重庆市2020届高三数学12月月考试题文

重庆南开中学高2016级高三（上）12月月考
数学试题（文史类）
I 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1、函数sin cos y x x =+最小正周期是（ ）
A 、2π
B 、π
C 、2π
D 、4π 2、已知i 为虚数单位，则2413i
i +=+（ ）
A 、5
B 、5
C 、25
D 、5
3、已知函数22y x x =-的定义域为区间A ，值域为区间B ，则A C B =（ ）
A 、()1,2
B 、(]1,2
C 、()0,1
D 、(]0,1
4、等比数列{}n a 中，0n a >，公比482,8q a a =⋅=，则267a a a ⋅⋅=（ ）
A 、2
B 、4
C 、8
D 、16 5、已知,a b R ∈，且24a b +=，则33a b +的最小值为（ ）
A 、23
B 、6
C 、33
D 、12
6、已知向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma nb +与2a b -共线，则
m n =（ ） A 、12 B 、2 C 、1
2- D 、2-
7、已知双曲线22
219x y b
-=的一个焦点在圆22280x y x +--=上，则双曲线的离心率为（ ）
A 、43
B 、53
C 、11
D 、23 8、已知函数()y f x =满足()2'34f x x x =--，则()3y f x =+的单调减区间为（ ）
A 、()4,1-
B 、()1,4-
C 、3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
D 、3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ 9、运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A 、2-
B 、2
C 、5
D 、7
10、若,x y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩
，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a
的取值范围是（ ）
A 、[]6,2-
B 、()6,2-
C 、[]3,1-
D 、()3,1-
11、一个直三棱柱被一个平面截后剩余部分的三视图如图，则截去部分
的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A 、1:2
B 、2:3
C 、4:5
D 、5:7
12、已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且
()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N ∈若
()n S f n =，则41n n S a a --的最小值为（ ） A 、276 B 、358 C 、
143 D 、378
II 卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

） 13、从{}1,2,3,4,5,6中任取两个不同的数(),m n m n >，则
n m
能够约分的概率为 。

14、已知函数()()(),ln ,ln 1x f x x e g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 从大到小的顺序为 。

15、有一个球心为O ，半径2R =的球，球内有半径3r =的截面圆，截面圆心为A ，连接AO 并延长交球面于P 点，以截面为底，P 为顶点，可以做出一个圆锥，则圆锥的体积为 。

16、经过椭圆22
143
x y +=的右焦点的直线l ，交抛物线24y x =于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，则OB OC ⋅= 。

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin sin sin c b A B a b C
-+=-。

（1）求角A ；
（2）若6cos ,23
B b ==，求AB
C ∆的面积。

18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()
*233n n S a n N =-∈。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的的前n 项和n T 。

19、（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为2的菱形，
60ABC ∠=，M 为侧棱PD 的三等分点（靠近D 点），O 为,AC BD 的交点，且PO ⊥面ABCD
，PO =
（1）若在棱PD 上存在一点N ，且//BN AMC 面，确定点N 的位置，并说明理由；
（2）求点B 到平面MAC 的距离。

20、（本小题满分12分）已知圆221:4C x y +=与x 轴的左右交点分别为12,A A ，直线1l 经过
1A ，直线2l 经过2A ，D 为1l ，2l 的交点，且1l ，2l 的斜率乘积为14
-。

（1）求D 点的轨迹方程；
（2）若点,A B 在圆1C 上，()0,1,P AP AB λ-=，且0AB DP ⋅=，当DP 最大时，求弦AB 的长度。

21、（本小题满分12分）已知函数()()23x f x x x e =-。

（1）求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；
（2）当1k <时，判断方程()
4x xf x x kx e
+=-的零点个数，并证明。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔填涂题号。

22、（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线,PE E 为切点，连接,AE BE ，APE ∠的平分线与,AE BE ，分别交于点,C D 。

（1）求证：
DB PD DE PC
=； （2）若2PCE AEB ∠=∠求PDB ∠的大小。

23、（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参
数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为ρ=。

（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，1C 与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅的值。

24、（本小题满分10分）设函数()133f x x x a a =-+-+，x R ∈。

（1）当1a =时，求不等式()7f x >的解集；
（2）对任意m R +∈，x R ∈恒有()49f x m m
≥--，求实数a 的取值范围。