12.3质心运动定理(理论力学课件)

Rx m2e2 cost Ry m1g m2g m2e2 sin t
&x&c &y&c
m2 m1 m2
m2 m1 m2
e 2 e 2
cos t sin t
m1g
m2g
Rx Ry
y
c1 c c2 e
t
x
y
Rx m2e2 cost Ry m1g m2g m2e2 sin t
同时指出：内力不能改变质心的运动。
形式上，质心运动定理与质点的动力学基本方程完全相 似，因此质心运动定理也可叙述如下：
质点系质心的运动，犹如一个质点的运动，此质点的质量 等于整个质点系的质量，且作用于此质点上的力等于作用于 整个质点系上的外力的矢量和。
mac miai Fie （12.17）
例3 设有一电动机用螺旋栓固定在水平地面上，如图， 电动机外壳连同定子的质量为m1，它们的质心为 c1，在转子 的轴线上，转子的质量为 m2 。
由于制造不够精确，因而其 质心与转子轴线相距为 e，
试求当电动机以匀角速度ω 转动时，螺旋栓所受的水平 剪力和地面的铅垂反力。
解：（1）研究整个电动机 看作一个整体，受力分析如图：
3、质心加速度
将式（12.14）对时间求导，得：
aC
dvC dt
dp d(mvC ) d( mivi )
dt dt
dt
mac miai Fie (12.17)
二、质心运动定理
maC miai Fie FRe
（12.17）
上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用
于质点系外力的矢量和。
实际应用时，可采用投影形式。
质心运动定理在坐标轴上投影：
mm&&yx&&cc
Fxe Fye
m&z&c Fze
（12.18）
——质点系质量与质心加速度在某一轴上的投影的乘积 等于质点系所受外力的主矢量在同一轴上的投影，该式 称为投影形式的质心运动定理。
三、质心运动守恒
mac miai Fie
FRex Fixe 0
即质点系动量在 x方向上守恒，
又：t=0时杆处于静止 故质心运动在x方向上守 恒，有：
xco xc 0
y A
A, Co
, C
, B
B mg
x
FN
xco xc 0
设任一瞬时，杆AB与x轴的夹角为θ，则有：
xA L cos
yA 2Lsin
y A
所以点A的轨迹方程为：
①如果 FRe 0 mac 0
则质心作匀速直线运动；
则 vc cont
②若开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数和 恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。
以上结论，称为质心运动守恒定律。
③注意：
只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运动， 且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点系保持静 止。
m1 m2
即：起重机往左移动了水平距离0.266m。 c2
m2g
y
d
60
x
A
c1
m1g SF
d
30
A c1 m1g
F
vC
drC dt
mivi p mm
（12.14）
或
mvc mivi
p = mvc mivi
（12.15）
式（12.15）为计算质点系动量的简便方法。
由上式可知，不论质点如何运动，在计算质点系的动量 时均可不考虑其中每一质点的速度，而只需知道质点系 的质量和质心的速度就足够了。
例如绕定轴转动的刚体，
如汽车在光滑路面上发动，如果路面没有摩擦力， 则轮子空转不动，即轮心不向前运动，必须要有外力才 能使其运动。
有很多实例都可用来说明质心的运动完全取决于作用 在质点系上的外力而与内力无关。
例如，人在完全没有摩擦的光滑路面上行走是不可能的； 汽 车开动时，发动机汽缸内的燃气压力对汽车整体来说是内 力，不能使车子前进，只是当燃气推动活塞，通过传动机 构带动主动轮转动，地面对主动轮作用了向前的摩擦力， 而且这个摩擦力大于总的阻力时，汽车才能前进。
p = mvc mivi
设其角速度为w，质心C至转轴 的 距 离 为 e ， 则 由 式 （ 12.15 ） 可 知 ， 此刚体动量的大小为
p = mvc me
显然，当刚体质心位于转轴上时， 则不论转动角速度多大，其动量恒 等于零。
vC
drC dt
mivi p (12.14) mm
