高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套教案(55页)(经典)
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一、复习 1．求出下列各式中的 x：y。 （1）3x=5y； （2）x=2/3y； （3）3：2=y：x； （4）3：x=5：y。 2．已知 x:y=7:2，求 x:(x+Y) 3．已知 x:2=y:3=z:4，求（x+y+z）:(2x+3y-z) 二、新课学习
1．提出问题，使学生思考。 如果两条线段的比是 1:1，则这两条线段什么关系？在前一章我们学过的定理中， 有没有包含两条线段的比是 1：1 的？ 而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学）， 如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那 么追问理由，如果答不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点，则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出，并指出此定理也可谓：如果 E 是△ABC 的 AB 边上一点,且 EF//BC 交 AC 于 F 点，如果 AE:EB=1:1，那么 AE:EB=AF:FC=1:1。 2．引导学生探索与讨论。 就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 AE:EB 不等于 1:1， 譬如 AE:EB=2:3 时，AF:FC 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量， 得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。 而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。 继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理——过梯 形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2），并随即
最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应 线段”的使用，并以正反之例予以明确。
（三）应用举例
例 1（1）已知：如图 5， l1// l2 // l3 ，AB=3，DF=2，EF=4，求 BC。 （2）已知：如图 6， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DB=4.5，求 BF。
A1 A2
m
=
（m、n 为自然数），那么怎样证明
B1 B2
m
=
？并使学生试证，
A2 A3 n
B2 B3 n
并概括为：
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，那么
A1 A2 = B1B2 。 A2 A3 B2 B3
DG ED 2 DG 2 BC
BC EB 3
3
2BC= 1 AC
3
DG 2 AC 9
DF DG 2 பைடு நூலகம்F 2 AF
AF AC 9
9
从而 AD= 7 AF 故 AD:DF=7:2
9
4、 △ABC 中，DE∥BC，F 是 BC 上一点。
AF 交 DE 于点 G，AD:BD=2:1,BC=8.4cm
长线），也得到 = = （补足图 3 中的比例式）。
EB 3 FC
3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明， 首先引导学生就图 1、图 2 回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题：
对于图 3 的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图 3 中梯 形的各线段，得出图 4，并使观察、试述出：
平行线分线段成比例定理
目的与要求：
1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。
2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别，理解其
实用价值。
重点与难点：
重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用
难点：体会该定理特殊使用价值，区分两个类似定理。
主要教法：综合比较法
一、复习引入：
1、 平行线分线段成比例定理及推论
3 FC
板上画出的相应图观察、明确。
而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明
确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比
着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行
证明。
继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理——过梯形一腰 的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2），并随即提出问题：
并指出此定理也可谓：如果 E 是△ABC 的 AB 边上一点，且
AE
1
，EF//BC
交 AC 于 F 点，那么
AE
AE
1
。
EB 1
EB FC 1
2．引导学生探索与讨论。
AE
1
AE
就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 不等于 ，譬如 =
EB
1
EB
2 AF
时， 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑
求 CD 的长。
过 E 作 EH⊥CD 于 H，交 AB 于 G
2、已知：如图，四边形 AEDF 为菱形，
AB=12，BC=10，AC=8，
求：BD、DC 及 AF 的长。
6
4
24
5
3、 已知：如图，B 在 AC 上，D 在 BE 上，且
AB:BC=2:1，ED:DB=2:1
求 AD:DF
过 D 作 DG∥AC 交 FC 于 G（还可过 B 作 EC 的平行线）
（二）新知识的教学
1．提出问题，使学生思考。
在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是 1：1 的？
而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点
与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答
不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点，
则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出 AE AF 1 ， EB FC 1
AE 2
在梯形 ABCD 中，EF//BC 的条件不变，但 E 不是 AB 的中点，仍如 = ，那么是否
EB 3
DF
2
也等于 ？
FC
3
而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图 3）。
就图 3 的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含 EF 的延
AE 2 AF
在此基础上，教师提出问题：由 A1 A2 = B1B2 ，利用比例的性质还可得到哪些比例式？ A2 A3 B2 B3
（ A2 A3 = B2 B3 ， A1 A2 = B1B2 ，等） A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含 的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。
2、 △ABC 中，若 DE∥BC，则 AD AE , 它们的值与 DE 相等吗？为
AB AC
BC
什么？
二、新课：
例 1：已知：如图，DE∥BC，分别交 AB、AC 于
点 D、E
求证： AD AE DE
AB AC BC
分析： DE 中的 DE 不是△ABC 的边 BC 上，但从比例
BC
AD AE , 可以看出，除 DE 外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我
AB AC
们只要将 DE 移到 BC 边上去得 CF=DE，然后再证明 AD CF 就可以了，
AB BC
这只要过 D 作 DF∥AC 交 BC 于 F，CF 就是平移 DE 后所得的线段。
结论：平行于三角形的一边，并且和其
他两边相交的直线。所截得的三角形的三边
与原三角形的三边对应成比例。
例 2：已知：△ABC 中，E、G、D、F 分别是边 AB、CB 上的一点，且
提出问题：
如果 E 不是 AB 的中点，如 AE:EB=2:3，那么 AE:EB=?（让生填空）
进一步问，如果 AE：EB＝m:n，结论成立吗？如何说明？ 引导学生得出 AE:EB=AF:FC 之后，提问
3、得出平行线分线段成比例定理 强调对应线段：
问 AE:CF=AF:EB 成立吗？ 4、例 1 讲解（略) 变式：
GF∥ED∥AC，EF∥AD 求证： BG BD .
