高等代数北大版第6章习题答案
高等代数(北大第三版)习题答案完整
f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 = ( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 22( x + 2) 2 − 24( x + 2) + 11
3)
f ( x) = x 4 + 2ix 3 − (1 + i ) x 2 + 3 x + 7 + i
= ( x + i − i )4 + 2i ( x + i − i )3 − (1 + i )( x + i − i ) 2 − 3( x + i − i ) + 7 + i = ( x + i ) 4 − 2i( x + i)3 + (1 + i)( x + i ) 2 − 5( x + i ) + 7 + 5i
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
证：设 ( f ( x ) h( x ), g ( x ) h( x )) = m( x ) 由
( f ( x ), g ( x)) h( x ) | f ( x) h( x) ∴ ( f ( x ), g ( x)) h( x ) | m( x )
设 d ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
由 12 题 ( fg , f + g ) = 1 令 g = g1 g 2 … g n
∴ 每个i, ( fi , g ) = 1 ⇒ ( f1 f1 , g ) = 1, ⇒ ( f1 f 2 f3 , g ) = 1 , ⇒ ( f1 f 2
高等代数课件北大三版 第六章 向量空间
惠州学院数学系
9
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给f(x),g(x),h(x) ? F[x].
(a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) (ab) f(x)= a(bf(x)).
(m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x). (m3) (a ? b) f(x)= a f(x)+ b f(x).
加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
1. A+B=B+A 2. (A+B)+C= A+( B+C) 3. O＋A=A 4. A+(-A)=O
5. a(A+B)= aA+Ab 6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A ＝A
惠州学院数学系
5
(m4) 1 ? f(x)= f(x).
注1：刚开始，步骤要完整.
惠州学院数学系
10
例5 C[a,b] 表示区间[a,b] 上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域 R的向量空间，称为函数空间 . 证明： 比照例3，给出完整步骤. 例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量
空间，R是否为C上的向量空间？
惠州学数学系
12
例8 在 R2 上定义加法和数乘：
(a, b) ? (c, d) ? (a ? c, b ? d ? ac) k (a,b) ? (ka, kb? k(k ? 1) a 2 )
2
证明 R2 关于给定运算构成R上的向量空间.
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高数第六章总习题答案
复习题A、判断正误1、若a b b c 且b 0 ,则a c;()解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b0或a c . 例如ai , b j ,k ，有 a b b c 0 , 但a c .cM * 2、 右ab bc 且 b 0 ,则a c ;()解析 此结论不一定成立.例如a i,b j , c(i j), 则b i j k ,bc j [ (i j)]k , a b b c , 但ac .3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ;()两个相互垂直的非零向量点积也为零.解析二、选择题：当a 与b 满足（D ）时，有a b解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b .解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面.4、 a解析 b b a .这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ；（B ） a b （为常数）;(C)// b ; (D) a||b .(A)中a , b 夹角不为0, (B),（C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反.2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ;(B) x(C) x z 0;(D)解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C.3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 22y 2所表示的曲面是（B ）；（A ）椭球面；（B ） 椭圆抛物面;(C)椭圆柱面；（D ） 单叶双曲面.25、直线x 1 yz 1与平面x y z 1的位置关系是（B ）.2 11（A ）垂直；（B ） 平行；（C ）n夹角为一；（D ）夹角为n44解析直线的方向向量s ={2 ,1,-1}, 平面的法向量 n ={1 , -1 , 1},s n =2-1-1=0 ,所以，s 丄n ，直线与平面平行.