高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 矩阵与变换 理 (2)

所以a＋1＝－3，所以a＝－4.
解析答案
(2)求矩阵A的特征值及特征向量. 解 由(1)知 A＝－14 －11，令 f(λ)＝λ－41 λ－11＝(λ－1)2－4＝0. 解得A的特征值为λ＝－1或3.
当 λ＝－1 时，
由4－x－2x2＋y＝y＝00， 得矩阵 A 的属于特征值－1 的一个特征向量为12， 当 λ＝3 时，
－1是矩阵 A－1 的属于特征值 λ1＝1 的一个特征向量，
ξ2＝11是矩阵 A－1 的属于特征值 λ2＝3 的一个特征向量.
思维升华
解析答案
跟踪训练3
1 已知矩阵 A＝
－1 ，其中
a∈R，若点
P(1,1)在矩阵
A
的变换下得到
a 1
点 P′(0，－3).
(1)求实数a的值；
解
1 由题意得
a
－1111＝－03，
解析答案
题型二 求逆矩阵
例 2 (2015·福建)已知矩阵 A＝24 13，B＝10 －11. (1)求A的逆矩阵A－1； 解 因为|A|＝2×3－1×4＝2，
所以 A－1＝32－42－2221＝32－2－21
. 1
解析答案
(2)求矩阵C，使得AC＝B.
解 由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，
123
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 矩阵与变换
例 1 已知 a，b 是实数，如果矩阵 M＝2b a1所对应的变换将直线 x－y＝
1 变换成 x＋2y＝1，求 a，b 的值. 解 设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点
(x′，y′)，
则2b a1xy＝yx′′，所以xy′ ′＝ ＝2bxx＋ ＋ay.y，
答案
4.特征值与特征向量 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝ λα，那么λ称为A的一个 特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个 特征 向量 .
5.特征多项式
设 A＝ac db是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式 f(λ)＝－λ－ca ＝ λ2－(a＋d)λ＋ad－bc ，称为 A 的特征多项式.
1 0
(2)伸压变换：如0
1； 2
1 0 (3)反射变换：如0 －1；
(4)旋转变换：如cos θ －sin θ，其中 θ 为旋转角度； sin θ cos θ
(5)投影变换：如10 00，11 00； (6)切变变换：如10 k1(k∈R，且 k≠0). 3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的 ，B称为A 的 逆矩阵 ； (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝ B－1A－1.
因为点(x′，y′)在直线x＋2y＝1上，
所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即2a＋ ＋22b＝＝－1， 1，
a＝－3， 所以b＝－12.
思维升华
解析答案
二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点 跟踪训练1
(－1，－1)与(0，－2).
(1)求矩阵M； 解 设 M＝ac
db，则有ac
aa1211××bb1122＋＋aa1222××bb2222.
(4)两个二阶矩阵的乘法满足 结合 律，但不满足交换 律和 消去 律.
即(AB)C＝A(BC)，
AB≠BA，
由AB＝AC不一定能推出B＝C.
一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等
时才能进行乘法运算.
答案
2.常见的平面变换 (1)恒等变换：如10 01；
db－11＝－ －11，
a c
db－21＝－02，
a＝1，
所以ac－－db＝＝－－11，，
且－ －22ac＋＋db＝＝－0，2，
b＝2， 解得c＝3，
所以 M＝13 24.
d＝4，
解析答案
(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程. 解 因为yx′′＝13 24xy＝x3＋x＋2y4y， 且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4， 整理得x＋y＋2＝0， 所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.
－1 0
0 －1
2.设 A＝
，B＝
，求 AB 的逆矩阵.
0 1
1 0
解
∵A－1＝－1 0
01，B－1＝－01
1 0，
0 ∴(AB)－1＝B－1A－1＝－1
1－1 0 0
01＝01
10.
123
解析答案
3.求矩阵 M＝66 － －33的特征值. 解 f(λ)＝－λ－66 λ＋33＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ1＝0，λ2＝3. ∴M的特征值为0和3.
第十四章 系列4选讲
§14.2 矩阵与变换
内容 索引
基础知识 自主学 习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提 高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.乘法规则 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵bb1211的乘法规则：
[a11 a12]bb1211＝ [a11×b11＋a12×b21] .
所以 A＝13－21
2 －12＝－331
－132. 3
解析答案
(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 解 矩阵A－1的特征多项式为 f(λ)＝λ－－21 λ－ －12＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，
令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，
1
所以 ξ1＝
－b λ－d
答案
2
考点自测
1 1.已知 A＝21
2
1
1
122，B＝－221
－121，求 AB. 2
解
1 AB＝21
2
1 1 2 2 12－12
－12 1 2
＝2121× ×2121＋ ＋1212× ×－ －2121
1212× ×－ －2121＋ ＋1122× ×1122＝00
ຫໍສະໝຸດ Baidu
00.
123
解析答案
(2)二阶矩阵aa2111 aa1222与列向量xy00的乘法规则：
a11×x0＋a12×y0
a11 a21
aa1222xy00＝ a21×x0＋a22×y0 .
答案
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
a11 a21
a12b11 a22b21
bb1222＝aa1211××bb1111＋＋aa1222××bb2211
故 C＝A－1B＝23 －21 －2
1 10
－11＝32－2
2 .
－3
思维升华
解析答案
已知矩阵 A＝－1 0
02，B＝10
26，求矩阵 A－1B.
跟踪训练2
解析答案
题型三 特征值与特征向量
例 3 已知矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝21 12. (1)求矩阵A；
解 因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，