p = mvc
时，重心与质心相重合。但 应当注意，质心与重心是两 个不同的概念。
（12-13）
重心仅在质点系受到重力作用（即在地球表面附近）时才存在， 而质心则与质点系是否受到重力作用无关，它随质点系的存 在而存在。因此，质心概念的适用范围远较重心广泛。
2、质心速度
rC
mi ri m
(12.10)
质心C的运动速度可根据式（12.10）导出：
c 2
m2g
c 2
m2g
y
d
60
x
A
c1
m1g SF
d
30
A c1 m1g
F
c
解：（1）研究对象:
2
重物和起重机组成的质点系
m2g
（2）受力分析：
铅垂方向上的重力m1g、m2g； 作用线通过质点系质心的浮力F； c2
m2g
y
d
60
x
A
c1
m1g SF
d
30
A c1 m1g
（3）运动分析：
F
因只有铅垂方向上的外力，所以力在水平方向的投影为O，
m1g
m2g
c1 c c2 e
t
x
Rx Ry
Rx—— 是螺栓给电动机的水平动反力，它与电动机的角速 度有关，而电动机给螺栓的剪力则与Rx等值反向。
Ry—电动机在铅垂方向上所受的全反力， 当Ry >0时，其方向向上，它来自地面； 当Ry <0时，其方向向下，故知它必来自螺栓拉力，这
时电动机有跳离地面的趋势所以地面未受压而不会给电
s m2 AB sin 600 sin 300 0.266m
m1 m2
y
d
60
x
A
c1
m1g SF
d
30
A c1 m1g
F
因质心c无水平位移，从而xc =xco，故有：
c 2
m1 m2 s m2 AB sin 600 sin 300
m2g
s m2 AB sin 600 sin 300 0.266m
§12.3 质心运动定理
一、质量中心
质点系在力的作用下，其运动状 态与各质点的质量及其相互的位 置都有关系，即与质点系的质量 分布状况有关。
1.定义：
rc
mi ri m
（12.10）
由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种
特征质心的概念及其运动在质点系（特别是刚体）动力学中
y
m1g
m2g
c1 c c2
t
ex
作用于质心上的外力有：
Rx Ry
重力m1g、m2g； 螺栓的约束反力Rx、Ry。
（2）建立静坐标如图：电动机质心C的方程为：
xc
m1x1 m2 x2 m1 m2
m2 x2 m1 m2
（1）
yc
m1 y1 m2 y2 m1 m2
m2 y2 m1 m2
m1g
②若质点系中各质点的质量不相等。则有：
rc
mi m
ri
（12.12）
ri 的系数表示第 i 个质点的质量在质点系的质量所占 的比例，质心的矢径rc为即为各质点按其质量在质点系质 量中所占的比例的平均位置。
③ 质心的作用 由讨论可见，质心的位置与质点系中的质量分布状况
有关，它在一定程度上反映了质点系的质量分布状况，所 以质心的概念是动力学的重要概念之一。
y
d
60
x
A
c1
m1g SF
d
30
A c1 m1g
F
xco
m1d
m2 AB sin 600 m1 m2
c 2
m2g
xc
m1 (d
s)
m2 ( AB sin 300 m1 m2
s)
式中，d为起重机质心c1与铰A的水平距离。c 2
因质心c无水平位移，从而xc =xco，故有：m2g
m1 m2 s m2 AB sin 600 sin 300
所以质点系的质心C在水平方向应保持静止不动。
当吊杆转动时，由于重物有往 右的水平位移，故起重机必与 之相应而有往左的水平位移， 设移动了一个S的水平距离。
以 A铰的初位置相重合的点 O为原点建立坐标系 oxy如图， 则在初末两瞬时，质点系质心C 的坐标分别为：
xco , xc
c 2
m2g
c2 m2g
习题12.19 均质杆AB，长2L，铅直地静置于光滑 水平面上受到微小扰动后，无初速地倒下。求杆AB在 倒下过程中，点A的轨迹方程。
y A
A, Co
, C
, B
B mg
x
FN
解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的 轴线为 y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力 有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN， 杆在倒下的过程中有：