三、填空题：所以，与平面垂直的单位向量为3、过点（3,1, 2）和（3,0,5）且平行于x 轴的平面方程为 7y z 5 0 ；解 已知平面平行于 x 轴，则平面方程可设为 By Cz D 0,将点（-3 , 1, -2）4、空间曲线2'在xOy 面上的投影方程为（C ）；(A) x 2 y27； (B)7； (C)7； (D)解析 2 2曲线x yz 57与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为x 2 y 2 7z 01、 若a|ba b sin(a$) = . 2 sin n = 2 , a ba b cos(a$) = , 2 cos^o.2、 与平面x y 2z 6 0垂直的单位向量为平面的法向量 n ={1， -1，2}与平面垂直，其单位向量为：n =/和（3 ,0,5）代入方程，有 B 2C D5C D 0,0,B CD,得D,7 , Dy 5 -Dz D 0, 5即7y z 5 0.4、过原点且垂直于平面2y z2 0的直线为 xy z ；2解 直线与平面垂直，则与平面的法向量n =｛0,2,-1｝平行，取直线方向向量s = n =｛0 ,2,-1｝，由于直线过原点，所以直线方程为- 1 z 0 2曲线方程.四、解答题:2、已知向量RP 2的始点为R （2, 2,5），终点为P 2（ 1,4,7），试求：（1）向量RR 的坐标表示；（2）向量RF 2的模；（3）向量RP 2的方向余弦；（4）与向量P 1P 2方向一致的单位5、曲线Z 2x 2z 12y ,在xOy 平面上的投影曲线方程为2 2 ,2x y 1, z 0.解：投影柱面为2x 2y 2 1，故2x 2z 01'为空间曲线在xOy 平面上的投影1、 已知{1, 2,1},｛1,1,2｝，计算⑻;(b)(2a b) (a b) ； (c)解：a b = 12 1{ 5, 1,3}.1 12(b)2a b {2, 4,2} {1,1 2} {1, 5,0},所以（2ab) (a b) {1, 5,0} {2, 1,3} 7 .(c)a b {1, 2,1} {1,1,2} {0,3, {1, 2,1} {1,1,2} {2, 1,3},a b 2 W'9 1)210 ijk1｝，所以 a b b ；故与a 、b 都垂直的单位向量为求向量d5、求满足下列条件的平面方程:(1)过三点 R(0,1,2) , P 2(1,2,1)和 P 3(3,0,4) ； (2)过 x 轴且与平面-5xx 0 y 1 z 2用三点式.所求平面的方程为1 02 1 1 2 0 ,即3 0 0 14 2解 （1）解1 :向量.(1)P i PP { 1 2,4(2),7 5} { 3,6,2}⑵PP 2.（3）2 62 22.49cos3、 P i P 2x,y,z 的方向余弦分别|,cos6,cos(P 1P 2)PP 23i 2k3. i 72k .7设向量1, 1,1 ， b1,1, 1 ，求与a 和b 都垂直的单位向量•解：令c°,2,2 , c °1c1 1 °\2 \2，4、向量d 垂直于向量a[2,3, 1]和b [1, 2,3]，且与 c [2, 1,1]的数量积为解：d 垂直于a 与b ，故d 平行于ab ，存在数使[2,3, 1] [1, 2,3] [7 , 7,7]因 d c 6，故 2 7( 1) ( 7 ) 137d [ 3,3,3].2y z 0的夹x 5y 4z 13 0.x 5y z Q6、一平面过直线且与平面x 4y 8z 12 0垂直，求该平面方程;x z 4 0x 5y 4z 13 0.解2: 量为用点法式.P 1P 2{1,1, 1},PB {3, 1,2}，由题设知，所求平面的法向n P 1P2R Bi j k 1 1 1 i 5j 4k ,31 2又因为平面过点R(0,1,2)，所以所求平面方程为(x 0) 5(y 1) 4( z 2) 0,即解3: 用下面的方法求出所求平面的法向量n {A,B,C},再根据点法式公式写出平面万程也可.因为 n RP 2,n P 1P 3，所以 3A平面方程为2C °0解得B 5A,C 4A ，于是所求A(x 0) 5A(y 1) 4A(z 2) 0,即 x 5y 4z 13 0.(2)因所求平面过x 轴，故该平面的法向量 n {A, B,C}垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影A 0,又平面过原点，所以可设它的方程为 By Cz 0，由题设可知B 0 (因为B 0时，所求平面方程为 Cz 0又C0 ,即z 0 .这样它与已知平面5x 2y z 0所夹锐角的余弦为0 V5 0 2 1 102 02 12 . (. 5)2 22 12n 1Ccos ——，所以 B 0 )，令一 3 2 BC ，则有 y Cz 0，由题设得0 <5 1 2 C 1cos —J _ = 302 12 c 2.( 5)2 22 12解得C 3或C1，于是所求平面方程为3y 3z 0 或 3y z 0.x 5y z 0, 4解法1 : 直线在平面上，令X =0,得y , z=4,则(0, x z 4 0 54)为平面上的点.设所求平面的法向量为n ={ A, B, C}，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即解方程组解法2：用平面束(略)直线方程•式方程，所求直线方程为x 4z 23 02x y 5z 33 0n i={l ,5 , 1}, n2 ={1, 0, -1}，则直线的方向向量s = n1 n?