离散化方法共24页

控制方程的离散化
有限差分法： 利用泰勒展开将控制方程中的所有导
数项表示成有限个节点值的代数组合，从 而将微分方程表示成差分方程。 f(x ) f(x 0 ) f x x x 0 2 2 x fx 2 x 0 2 o ( x x 0 n )
二、离散化方法
离散化方法
1 计算区域及其离散化 2 流动传热控制方程及其离散化
计算区域和边界
计算区域: 从实际问题抽象出来的物理数学模型
中所规定的物理量发生变化的主要区域。 线：直线 面：矩形、圆形、环形、扇形、环扇形 体：立方体、球体、圆柱体 边界：
物理量发生变化的最大界限，或者所 研究对象与外界的分界线。
最重要、最复杂的约束条件
对象与外界联系和相互作用的规律
往往影响数值计算的成败
边界条件
边界条件分类:
第一类边界条件
具有相对性
边界上给定待求变量的函数关系
第二类边界条件 边界上给定待求变量梯度的函数关系
第三类边界条件 边界上给定待求变量与其梯度之间的函数关系
常用边界条件举例
f x2 f (x)dx x1
f(x x ) f(x ) f x x 2 2 x f 2 x 2 o ( x n )
截断误差及其阶数
控制方程的离散化
有限容积法： 将控制方程在离散的计算区域中的每
个具有有限容积的网格单元内进行积分， 得到每个有限容积内的变量平均值表达式。
沿x方向压力梯度为定值的平板定常层流
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
2u = 1 p = C
y2 x
两次不定积分
u y
=
C

y c1
u= C

y2 2
c1y c2
平板边界条件 y 0 ,u 0 ;y h ,u 0
解析解
u= C y2 h
计算区域离散化
计算区域的离散化: 对空间上连续的计算区域进行剖分，
划分成许多子区域。实质上就是用一组有 限个离散的点来代替原来的连续空间。
线区域的离散
面区域的离散
体区域的离散
计算区域离散化
计算区域离散化的基本步骤:
将计算区域边界线用若干个点划分为若干段 按照计算区域的形状连接这些点将计算区域划
2
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
( c tpT)= x T x y T y ST
沿x方向一维无源稳态导热
x


T x


0
两次不定积分 恒温边界条件

T x
c1
T

导热方程:
( c tpT)= x T x y T y ST
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
u v 0 x y
u tu u xv u y 1 p x x 2u 2 y 2u 2 v v v 1p 2v 2v tuxvyy x2y2
计算区域和边界
突扩后台阶流动计算区域和边界：
计算区域和边界
埋地热油管道土壤传热计算区域和边界：
y
地表
o
大气
x
H0管道埋深
y
管道和防腐层等
向
热
力
影
土壤
响
区
H
x向热力 影响区2L
计算区域和边界
确定计算区域和边界的原则: 包含所研究问题的全部特征或近似全部的
特征。 取决于物理问题本身，不能随意取 有一定的灵活性 与所采用的物理模型或数值方法有关
流动传热控制方程
不可压缩流体流动方程组:
u v 0 x y
u tu u xv u y 1 p x x 2u 2 y 2u 2 v tu x vv y v 1 p y x 2v 2 y 2v 2
c1Biblioteka Baidu

x

c2
x0 ,TT 1;xl,TT 2
解析解
T

T2
T1 l
x
T1
控制方程的离散化
一般情况下无法作上述化简
解决途径：离散化后再求解
控制方程离散化： 用离散的计算区域中的节点上的变量
及其导数值来代替控制方程中的连续函数。 方程离散化的两类基本方法：
有限差分法 有限容积法
分为互不重叠的若干个子区域(网格) 确定物理量代表点(节点)在子区域中的位置
是否唯一的离散方式？
计算区域离散化
网格：
均分网格 非均分网格 网格的命名和步长
节点:
内部节点 边界节点 节点的编号和间距
边界条件
边界条件: 物理模型在边界上遵循的规律或具有
的特点，方程组的解在边界上应满足的条 件。
(u)
t

div(uU)

div(gradu)

Su

p x
()
t

div(U)

div(grad)

Sv

p y
(w)
t

div(wU)

div(gradw)

Sw

p z
能量守恒方程:
( c tp T ) d iv (cp U T )= d iv (g ra d T ) S T
恒壁温边界条件 恒热流边界条件 绝热边界条件 入口出口边界条件 对称边界条件 周期性边界条件
常用边界条件举例
对称 ①
T air
⑤
T 、
oil
p
②
①
y
③
恒温层
x
绝热
④
①
T 0 x
(第二类边界条件)
② T r|rRpToil Tw
（第三类边界条件）
③ T=C
(第一类边界条件) ④ T 0
x （第二类边界条件）
⑤ f (TTair)Ty
（第三类边界条件）
常用边界条件举例
流动传热控制方程
控制方程: 物理模型所用的数学表达式，控制物理量 的变化规律。
质量守恒方程: (U)0
t
流动传热控制方程
动量守恒方程: