小数

无理数——无限不循环小数

o

C n 匚k 、/

ri fi n

次根式的基本概念

(3) 实数的性质:

(4) 实数和数轴上的点是——对应的.

n 是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用

一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是 n 因为直径为1的圆的

周长为n

(5) 实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序

进行，有括号的先算括号里的。

(6) 实数中非负数的四种形式及其性质:

形式：①a 0 :②a 2

0 :③需0 ( a 0「④掐中a 0.

性质：①非负数有最小值0;②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于 0,则

每个非负数都等于0.

(7) 实数中无理数的常见类型:

①所有开丕尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数; ②圆周率n 及含有n 的数是无理数，例如：2 n 1等; ③ ... .

(一)根据实数的定义解题:

【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数哪些是正实数

131 …，n —廂,23,

呵,

…(相邻两个2之间0的个数逐次加1), 循,

旷05.

【例2】在实数0,1,血，0.1235中无理数的个数是(

正实数

正有理数 正无理数

②按性质分：实数0

负实数

负有理数 负无理数

①相反数：a 与b 互为相反数

b 0. ②绝对值:

a, a 0

0,a 0 或|a a,a 0

a,a a,a

a, a 0 a,a 0

C. 2

42,79,3.14,0.61414,0.1001000100001L 这 7 个实数中，无理数的个数

A . 0

【拓展】n,

22

7

是(

C. 2

A . 0

B . 1 【例3】下面有四个命题：

① 有理数与无理数之和是无理数. ② 有理数与无理数之积是无理数.

③ 无理数与无理数之和是无理数. ④ 无理数与无理数之积是无理数. 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的， 【例4】判断正误，在后面的括号里对的用

(1) 无理数都是开方开不尽的数.() (2) 无理数都是无限小数.(

(3) 无限小数都是无理数.( (4) 无理数包括正无理数、零、

(5) 不带根号的数都是有理数 (6) 带根号的数都是无理数.( (7) 有理数都是有限小数.( ) ) 负无理数 .( 并说明理由。

“2”错的记“>表示，并说明理由. .() (8) 实数包括有限小数和无限小数 (二)实数的绝对值： 【例5】 .(

求下列各数的相反数及绝对值: 【例6】 【拓展】 【例7】 (1)；厂64 (2)3 已知一个数的绝对值是 I X I = I- n|，求 X 若0 b 1则b 2 , 3，求这个数. 的值。 T b ，1这四个数有下列关系( b A. b2 b b 2

B. b b 2

D.

b 2

b

【例

8】比较下列各组数的大小:

⑴仃和3 .二次根式的概念 1.二次根式的定义：形如掐 (a>0的式子叫做二次根式

2.二次根式应满足两个条件: 第一, 有二次根号’旷”。 第二, 被开方数是正数或

。

第三, 二次根式掐(a >0表示非负数a 的算术平方根。

3.性质 ⑴(Ja)2=a (a >).

a(

\/F a (a>0 a(a 0)

J a 2

a (av 0)

(3) yf ab =4a •b (a>0 b>0

T a Vb = T ab (a>0 b>0

⑷H (

小b >0)

【拓展1】x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义

(1) J 2x 3 ;

I 练习】下列根式2

屈应，孚，甲 E 点中式最简二次根式的有（

A . 2个

B . 3个

C . 4个

【例4】把下列各式化成最简二次根式。

2 有理数集合：｛

【例1】下列各式中哪些是二次根式,

请作出判断。

［例 2】当x 取怎样的实数时①仄下：②芮匸；③J

在实数范围内有意义

2 1 V x

【拓展2】x 取何值时, (1) J 3 6x ；

【拓展3】x 取何值时, 下列各式有意义

⑵

叭

下列格式有意义：

JyTl

(1)

(2) 71 x 3

2x T x ~9

3.最简二次根式

二次根式梟（a 二次根式： （1） 被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）

（2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3） 分母中不含二次根式。

二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.

【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是

0 ）中的

a 称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为最简 (1)

>/3a 2

b (2) J 3

|b

(3) J x 2 y 2

(4) 4^~b (a > b ) (5) 75

【例

2】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（ ）.

sfe x 1

，

__ ，J ab 2

， 血5ab ，眉，趣,J 24x ，

~4x ~4 .

V 3 4

个

【例

3】在下列二次根式 屎，匹，275m ，3x 2

,

—b 2

，匹,7i2x , —b ,—=——产,-=, ----------

V 2 3

43 42 42

2

二次 根式有