=={-5 , 2,-5} ，由于所s n ={-5 ,2, -5} ? {A,B,C}= 5A 2B 5C =0,因为所求平面与平面x 4y8z 12 0垂直，则{A, B,C} {1, 4, 8}=A 4B 8C =0,所求平面方程为5AA2B4B5C8C2C,2C52C(x 0) ^(y4) C(z5 4) 0,即4x 5y 2z 12 0.7、求既与两平面14z 3和2：2x y 5z 1的交线平行，又过点(3,2,5)的解法1: n11,0, 2, 1, 5 , s 3, 1 ,从而根据点向解法2：设s m, n, p ，因为s n1，所以m 4p 0 ；又s n2，则2m n 5p 0,可解m4p,n 3p，从而p 0 .根据点向式方程，所求直线方程为解法x 34p口◎，即2LJ3p p 43:设平面3过点(3,2,5)，且平行于平面则n3n11,0, 4为3的法向量，从而3的方程为1 (x 3) 0 (y 2) 4 (z 5) 4z 23 0 .同理, 过已知点且平行于平面2的平面4的方程为2x y 5z 33 0 •故所求直线的方程为相交，求该直线方程;又因为直线过点A(1,2,1)，则所求直线方程为可得m p ，代入③解得n9、指出下列方程表示的图形名称：⑻ x 2 4y 2 z 21 ； (b)x 2 y 2 (d) x 2y 2 0 ； (e) x 2 y 21 ； 解：(a)绕y 轴旋转的旋转椭球面. 的锥面.(d)母线平行于z 轴的两垂直平面：x (f)旋转抛物面被平行于 XOY 面的平面所截得到的圆，半径为 2 ,圆心在(0, 0, 2)处.2x 所以柱面与xOy 平面的交线C : z y 1所围成的区域x 2 y 21即为曲面解： 设所求直线的方向向量为s {m,n, p}，因垂直于 所以3m 2nx 1 m,，则有 y 2 n,代入方程②有1m 2n, m 1 p,z 1p,10、2 2 2求曲面z x y 与z 2 (x)所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形.将所给曲面方程联立消去z就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程一直线通过点 A(1,2,1),且垂直于直线L :x 1 ~3~,又和直线xx 1 y 2z 1J① m n px y z,②3m2n p 0 , ③由①，令x 1y 2 z 1mnp2z；(c) zx 22y ；22(f)z xyz 2(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面.(c) 绕z 轴旋转y ,xy . (e) 母线平行于 z 轴的双曲柱面.2p ，因此，所求直线方程为2 2 2 2z x y与z 2 (x y )所围立体在xOy平面上的投影(图略).1、设a解：A(a 2b) (a3a b 2a2、设（a复习题B（细-，求以a 2b和a 3b为邻边的平行四边形的面积3b)3b) (7a 5b),解：由已知可得：（a 3b）15b216a b 0,这可看成是含三个变量3、求与a解由于5a(a(7aa 3ab 2b a 6b b4b)5b)5a8b{1, 2,3} { , 24、已知a解法由①得z| |bsin($b) 5 4 3(7a 2b)，求(？,b).0, (a 4b) (7a 2b)230a b 0.、b及a b的方程组，可将a、b都用a J2a b，从而cos(£b)a b a ba |b 2a b2，(?'b) {1, 2,3}共线，且a b 28的向量b .b与a共线，所以可设b,3 } 28 ,28，所以{1,0, 2}, b1：待定系数法•设x2④，由②得y,2 ,3 },2，从而b {2,{1,1,0}，求c，使4,6}.c a, cc {x, y, z}，则由题设知cx 2z 0x y 0x2y2z2 6x⑤，将④和⑤代入③得-30.2b表示，即28 ,得6.a 0, cb 0 及c2x2( x)2 26，所以6，解得x 4,y4,z2，于是 c{4, 4,2} 或c { 4,4, 2}.解法2:利用向量白 勺垂直平行条件，因为c a,c b , 所以c // a b设 是不为零的常数，则i jkc(a b) 1 0 22 i 2 jk ,1 1因为c :6 ，所以卡■' 2[22 ( 2)212] 6 ,解得2，所以c{4, 4,2}或c { 4,4, 2}.解法3:先求出与向量ab 方向一致的单位向量，然后乘以6 .i j ka b1 0 22i 2j k ,a bJ 22 ( 2)2 123,1 1 0故与a b 方向一致的单位向量为1f{2, 2,1}.于是 c 6{2, 2,1}，即 c {4, 4,2}或 3c { 4,4, 2}.22R 25、求曲线x y R 的参数式方程.x y z 0解：曲线参数式方程是把曲线上任一点P(x, y,z)的坐标x, y, z 都用同一变量即参数表示出来，故可令 x R cost, y Rsi nt ,贝 U z R(cost si nt).2y在xOy 面上及在zOx 面上的投影曲线的方程.2x 解：求L 在xOy 面上的投影的方程，即由L 的两个方程将z消去，即得L 关于xOy 面 的投影柱面的方程x 2 y 2 2x 则L 在xOy 面上的投影曲线的方程为6、求曲线L: z 4 X 22 2x y2小y 2x z 0同理求L 在zOx 面上的投影的方程，即由 L 的两个方程消去y ，得L 关于 zOx 面的投影柱 面的方程z ,4 2x ，则L 在zOx 面上的投影曲线方程为z 4 2x7、已知平面 过点M °(1,0, 1)和直线L 1: — 2_y ~1三」，求平面1的方程.解法1: 设平面的法向量为n，直线L1的方向向量s, (2,0,1)，由题意可知n s1,uLuiun uuuuurM (2,1,1)是直线L i上的一点，则M°M (1,1,2)在上，所以n MM。
高等代数【北大版】6.2
证:设 α ∈ V , 且 α ≠ 0
k1 , k2 ∈ P , k1 ≠ k2 , 有 k1α , k2α ∈ V
又 k1α-k2α = ( k1 k2 )α ≠ 0
∴ k1α ≠ k2α .
