指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数

1、幂的有关概念

正整数指数幂：

...()

n

n

a a a a n N

=∈

零指数幂：

01(0)

a a

=≠

负整数指数幂：

1

(0,) p

p

a a p

N

a

-=≠∈

分数指数幂：正分数指数幂的意义是：

(0,,,1)

m

n m

n

a a a m n N n

=>∈>

且

负分数指数幂的意义是：

1

(0,,,1)

m

n

m n m

n

a a m n N n

a

a

-

==>∈>

且

2、幂函数的定义

一般地，函数

a

y x

=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．

3、幂函数的图象

幂函数a

y x

=

当

11

,,1,2,3

32

a=

时的图象见左图；当

1

2,1,

2

a=---

时的图象见上图：

由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：

a y x =有下列性质： (1)0a >时：

①图象都通过点(0,0)，(1,1)；

②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：

①图象都通过点(1,1)；

②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．

二、指数函数

①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x

且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；

3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .

5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=

三、对数函数

如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =

log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质

()log log log a a a MN M N =+． log log log a

a a M

M N N

=-．

log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）

2．换底公式：log log log m a m N

N a

=

( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：

（1）log log 1a b b a ⨯= ； ．

（2）log log m n

a a n

b b m

=

（a 、0b >且均不为1）

．1

log log 1N N a a m

n n m

==． （3）， （4）对数恒等式．

一、对数函数的图像及性质

① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数

② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，

0y =．

当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．

二、对数函数与指数函数的关系

对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）

b m

n

b a n a

m log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =

log

()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)