三角函数公式及图像大全

〕的反
x=arsiny arcsinx 表示属于 理解 ［-
)的反函数， 叫 (0,π))的反函 2 做反正切函数， 记 数， 叫做反余切 函数，记作 作 x=arctany x=arccoty arctanx 表示属于 arccotx 表示属


2 2
,
］
属于［0，π］ ， (且余弦值等于 x 的角 ［-1，1］

3
+a)·tan(

3
-a)
半角公式
sin(
1 cos A A )= 2 2 1 cos A A )= 2 2 1 cos A A )= 1 cosA 2 1 cos A A )= 1 cosA 2
A 1 cos A sin A )= = 2 sin A 1 cos A
2

2

-α）= tanα 2 3 sin（ +α）= -cosα 2 3 cos（ +α）= sinα 2 3 tan（ +α）= -cotα 2 3 cot（ +α）= -tanα 2 3 sin（ -α）= -cosα 2 3 cos（ -α）= -sinα 2 3 tan（ -α）= cotα 2 3 cot（ -α）= tanα 2 (以上 k∈Z) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = A 2 B 2 2 AB cos( ) × sin
诱导公式
sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( cos( sin( cos(

2
-a) = cosa -a) = sina +a) = cosa

2

2
+a) = -sina 2 sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa sin a tgA=tanA = cos a
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα
公式五
利用公式-和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα
cos(arccosx)= x(x∈［-1,1］)
tan(arctanx)=x(x ∈ R)arctan(tanx)=x
cot(arccotx)=x( x∈R)
1］ )arcsin(sinx)=x( arccos(cosx)= x∈［互余恒等 式

（x∈(x(x∈［0,π］)

2 2
arccot(cotx)=x( )） x∈(0,π))
b ] a a ] b
(a 2 b 2 ) ×cos(a-c) [其中 tan(c)=
a a 1+sin(a) =(sin +cos )2 2 2 a a 1-sin(a) = (sin -cos )2 2 2
其他非重点三角函数
1 sin a 1 sec(a) = cos a
csc(a) =
双曲函数
周期为π 奇函数
单调性
， 2 2 2 上都是增函数；在 2kπ］上都是增 kπ+ )内都是 2 2 ［2kπ+ ,2kπ+ π］ 2 3 函数； 在 ［2kπ， 增函数(k∈Z) 上都是减函数(k∈Z) 2kπ+π］ 上都是 ,2kπ+ 减函数(k∈Z)


］ 在［2kπ-π，

在(kπ，kπ+π) 内都是减函数 (k∈Z)
某些数列前 n 项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角 正切定理 [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
公式六

2
±α及
sin（ cos（ tan（ cot（ sin（ cos（ tan（ cot（

2
3 ±α与α的三角函数值之间的关系： 2
+α）= cosα +α）= -sinα +α）= -cotα +α）= -tanα -α）= cosα -α）= sinα -α）= cotα

2


2 2
sina+sinb=2sin
积化和差
1 sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1 cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1 cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2
初等函数的图形
幂函数的图形
指数函数的图形
对数函数的图形
三角函数的图形
各三角函数值在各象限的符号
sinα·cscα
cosα·secα
tanα·cotα
三角函数的性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx ｛x｜x∈R 且
y=cotx ｛x｜x∈R 且 x≠kπ,k∈Z｝
定义域
R
R
x≠kπ+ Z｝

, )，且正切 2 2
于(0， π)且余切 值等于 x 的角
且正弦值等于 x 的角 定义域 值域 性 单调性 质 奇偶性 nx 周期性 都不是同期函数 sin(arcsinx)=x(x ∈［-1， 恒等式 ［-1，1］ ［-
值等于 x 的角
(-∞，+∞) (-
(-∞，+∞) (0，π)

2
，

sinh(a)=
e a - e -a 2
e a e -a cosh(a)= 2
tg h(a)=
sinh( a ) cosh(a )
公式一
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα

2
,k∈
［-1，1］x=2kπ+ ymax=1 值域 x=2kπ-

2
时 ［-1,1］ x=2kπ时 ymax=1 R R 无最大值 无最小值 无最大值 无最小值

2
时 ymin=-1
x=2kπ+π时 ymin=-1
周期性 奇偶性
周期为 2π 奇函数 在［2kπ-
周期为 2π 偶函数
周期为π 奇函数 在(kπ-

2
t arcsin[(Asin Bsin )
A 2 B 2 2 AB cos( )
三角函数公式证明（全部）
公式表达式
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系
X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注：方程有一个实根 b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
2
］
［0，π］

2
，

2
)
在〔-1，1〕上是 增函数 arcsi)上是增 在(-∞， +∞)上是 在［-1，1］上 在(-∞， 是减函数 arccos(-x)=πarccosx 数 arctan(-x)=-arct anx 减函数 arccot(-x)=π-a rccotx
反三角函数的图形
反三角函数的性质 名称 反正弦函数 y=sinx(x∈ 〔定义 反余弦函数 y=cosx(x∈ 〔0,π〕 )的反函 数，叫做反余 弦函数，记作 x=arccosy arccosx 表示 反正切函数 y=tanx(x∈(反余切函数

2
,
y=cotx(x∈

,
2 2 函数，叫做反正 弦函数，记作
倍角公式
2tanA 1 tan 2 A Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A
tan2A =
三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan(
公式二
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα
,
, ］) 2 2
arcsinx+arccosx=

2
(x∈［-1,1］)
arctanx+arccotx=

2
(X∈R)
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tanA tanB tan(A+B) = 1 - tanAtanB tanA tanB tan(A-B) = 1 tanAtanB cotAcotB - 1 cot(A+B) = cotB cotA cotAcotB 1 cot(A-B) = cotB cotA
cos(
tan(
cot( tan(
和差化积
ab a b cos 2 2 ab a b sina-sinb=2cos sin 2 2 ab a b cosa+cosb = 2cos cos 2 2 ab a b cosa-cosb = -2sin sin 2 2 sin( a b) tana+tanb= cos a cos b

万能公式
a 2 sina= a 1 (tan ) 2 2 a 1 (tan ) 2 2 cosa= a 2 1 (tan ) 2 a 2 tan 2 tana= a 1 (tan ) 2 2 2 tan
其它公式
a•sina+b•cosa= (a 2 b 2 ) ×sin(a+c) [其中 tanc= a•sin(a)-b•cos(a) =