而数域P中有无限多个不同的数,所以V中有无限 而数域 中有无限多个不同的数,所以 中有无限 中有无限多个不同的数 多个不同的向量. 多个不同的向量.
引例 1
在第三章§ 中 我们讨论了数域P上的 上的n维向量 在第三章§2中,我们讨论了数域 上的 维向量
空间P 定义了两个向量的加法和数量乘法: 空间 n,定义了两个向量的加法和数量乘法:
(a1 , a2 , , an ) + (b1 , b2 , , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn )
3,0α = 0, k 0 = 0, ( 1)α = α , , k (α β ) = kα k β 证明: 证明:∵ 0α + α = (0 + 1)α = α ,
∴两边加上 α 即得 0 α =0; ∵
kα = k (α + 0) = kα + k 0
+ (1α ) = 1α + (1α ) = (1 1)α = 0α = 0
f ( A) + g ( A) = h( A), kf ( A) = d ( A) 其中, 其中,k ∈ R, h( x ), d ( A) ∈ R[ x ]
中含有A的零多项式 的零元素. 又V中含有 的零多项式,即零矩阵 ,为V的零元素 中含有 的零多项式,即零矩阵0, 的零元素 以 f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 有负元素- -f(x) , 则 f(A)有负元素-f(A). 由于矩阵的加法与数 有负元素 乘满足其他各条, 为实数域R上的线性空间 乘满足其他各条,故V为实数域 上的线性空间 为实数域 上的线性空间.
高等代数【北大版】6.4
a2n
②
ann
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
为由基1, 2 , , n到基 1, 2 , , n 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , , n
的基变换公式．
§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
并求矩阵 A
3 4
5 2
在基 F11, F12 , F21, F2下2 的矩阵.
§6.4 基变换与坐标变换
解：
F11 E11
F12 F21 F22
E11 E11 E11
E12 E12 E12
E21 E21
E22
1 1 1 1
(
F11
,
F12,
F21
,
F22
)
(
E11
,
E12,
任取V的一组基 1,2 , ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2, , n
i 1
于是有， (1, 2 , , n ) (1,2 ,
, n ) A
§6.4 基变换与坐标变换
由A可逆，有 (1,2, ,n ) (1, 2, , n )A1
即，1,2 , ,n也可由 1, 2 , , n 线性表出.
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
§6.4 基变换与坐标变换
1 0 0 1
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。
证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY CY AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ΛΛ，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y ===Λ21,1,021=====++n p p y y y Λ则可得一线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++11002211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21Λ=使()0111000<--=----+++='p n AX X s sΛΛ， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。
13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。
证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ， 于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第6章 线性空间 【圣才出品】
第6章线性空间[视频讲解]6.1本章要点详解本章要点■线性空间的定义与简单性质■维数、基与坐标■基变换与坐标变换■线性子空间的判定■线性子空间■子空间的交与和■子空间的直和■线性空间的同构重难点导学一、集合·映射1．集合（1）定义①集合：把一些事物汇集到一起组成的一个整体．②元素：组成集合的东西．a∈M，表示a是集合M的元素，读为：a属于M．a M，表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M．③空集：不包含任何元素的集合．④子集合：如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a∈M可以推出a∈N，则称M为N的子集合．空集合是任一集合的子集合．（2）集合的关系①集合相等：如果两个集合M与N含有完全相同的元素．即a∈M当且仅当a∈Ｎ．或者两个集合同时满足M∈N和N∈M．②集合的交：设M，N是两个集合．既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为M∩N．③集合的并：属于集合M或者属于集合N的全体元素所组成的集合称为M与N的并，记为M∪N．2．映射（1）定义设M与M′是两个集合．存在一个法则，它使M中每一个元素a都有M′中一个确定的元素a′与之对应，则称这个法则为集合M到集合M′的一个映射．如果映射σ使元素a′∈M′与元素a∈M对应，则记为σ（a）＝a′．a′称为a在映射σ下的像，而a称为a′在映射σ下的一个原像．M到M自身的映射，也称为M到自身的变换．集合M到集合M′的两个映射σ及τ．若对M的每个元素a都有σ（a）＝τ（a），则称它们相等，记作σ＝τ．（2）映射的乘积设映射，乘积定义为(a)＝τ(σ(a))，即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个映射．（3）映射的性质①设σ是集合M到M′的一个映射，用σ（M）代表M在映射σ下像的全体，称为M在映射σ下的像集合，显然σ（M）∈M′，如果σ（M）＝M′，映射σ就称为映上的或满射．②如果在映射σ下．M中不同元素的像也一定不同．即由a1≠a2一定有σ（a1）≠σ（a2），则称映射σ为1-1的或单射．③一个映射如果既是单射又是满射称为1-1对应或双射．（4）可逆映射设映射σ：M→M′，若有映射τ：M′→M，使得，则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，记作σ－1．二、线性空间的定义与简单性质1．线性空间的定义如果加法与数量乘法满足下述规则，则V称为数域P上的线性空间．加法满足下面四条规则(1)α＋β＝β＋α；(2)（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；(3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素α都有0＋α＝α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；(4)对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得α＋β＝0（β称为α的负元素）．数量乘法满足下面两条规则(1)1α＝α;(2)k（lα）＝（kl）α．数量乘法与加法满足下面两条规则(1)（k＋l）α＝kα＋lα；(2)k（α＋β）＝kα＋kβ．在以上规则中，k，l表示数域P中的任意数；α，β，γ表示集合V中任意元素．由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间．分量属于数域P 的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间用P n来表示．2．线性空间的简单性质（1）零元素是唯一的；（2）负元素是唯一的；（3）0α＝0；k0＝0；（－1）α＝－α；（4）如果kα＝0．那么k＝0或者α＝0．三、维数、基与坐标1．线性空间中向量之间的线性关系（1）有关定义①线性组合设V是数域P上的一个线性空间，α1，α2，…，αr（r≥1）是V中一组向量，k1，k2，…，k r是数域P中的数．