第四章 2椭球面上几种曲率半径

主曲率半径的计算公式系数
m0 = a (1 − e )
2
n0 = a n2 = n4 = n6 = n8 = 1 2 3 4 5 6 7 8 e 2n0 e 2n2 e 2n4 e 2n6
m2 m4 m6 m8
3 2 = e m0 2 5 2 = e m2 4 7 2 = e m4 6 9 2 = e m6 8
三、卯酉圈（线）曲率半径 卯酉圈（ 卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法 卯酉圈 截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面 同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧， 麦尼尔定理 一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条 截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲 率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面 夹角的余弦。
dx dy
3 2
d2 x =k 2 dy
(1 − e 2 sin 2 B) W3 子午线曲率：k = = 2 a (1 − e ) a(1 − e 2 )
a (1 − e 2 ) 子午线曲率半径：M = W3 或: c = 3 V
子午圈曲率半径随纬度变化情况
a (1 − e 2 ) M = W3
c M = 3 V

主曲率半径的计算公式（ 主曲率半径的计算公式（续）
亦可按：
3 − c 2 2 M = 3 = c ⋅ (1 + e′ cos B) 2 V
展开。
1 − c N = = c ⋅ (1 + e′2 cos 2 B) 2 V
则得：
′ ′ ′ ′ ′ M = m0 + m2 cos 2 B + m4 cos 4 B + m6 cos6 B + m8 cos8 B
四、任意法截弧的曲率半径
大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由 微分几何的尤拉公式得： T（北）
kA 1 c o s A s in A = = + RA M N
A
2 2
子午线 Q
RA =
MN N cos 2 A + M sin 2 A
卯酉线 P D（东）
N N RA = = 2 2 1 + η cos A 1 + e '2 cos 2 B cos 2 A
N Z S R T M
O
B
P
法截线
上一讲应掌握的内容 5、各坐标系间的关系
• 子午平面坐标系与大地坐标系的关系 (L，x，y) (L，B)
y = N (1 − e 2 ) sin B x = N cos B • 空间直角坐标与子午面平面坐标系的关系 (X，Y，Z) (L，x，y) X = x cos L, Y = x sin L, Z = y • 空间直角坐标系与大地坐标系的关系 (X，Y，Z) (L，B)
五、平均曲率半径 只要取A自0至90°范围内的RA的平均值即可：
π π
MN a 1 − e2 R= ∫ RAdA = π ∫ N cos2 A + M sin 2 AdA = MN = W 2 π 0 −0 0 2 1
2
2
2
Baidu Nhomakorabea
椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该 点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何 平均值。 = MN R
X = x cos L = N cos B cos L Y = x s in L = N c o s B s in L Z = y = N (1 − e 2 ) s in B
X Y Z ( N + H ) cos B cos L = ( N + H ) cos B sin L [ N (1 − e 2 ) + H ] sin B
R A = N (1 − η 2 cos 2 A + η 4 cos 4 A + L )
任意法截弧的曲率半径的变化规律
ＲＡ不仅与点的纬度 有关，而且还与过该点的法截弧的方 不仅与点的纬度B有关 有关，
位角A有关。 位角 有关。 有关 • 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ 变为计算子午圈曲率半径的， • 当Ａ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ 为卯酉圈曲率半径， ° • 主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。 主曲率半径 及 分别是 • 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ 由 ° ° • 当A由90°→180°时，ＲＡ值由 值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变 由 ° ° 化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。 化是以 °为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
′ n0 = a / 1 − e 2 1 2 ′ ′ n2 = − e′ n0 2 3 2 ′ ′ n4 = − e′ n2 4 5 2 ′ ′ n6 = − e′ n4 6 7 2 ′ ′ n8 = − e′ n6 8
结束 • 谢谢 谢谢!