&x&c
&y&c
m2 m1 m2
m2 m1 m2
e 2 e 2
cos t sin t
（4）
m1g
m2g
Rx Ry
y
c1 c c2 e
t
x
(4)质心运动微分方程：
m1 m2 m1 m2
&x&c m2e2 cost
&y&c m2e2 sin
Rx
Ry m1g m2g
从而可得到：
④质心的坐标
rc
mi m
ri
(12.10)
计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，即
xC
mi xi m
, yC
mi yi m
, zC
mi zi m
(12.13)
式中 mi点为第i个质点的质量，xi、yi、zi，第i个质点的位置坐标，
m为质点系的质量。
质心是质点系中特定的一个点， 质点系运动，质心也在运动。
具有重要地位。
rc
2.质心的力学意义
mi ri m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
rc
m
r1 m r2 ...... m m m ...... m
rn
r1 r2 ...... rn
n
1 n
ri
1/n 与 i 无关，为公因子。
（12.11）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质量中 所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。
Fixe 0, px cont
运动分析：t=0 时系统静止； t时刻：车v，人v+vr
可知
t 0
px0 0
y
vr
车重W，人重Q，某瞬时人相对小
Q
v
车的速度为vr，试求此时的车速v？
Fixe 0, px cont o
N1
t=0时系统静止； t：车v，人v+vr
W
N2
x
可知 t 0 px0 0 （静止）
x
2 A
L2
y
2 A
4L2
1
A, Co
, C
, B
B mg
x
即：A点沿椭圆轨迹运动。
FN
y
vr
例1：水平光滑直线轨道上
Q
v
有一小车，车上站立一人。设小
车重W，人重Q，开始系统静止。
W
若人在小车上走动，
o
N1
N2
x
某瞬时人相对小车的速度为vr，试求此时的车速v？
解：以人和小车为质点系，受力如图
由受力分析可知
可见，如果把质点系的质量都集中于质 心做为一个质点，那么此质点的动量 就等于质点系的动量，可见质心运动 具有特殊意义。
xC
mi xi , m
yC
mi yi , m
பைடு நூலகம்
zC
mi zi m
⑤质心与重心的比较：
若将上列各式等号右端的分子与 分母同乘以重力加速度g，就得到 质点系的重心坐标公式。
可见物体在重力场中运动
动机反力。
通过本例可知，由于机器 上转子的质心不在转轴上，质 心的位置要随时间而改变，因 而，基座就受到了周期性压力 的作用。
m1g
m2g
Rx Ry
y
c1 c c2 e
t
x
这种随时间而作周期性变化的动压力往往引起基座 的振动，以至影响机器的正常工作或损坏其零件。
为防止这种现象发生，在机器的设计和安装中必须尽可能 地使其转动部分的质心位于转轴，以便减小基座所受的动压力。
(3) 代入质心坐标公式得 质心 c 的运动方程：
xc yc
m2 m1 m2
m2 m1 m2
e cos e sin
t t
m1g
m2g
（3）
Rx Ry
y
c1 c c2
t
ex
xc yc
m2 m1 m2
m2 m1 m2
e cost esin t
（3）
将质心c的运动方程等式两端微分得：
pxt
Q g
v vr
W
g
v
0
解得：
v
Q Q W
vr
例12.7 浮动起重机的 质量m1＝20000kg，吊起质 量为m2 ＝2000kg的重物，
求当吊杆AB由铅垂线 成60度角的位置转到与铅 垂线成30度角的位置时， 起重机的水平位移。
吊杆长AB＝8m，吊杆 重量及水的阻力均不计，又 系统原为静止。
m2g
Rx Ry
y
c1 c c2 e
t
x
式中：x1=y1=0，是外壳与定子的质心c1的坐标； x2、y2是转子c2的坐标。
设初瞬时，c2位于x轴上，经过时间t后，转角φ＝ωt，
于是有：
x2 e cost y2 esint （2）
xc
m2 x2 m1 m2
；yc
m2 y2 m1 m2
（1）
x2 e cost y2 esint （2）