使得向量α＝k1α1＋k2α2＋…＋k rαr，则称为向量组α1，α2，…，αr的一个线性组合，或者称向量α可以用向量组α1，α2，…，αr线性表出．②向量组等价设α1，α2，…，αr（6-1）β1，β2，…，βr（6-2）是V中两个向量组，如果向量组（6-1）中每个向量都可以用向量组（6-2）线性表出，则称向量组（6-1）可以用向量组（6-2）线性表出．如果向量组（6-1）与向量组（6-2）可以互相线性表出．则称向量组（6-1）与（6-2）为等价的．③线性无关线性空间V中向量α1，α2，…，αr（r≥1）称为线性相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k1，k2，…，k r，使k1α1＋k2α2＋…＋k rαr＝0（6-3）如果向α1，α2，…，αr不线性相关，称为线性无关，或者称向量组α1，α2，…，αr为线性无关，如果式（6-3）只有在k1＝k2＝…＝k r＝0时才成立．（2）有关结论①单个向量α是线性相关的充分必要条件是α＝0．两个以上的向量α1，α2，…，αr线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合；②如果向量组α1，α2，…，αr线性无关，而且可以被β1，β2，…，βr线性表出，那么r ≤s．。
北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业47超几何分布【含答案】
北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业47超几何分布(原卷版)一、选择题1.设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A. B.C. D.2.有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是()A.①②B.③④C.①②④D.①②③④3.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则EX＝()A. B.C. D.4.有8名学生，其中有5名男生.从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望为EX＝()A.2B.2.5C.3D.3.55.在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为()A. B.C. D.6.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是()A.P(X≥2)B.P(X＝3)C.P(X≤2)D.P(X≤3)7.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于()A.B.C.D.8.(多选题)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则下列结论正确的是()A.P(X＝0)＝B.P(X＜2)＝C.EX＝D.DX＝二、填空题9.现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X，则X的数学期望EX＝.10.有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为.(用式子表示)11.盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，P(ξ＝4)＝，Eξ＝.三、解答题12.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.13.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.14.3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率为()A. B. C. D.15.从由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数，其中满足1，3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X，则P(X＝2)＝.(结果用式子表示即可)16.某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3＋1＋2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等级A B C D E比例15%35%35%13%2%赋分区间[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]而等比例转换法是通过公式计算：.其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为Y1，Y2时，等级分分别为T1，T2.假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级[69，84][71，85]设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得，所以T＝76.6≈77(四舍五入取整)，小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人数1232322 (1)从化学成绩获得A等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；(2)从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.北师大高中数学选择性必修第一册第六章课时作业47超几何分布(解析版)一、选择题1.设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(D)A. B.C. D.解析：取出的红球个数服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布.由超几何分布的概率公式，知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为.故选D.2.有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是(B)A.①②B.③④C.①②④D.①②③④解析：超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为试验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知③④服从超几何分布.故选B.3.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则EX＝(D)A. B.C. D.解析：X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，分布列如下X012PEX＝1×＋2×.故选D.4.有8名学生，其中有5名男生.从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望为EX＝(B)A.2B.2.5C.3D.3.5解析：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k ＝1，2，3，4).所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×.故选B.5.在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为(A)A. B.C. D.解析：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时P＝；当1个正品3个次品时P＝；所以正品数比次品数少的概率为.故选A.6.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是(B)A.P(X≥2)B.P(X＝3)C.P(X≤2)D.P(X≤3)解析：由表示从12人中选取6人，表示从5名“三好学生”中选取3人，表示从7个“非三好学生”中选取3人，故表示从12人中选取6人，有3人是“三好学生”的概率.故选B.7.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于(C)A.B.C.D.解析：由题得P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝.故选C.8.