决策理论习题三答案

习题三答案
1. 期望值法，各投资方案的期望收益值分别为：
2
.392.015.033.0)(4.7102.065.083.0)(3.342.025.053.0)(3.532.075.043.0)(4321=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=A E A E A E A E
所以，运用期望值法，应该选择投资方案A 3。

该问题的决策树如下：
所以状态节点○
2○3○4○5处的期望收益值分别为： 节点○
2：3.532.075.043.0=⨯+⨯+⨯ 节点○
3：3.342.025.053.0=⨯+⨯+⨯ 节点○
4：4.7102.065.083.0=⨯+⨯+⨯ 节点○
5：2.392.015.033.0=⨯+⨯+⨯ 故应该选择节点4，即投资方案A 3。

2.
5 2
4
8 6
10
3 1
9
4 状态B 7
3
节点○
5：150)200(3.03007.0=-⨯+⨯ 节点○
6：150)200(9.03001.0-=-⨯+⨯ 节点○
2：5.12)100(55.015045.0=-⨯+⨯
比较参加游戏和不参加游戏的期望收益值可以看出，参加游戏的期望收益值为12.5元，不参加游戏的收益值为0元，所以应当选择参加游戏，且参加者的最优策略为，当第一阶段摸到白球时，继续参加第二阶段的游戏；当第一阶段摸到红球时，不再参加第二阶段的游戏。

3.
300 -200
300 -200
节点○
2：96)65(1.0753.0402.01804.0=-⨯+⨯+⨯+⨯ 节点○
3：711356.0)25(4.0=⨯+-⨯ 所以应当选择方案A ，一次性投资100万元，期望收益为96万元。

4.依题意，该石油公司共有两种方案，即钻井（a 1），不钻井（a 2）。

其中，钻井的结果为无油（θ1）、少油（θ2）和多油（θ3），依据状态θ的先验概率
,3.0)(,5.0)(21==θθp p 2.0)(3=θp ，可知两种方案的期望收益值分别为：
)(27272.0123.005.0)(21==-⨯+⨯+⨯=a E a E
故不勘探直接钻井的期望收益值为2万元。

若进行勘探，则由）（3,2,1)|()()(3
1
==
∑=i H p p H P j i j j
i θθ
计算得到
24.0)(,35.0)(,41.0)(321===H P H P H P
以及由)
()
()|()|(i j j i i j H P P H P H P θθθ=
得到后验概率
0488.0)|(,2195.0)|(,7317.0)|(131211===H P H P H P θθθ
180
40 75 -65
2286.0)|(,3429.0)|(,4286.0)|(232221===H P H P H P θθθ 4167.0)|(,375.0)|(,2083.0)|(333231===H P H P H P θθθ
所以，当勘探结果为1H H =时，
)|(0484.4170488.0272195.0127317.00)|(1211=-=--⨯+⨯+⨯=H a E H a E
这时最优方案为不钻井（a 2）。

当勘探结果为2H H =时，
)|(287.2172286.0273429.0124286.00)|(2221==--⨯+⨯+⨯=H a E H a E
这时最优方案为钻井（a 1）。

当勘探结果为3H H =时，
)|(709.7174167.027375.0122083.00)|(3231==--⨯+⨯+⨯=H a E H a E
这时最优方案为钻井（a 1）。

综上，勘探的期望收益值为：65061.2709.724.0287.235.0041.0=⨯+⨯+⨯，不勘探直接钻井的期望收益值为2万元（前面计算所得），所以应该先行勘探，再根据勘探结果选择钻进与否。

5.（1）由0)(;35.1)6(45.0130.01525.0)(21==-⨯+⨯+⨯=H E H E 可知厂方应该生产。

（2）完全信息价值EVPI 的计算。

记预测销路好为M 1，预测销路一般为M 2，预测销路差为M 3。

若厂方得到完全信息，即⎩⎨
⎧==≠=)
3,2,1(1
)(0
)|(j i j i M P j i θ
可得45.0)(;3.0)(;25.0)(321===M P M P M P 以及⎩⎨
⎧==≠=)
3,2,1(1
)(0)|(j i j i M P i j θ
如果M 1是完全情报，厂方掌握它选择生产H 1，收益为15万元，未掌握它，按先验分布决策也是生产H 1，收益也是15万元，因此掌握此完全情报的收益为：15-15=0（万元）。