dx 1 ⋅ dB sin B
a cos B x= = W
a cos B 1 − e 2 sin 2 B
dx a sin B =− (1 − e 2 ) dB W3
a (1 − e 2 ) M= W3
c M= 3 V
子午线曲率半径（另一种推导） 子午线曲率半径（另一种推导）
x = N cos B y = N (1 − e 2 ) sin B
一、椭球面上法截线有关概念
• 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 法截面，法截面与椭球面 包含这条法线的平面叫作 法截面 的交线叫法截线 法截线。有无数个法截面或法截线。 法截线 两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。 对应有：子午线（圈）曲率半径， 卯酉线（圈）曲率半径 曲线的曲率 曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上 曲率 无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度 量的。 曲线上任一点的曲率的倒数称为曲率半径 曲率半径。 曲率半径 曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高
R= b c N a = 2 = = 2 W2 V V W 1 − e2
六、椭球面上几种曲率半径的关系
N > R > M
N90 = R90 = M 90 = c
为了便于记忆， 、 、 的公式可表示成有规律的形式 为了便于记忆，N、R、M的公式可表示成有规律的形式
W = 1 − e 2 sin 2 B V = 1 + e′2 cos 2 B
φ u B
sin B = V sin u
tan φ = (1 − e ) tan B
2
大地纬度、地心纬度、 大地纬度、地心纬度、归 化纬度之间的差异很小， 化纬度之间的差异很小， 经过计算， B=45° 经过计算，当B=45°时
( B − u ) max = 5 . 9 ' ( u − φ ) max = 5 . 9 ' ( B − φ ) max = 11 . 8 '
经线、纬线、 经线、纬线、法线的特性
• 经线与纬线互相垂直 • 除赤道、两极上的法线外，法 线不通过椭球中心 • 纬度较高的点，其法线与旋转 轴的交点就较低 • 同一点的经线切线 纬线切线 经线切线与纬线切线 经线切线 垂直，也与法线 法线垂直，三者可 法线 构成三维直角坐标系 • 平行圈的主法线、副法线及切 线亦可构成三维直角坐标系
a2 c= , b t = tan B,
η = e ' cos B
2 2 2
W = V =
1 − e 2 sin 2 B 1 + e ′ 2 co s 2 B = 1+η 2
3、经线、纬线、法线的特性 经线、纬线、法线的特性 4、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系 • 子午面直角坐标系 (L,x,y) • 地心纬度坐标系 （L，Φ，ρ） • 归化纬度坐标系 （L，u） • 大地极坐标系 （S，A） • 大地坐标系 （L，B）
第四章
Ⅱ椭球面上几种曲率半径
——子午圈（ ——子午圈（线）曲率半径 子午圈 ——卯酉圈 ——卯酉圈（线）曲率半径 卯酉圈（ ——任意法截弧的曲率半径 ——任意法截弧的曲率半径 ——平均曲率半径 ——平均曲率半径
上一讲应掌握的内容
公式写在黑板上
1、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴 a；短半轴ｂ； 旋转椭球五个基本几何参数： ； 扁率α；第一偏心率 ；第二偏心率e 扁率 ；第一偏心率e；第二偏心率 ′ ？ 旋转椭球计算中常引入以下符号 常引入以下符号： 2、旋转椭球计算中常引入以下符号： c、t、η、W、V 、 、
− 3 2
N = a (1 − e 2 sin 2 B )
−
1 2
M = m0 + m2 sin 2 B + m4 sin 4 B + m6 sin 6 B + m8 sin 8 B
N = n0 + n2 sin 2 B + n4 sin 4 B + n6 sin 6 B + n8 sin8 B
不同的椭球元素对应不同的系数
上一讲应掌握的内容 5、各坐标系间的关系
• 空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系 X=a ⋅ cos u ⋅ cos L (X，Y，Z) (L，u) Y = a ⋅ cos u ⋅ sin L
Z = b ⋅ sin u • 空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系 (X，Y，Z) （L，Φ，ρ） X = a cosφ cos L
′ ′ ′ ′ ′ N = n0 + n2 cos 2 B + n4 cos 4 B + n6 cos 6 B + n8 cos8 B
主曲率半径的计算公式系数（ 主曲率半径的计算公式系数（续）
′ m0 = a / 1 − e 2 3 2 ′ ′ m2 = − e′ m0 2 5 2 ′ ′ m4 = − e′ m2 4 7 ′ = − e′2 m4 ′ m6 6 9 2 ′ ′ m8 = − e′ m6 8
椭球面上几种曲率半径
六、主曲率半径的计算公式
以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径 ， 以上讨论的子午圈曲率半径 及卯酉圈曲率半径N，是 及卯酉圈曲率半径 两个互相垂直的法截弧的曲率半径， 两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统 称为主曲率半径 主曲率半径。 称为主曲率半径。
M = a (1 − e 2 )(1 − e 2 sin 2 B )
二、子午圈（线）曲率半径 子午圈（
• 推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率， 曲率的倒数是曲率半径。
x = N cos B
x=a ⋅ cos u 或： y = b ⋅ sin u y = N (1 − e 2 ) sin B
dS dB
几 何 意 义 :M =
dS =
− dx sin B
M =−
卯酉线（圈）曲率半径推导思路 卯酉线（
r = N cos B
a cos B x=r= W
a c N = = W V
Pn = N = PO ' r = cos B cos B
卯酉线（ 卯酉线（圈）曲率半径随纬度变化情况
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线 介于椭球面和短轴之间的长度， 介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心 位在椭球的旋转轴上。 位在椭球的旋转轴上。
1 − e2 1 − e2 cos 2φ
• 大地极坐标系同大地坐标系的关系 (S，A) (L，B) Z = a sinφ 大地主题解算
1 − e2 Y = a cosφ sin L 1 − e 2 cos 2φ 1 − e2 1 − e 2 cos 2φ
上一讲应掌握的内容
（六） B、u、φ之间的关系 六 之间的关系 • 在赤道圈上： B=u=φ=0 • 在两极处: B=u=φ=90° • 在其他处: ∣B∣＞∣u∣＞∣φ∣