(多选题)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则下列结论正确的是(ABCD)A.P(X＝0)＝B.P(X＜2)＝C.EX＝D.DX＝解析：由题意知，随机变量X的所有取值为0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，于是P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，EX＝2×，DX＝－.由此可知，四个选项均正确.故选ABCD.二、填空题9.现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X，则X的数学期望EX＝.解析：由题意可得，随机变量X服从超几何分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，据此计算可得X的数学期望EX＝.10.有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为.(用式子表示)解析：设取出的二级品台数为X，由题意知，随机变量X服从超几何分布，则取二级品1台时P(X＝1)＝，取二级品0台时P(X＝0)＝，故P(X≤1)＝P(X＝1)＋P(X＝0)＝，即二级品不多于1台的概率为.11.盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，P(ξ＝4)＝，Eξ＝.解析：盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，则ξ的所有可能取值为3，4，5，6，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝，Eξ＝3×＋4×＋5×＋6×.三、解答题12.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.P(X＝1)＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－.因此X的分布列为X01P(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P＝.②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝，P(Y＝10)＝，P(Y＝20)＝，P(Y＝50)＝，P(Y＝60)＝.因此随机变量Y的分布列为Y010205060P13.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝.(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝.因此X的分布列为X01234P14.3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率为(A)A. B. C. D.解析：依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，则可分为下列三类：“女生得0分男生得6分”，设为事件A1；“女生得2分男生得4分”，设为事件A2；“女生得4分男生得2分”，设为事件A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝.故选A.15.从由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数，其中满足1，3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X，则P(X＝2)＝.(结果用式子表示即可)解析：“由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数”的方法数有＝720种.1，3，5都不相邻的6位偶数有＝36种，即先排好3个偶数，然后奇数在前面的3个空位中任排.如果1，3相邻，与5不相邻，即1，3捆绑起来，所得的6位偶数有＝72(种)，即先将1，3捆绑起来，然后排好3个偶数，接着将1，3与5插空到前面3个空位中.由此求得“1，3都不与5相邻的六位偶数”的方法数有36＋72＝108(种)，其他情况有720－108＝612(种).根据超几何分布概率计算公式有P(X＝2)＝.16.某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3＋1＋2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等级A B C D E比例15%35%35%13%2%赋分区间[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]而等比例转换法是通过公式计算：.其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为Y1，Y2时，等级分分别为T1，T2.假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级[69，84][71，85]设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得，所以T＝76.6≈77(四舍五入取整)，小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人数1232322 (1)从化学成绩获得A等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；(2)从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解：(1)设化学成绩获得A等级的学生原始成绩为x，等级成绩为y，由转换公式得，即y＝＋86＝，所以≥96，得x≥92.1，显然原始成绩满足x≥92.1的同学有3人，获得A等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为P＝. (2)由题意可得，等级成绩不小于96分人数为3人，获得A等级的考生有15人，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝.则分布列为ξ0123P则Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.。
(完整word)高等代数(北大版)第6章习题参考答案
第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,M N M M N N ==I U 。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。
又因,M N M ⊂I 故M N M =I 。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N Y ⊂所以M N N =U 。
2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。
证 ),(L N M x Y I ∈∀则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
反之，若)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊂于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
若x M N L M N L ∈∈∈UI I （），则x ，x 。
在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈⊂U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。
高等代数第6章习题解
第六章习题解答习题6.11、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫=∈=+⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
（5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
解：（1）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）不是。
因为12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()f f f αβαβ+≠+（4）不是。
高等代数(北大版第三版)习题答案
高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数【北大版】6.1
则有
(a) a.