如果M 2是完全情报，厂方掌握它选择生产H 1，收益为1万元，未掌握它，按先验分布决策也是生产H 1，收益也是1万元，因此掌握此完全情报的收益为：1-1=0（万元）。

如果M 3是完全情报，厂方掌握它选择生产H 2，收益为0万元，未掌握它，按先验分布决策也是生产H 1，收益-6万元，因此掌握此完全情报的收益为：0-（-6）=6（万元）。

所以完全信息价值为)(7.2645.003.0025.0万元=⨯+⨯+⨯=EVPI
由表3-21以及)3,2,1(,)|()()(3
1
==
∑=i Z P P Z P j j i j
i θθ
，可计算得到：
4525.0)(;265.0)(;2825.0)(321===Z P Z P Z P
另外，根据)3,2,1,(,)
()
()|()|(==
j i Z P P Z P Z P i j j i i j θθθ，可计算得到后验概率：
7459
.0)|(;1989.0)|(;0552.0)|(2547.0)|(;5094.0)|(;2358.0)|(1607.0)|(;2679.0)|(;5804.0)|(333231232221131211=========Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z P Z P θθθθθθθθθ
所以，当市场调查结论为1Z Z =时，
)|(0097.81607.062679.015804.015)|(1211==⨯-⨯+⨯=Z H E Z H E
最大期望收益值为：0097.8)|(1=Z H E opt ，选择生产H 1。

当市场调查结论为2Z Z =时，
)|(5182.22547.065094.012358.015)|(2221==⨯-⨯+⨯=Z H E Z H E
最大期望收益值为：5182.2)|(2=Z H E opt ，选择生产H 1。

当市场调查结论为3Z Z =时，
)|(4485.37459.061989.010552.015)|(3231=-=⨯-⨯+⨯=Z H E Z H E
最大期望收益值为：0)|(3=Z H E opt ，选择不生产H 2。

（3）该厂方通过市场调查所获得的期望收益值为：
9301.24525.00265.05182.22825.00097.8)(=⨯+⨯+⨯=调查E
所以，补充信息的价值：)(2801.135.19301.2EV AI 万元=-=，而市场调查费用为0.6万元，所以取得补充信息价值是值得的。

（4）没有市场调查时，该厂方的最优决策为生产H 1，期望收益值为1.35万元；
而有市场调查时，若调查结论为1Z Z =，则最优决策为生产H 1，期望收益值为8.0097万元；若调查结论为2Z Z =，则最优决策为生产H 1，期望收益值为2.5182万元；调查结论
为3Z Z =，则最优决策为不生产H 2，期望收益值为0万元；市场调查后的厂方的期望收益值为2.9301万元，扣除调查费用0.6万元后，仍高于没有市场调查时的期望收益值。

6.（1）51.03.03.06.0
7.0)(=⨯+⨯=甲E
3.3
4.03.03.07.0)(=⨯+⨯=乙E
所以生产甲产品为最优决策方案。

（2）假设p 为高需求量的概率，（1-P ）为低需求量的概率，令这两个方案的期望收益值相等可得到：)1(4.03.0)1(3.06.0p p p p -+=-+，
得到25.0=p 。

即转折概率为0.25，即当p >0.25时，生产甲产品为最优方案，当p <0.25时，生产乙产品为最优方案。

7. 收益为80万元的效用值：9.001.019.0=⨯+⨯； 收益为60万元的效用值：8.002.018.0=⨯+⨯； 收益为10万元的效用值：25.0075.0125.0=⨯+⨯； 所以决策者的效用值表如下：
期望值准则：（万元）现在扩大57)10(3.0805.01002.0)(=-⨯+⨯+⨯=E （万元）明年扩大49103.0605.0802.0)(=⨯+⨯+⨯=E
所以，依据期望值准则，决策者的最优方案为现在扩大生产规模。

效用值准则：65.003.09.05.012.0)(=⨯+⨯+⨯=现在扩大E
655.02503.08.05.09.02.0)(=⨯+⨯+⨯=。

明年扩大E
所以，依据效用值准则，决策者的最优方案为明年扩大生产规模。