1
§6.1 集合 映射
③ σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．
证：若映射 : M M ' 为1—1对应，则对 y M '
均存在唯一的 x M ，使σ(x)＝y，作对应
: M M
( y) x, 这里 ( x) y
则τ是一个M´到M的映射, 且对 x M , 若 ( x) y,
n Z
（是） （不是） （不是）
（不是） （是）
τ：τ(n)＝|n|＋1,
§6.1 集合 映射
n Z
3 ） M＝ P
nn
，M´＝P，（P为数域） （是）
n n
σ：σ(A)＝|A|， A P nn 4）M＝P，M´＝ P ，（P为数域）
τ：τ(a)＝aE， a （ P E为n级单位矩阵） （是） 5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个
n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， A Pnn
§6.1 集合 映射
（是满射，但不是单射）
4）M＝P，M´＝ P nn , P为数域, E为n级单位矩阵 τ：τ(a)＝aE，
a P
（是单射，但不是满射）
5）M、M´为任意非空集合，a0 M 为固定元素 σ：σ(a)＝a0， a M
称之为M在映射σ下的象，通常记作 Imσ． 显然，Im M ' ② 集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换．
§6.1 集合 映射
例4
判断下列M 到M ´对应法则是否为映射
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.8
证：作对应 : R R, a lna, a R
易证 为R到R 的1－1对应. 且对 a,b R , k R, 有
a b ab lnab lna lnb a b
k a ak lnak k lna k a
所以， 为R到R 的同构映射. 故 R R.
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0 可得 (k11 k22 krr ) 0.
(k ) (ka1, ka2 , kan )
k P
k(a1,a2 ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
2020/9/20§6.8 线性空间的同构
一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
所以， dimC dim R2. 故， V1 V2 .
2020/9/20§6.8 线性空间的同构
证法二：构造同构映射
作对应 : C R2, a bi a,b.
则 为C到R2的一个同构映射.
例3、全体正实数R+ 关于加法⊕与数量乘法 ： a b ab, k a ak
作成实数域R上的线性空间. 把实数域R看成是自身上的线性空间. 证明：R R, 并写出一个同构映射.
及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
2020/9/20§6.8 线性空间的同构
3、两个同构映射的乘积还是同构映射.
北京大学数学系《高等代数》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第五章至第六章【圣才出品】
第5章二次型5.1复习笔记一、二次型及其矩阵表示1．二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的x1，x2，…，x n的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或简称二次型．2．线性替换与二次型矩阵（1）线性替换定义设x1，…，x n；y1，…，y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x1，…，x n到y1，…，y n的一个线性代替，或简称线性替换．如果系数行列式，那么线性替换就称为非退化的．（2）二次型的矩阵令由于所以二次型可以写成其中的系数排成一个n×n 矩阵它就称为二次型的矩阵，因为a ij ＝a ji ，i，j＝1，…，n，所以A＝A'二次型的矩阵都是对称的．3．合同矩阵（1）定义数域P 上n×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n×n 矩阵C ，使B C AC¢=（2）性质①反身性：A＝E'AE ；②对称性：由B＝C'AC 即得A＝（C -1）'BC -1；③传递性：由A 1＝C 1'AC 1和A 2＝C 2'A 1C 2即得经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．二、标准形1．定义数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122n nd x d x d x +++ 的形式，该形式就称为的一个标准形．注意：二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关．2．定理在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C，使C AC ¢成对角矩阵，并且该对角矩阵的值就是对应的标准形式的系数．三、唯一性1．基本概念（1）二次型的秩在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩．（2）复二次型的规范性设f（x1，x2，…，x n）是一个复系数的二次型．经过一适当的非退化线性替换后，f（x1，x2，…，x n）变成标准形，不妨假定它的标准形是易知r就是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就变成称为复二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．即任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵．从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．（3）实二次型的规范形设f（x1，x2，…，x n）是一实系数的二次型，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（x1，x2，…，x n）变成标准形其中d i＞0，i＝1，…，r；r是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换（4）就变成（6）称为实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．2．惯性定理设实二次型f（x1，x2，…，x n）经过非退化线性替换X＝BY化成规范形而经过非退化线性替换X＝CZ也化成规范形则p＝q．另一种表述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数．3．惯性指数在实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形中，（1）正惯性指数：正平方项的个数p；（2）负惯性指数：负平方项的个数r－p；（3）符号差：p－（r－p）＝2p－r．该定义对于矩阵也是适合的．四、正定二次型1．定义实二次型，f（x1，x2，…，x n）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1，c2，…，c n都有f（c1，c2，…，c n）＞0．2．常用的判别条件（1）n元实二次型f（x1，x2，…，x n）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。
高等代数【北大版】6.5
二,一类重要的子空间 ——生成子空间 ——生成子空间
为数域P上的线性空间 α 定义:V为数域 上的线性空间, 1 ,α 2 , ,α r ∈ V, 为数域 上的线性空间, 则子空间
W = {k1α1 + k2α 2 + + krα r ki ∈ P , i = 1,2, , r }
称为V的由 生成的子空间, 称为 的由 α1 ,α 2 , ,α r 生成的子空间, 记作 L(α1 ,α 2 , ,α r ) . 生成元. 称 α1 ,α 2 , ,α r 为 L(α1 ,α 2 , ,α r ) 的一组 生成元
n
由它的一组基生成. 即 Pn 由它的一组基生成 类似地, 类似地,还有
事实上, 事实上,任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成. 它的一组基生成
P[ x ]n = L(1, x , x 2 , , x n1 ) = a0 + a1 x + + an1 x n1 a0 , a1 , , an1 ∈ P
§6.5 线性子空间
例1
为数域P上的线性空间 设V为数域 上的线性空间,只含零向量的 为数域 上的线性空间,
的一个线性子空间, 子集合 W = {0} 是V的一个线性子空间,称之为 的 的一个线性子空间 称之为V的 零子空间.线性空间V本身也是 的一个子空间. 零子空间.线性空间 本身也是V的一个子空间. 本身也是 的一个子空间 平凡子空间, 这两个子空间有时称为平凡子空间 这两个子空间有时称为平凡子空间,而其它的 子空间称为非平凡子空间 非平凡子空间. 子空间称为非平凡子空间. 例2 为所有实函数所成集合构成的线性空间, 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 为所有实函数所成集合构成的线性空间
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第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,M N M M N N ==I U 。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。
又因,M N M ⊂I 故M N M =I 。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N Y ⊂所以M N N =U 。
2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。
证 ),(L N M x Y I ∈∀则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
反之，若)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊂于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
若x M N L M N L ∈∈∈UI I （），则x ，x 。
在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈⊂U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。
（a ，）=（ka ，kb +6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =o ； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：k a a =o ；8） 全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：a b ab ⊕=，k k a a =o ；解 1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 523n nx x ++--=（）（）。
2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为f （x ）+g （x ）=h （x ），kf （x ）=d （x ） 所以f （A ）+g （A ）=h （A ），kf （A ）=d （A ）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明： 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。
KA KA K A KA ''==-=-（）（）（），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。
例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2a -b ）。
对于数乘：222222221(11)111)(,),2(1)(1)(1).(.(,).(,)(,[2]())222(1)(1)(1)(1)(,[]())(,())2222(1)(,)().(,),2(a b a b a a b l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la l l k k kl kl k k kla k lb a la kla a la kl kl kla a klb kl a b -===---=+=++----=++=+-=+=。
（，）（。
，。
2222222()(1)).(,)[(),()]2(1)(1).(,).(,)(,)(,22(1)(1)(,)22(1)(1)[(),()].2k l k l k l a b k l a a k l b k k l l k a b l a b ka kb a la lb ak k k k ka la kb a a kla k k l k l a a k l b ++-+=+++--⊕=+⊕+--=++++++-=+++即),(),(),()(b a l b a k b a l k οοο⊕=+。
),()],(),[(2121212211a a b b a a k b a b a k +++=⊕οο＝)])(2)1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-++++， ),()(221,1b a k b a k οο⊕＝)2)1(,()2)1(,(22222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+＝)2)1(2)1(,(21222221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++＝)2)1(2)1()(),((212122221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++＝))(2)1()(),((22221212121a a k k a a b b k a a k +-++++，即=⊕),(),(2211b a b a k ο),()(221,1b a k b a k οο⊕，所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为.01αα≠=ο。
7）否，因为)()()(,2,)(ααααααααααοοοοοοl k l k l k l k +≠+=+=+=+所以， 所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足1);)()()()();)111;1111):1,1;)1;)(())()()();)()()();)()l l k lk kl k l k l i a b ab ba b a ii a b c ab c abc a bc a b c iii a a a iv a a a a a a a av a a a vi k l a k a a a a kl a vii k l a a a a ka la viii k a b +⊕===⊕⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕⊕=⋅=⊕=⋅=⊕=⊕=======+==⋅=⊕⊕o o o o o o 是零元：的负元是且()()()().k k k k ab ab a b k a k b ====⊕o o o所以，所给集合+R 构成线性空间。
4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。
证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。
2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。
5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
证 因为1cos 22cos 2-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，不妨设,01≠k 则)()()(3132121x f k k x f k k x f --=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以)(),(),(321x f x f x f 线性无关。
7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。
设1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε；2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。
解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1121d c b a d c b a d c b a d c b a ，可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为41,41,41,45-=-===d c b a 。
2）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-=+++=++103002d b a d b d c b a c b a ，可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为0,1,0,1=-===d c b a 。
8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P 上的空间P n n ⨯；2）P n n ⨯中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间,其中A=,00000012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ωω231i+-=ω。
解 1)n n P ⨯的基是{),,...,2,1,}(n j i E ij =且2dim()n nPn ⨯=。
2) i)令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=...............1............1............ij F ，即,1==jiij a a 其余元素均为零,则{}nn n n F F F F F ,...,,...,,...,222,111 是对称矩阵所成线性空间n M 的一组基,所以n M 是2)1(+n n 维的。