BE BC
例 3、已知：△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，
过 C 任作一直线交 AD 于 E，交 AB 于 F。 求证： AE 2AF
ED FB
例 4：如图，已知：D 为 BC 的中点，AG∥BC， 求证： EG AF
ED FC
AG （DC=BD）
（3）已知：如图 7， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DF=10，求 DE。 （4）已知：如图 8， l1// l2 // l3 ，AB=a，BC=b，DF=c，求 EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其 口答。
例 2．已知线段 PQ，PQ 上求一点 D，使 PD：DQ=4：1。 先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足， 最后使他们实践。 （四）小结 1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线 等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是 通过转化为平行线等分线段定理来解决的。 2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对 应线段，否则就会产生错误。 （五）布置作业 补充（1）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PD：PQ=4：1； （2）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PQ：DQ=4：1
已知：如图 6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求 BF。
已知：如图 7,AB=3,BC=5,DF=10，求 DE。 已知：如图 8,AB=a，,BC=b，DF=c，求 EF。 5、例 2 讲解：(略） 分析：已知是给出了"上：下"的比的形式，而结论是求"上：全"，故考虑运用合
比性质。 三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证 明，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； 2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段 的第一个端点来定左、右 四、作业
DC
例 5：已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC， 求证： AB BD ，过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延
AC DC
长线于 E.
例 6：△ABC 中，AD 平分∠BAC，CM⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 M， 求证： BD AB
DC AM
BD MF
再证：△MEF≌△CED （由三线合一：ME=EC） 三、练习： 四、小结： 1、今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形，可得这 两个三角形的三对对应边成比例，特别注意与平行线分线段成比 例定理的区别。 2、 如果平行于三角形一边的直线，与三角形两边的延长线相交也 可以用这个定理。 五、作业 六、弹性练习： 1、已知：如图， EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2 BD=3.6
（1）3x=5y； （2）x= 2 y ； （3）3：2= ： ； （4）3： =5： 。 3
2．已知
7 2
,
求
。
3．已知
z ,求
x y z
。
2 3 4 2x 3y z
其中第 1 题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第 2、3 题以学生各自解答，指定
2 人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。
课题：平行线分线段成比例定理⑴
一、教学目的：
1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；
2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；
3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。
二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。 三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。 四、教学过程：
高中数学选修 4-1 全套教案
一 平行线分线段成比例定理
教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。 教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。 教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。 教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。 教学过程： （一）旧知识的复习 利用投影仪提出下列各题使学生解答。 1．求出下列各式中的 x：y。
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，如果
A1 A2
2
= ，那么
B1 B2
2
= ，即
A1 A2
= B1B2
。
A2 A3 3
B2 B3 3
A2 A3 B2 B3
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。
进一步提出：
1．提出问题，使学生思考。 如果两条线段的比是 1:1，则这两条线段什么关系？在前一章我们学过的定理中， 有没有包含两条线段的比是 1：1 的？ 而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学）， 如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那 么追问理由，如果答不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点，则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出，并指出此定理也可谓：如果 E 是△ABC 的 AB 边上一点,且 EF//BC 交 AC 于 F 点，如果 AE:EB=1:1，那么 AE:EB=AF:FC=1:1。 2．引导学生探索与讨论。 就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 AE:EB 不等于 1:1， 譬如 AE:EB=2:3 时，AF:FC 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量， 得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。 而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。 继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理——过梯 形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2），并随即
最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应 线段”的使用，并以正反之例予以明确。
（三）应用举例
例 1（1）已知：如图 5， l1// l2 // l3 ，AB=3，DF=2，EF=4，求 BC。 （2）已知：如图 6， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DB=4.5，求 BF。
A1 A2
m
=
（m、n 为自然数），那么怎样证明
B1 B2
m
=
？并使学生试证，
A2 A3 n
B2 B3 n
并概括为：
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，那么
A1 A2 = B1B2 。 A2 A3 B2 B3
DG ED 2 DG 2 BC
BC EB 3
3
2BC= 1 AC
3
DG 2 AC 9
DF DG 2 பைடு நூலகம்F 2 AF
AF AC 9
9
从而 AD= 7 AF 故 AD:DF=7:2
9
4、 △ABC 中，DE∥BC，F 是 BC 上一点。
AF 交 DE 于点 G，AD:BD=2:1,BC=8.4cm
长线），也得到 = = （补足图 3 中的比例式）。
EB 3 FC
3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明， 首先引导学生就图 1、图 2 回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题：
对于图 3 的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图 3 中梯 形的各线段，得出图 4，并使观察、试述出：
平行线分线段成比例定理
目的与要求：
1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。
2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别，理解其
实用价值。
重点与难点：
重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用
难点：体会该定理特殊使用价值，区分两个类似定理。
主要教法：综合比较法
一、复习引入：
1、 平行线分线段成比例定理及推论
3 FC
板上画出的相应图观察、明确。
而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明
确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比
着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行
证明。
继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理——过梯形一腰 的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2），并随即提出问题：
并指出此定理也可谓：如果 E 是△ABC 的 AB 边上一点，且
AE
1
，EF//BC
交 AC 于 F 点，那么
AE
AE
1
。
EB 1
EB FC 1
2．引导学生探索与讨论。
AE
1
AE
就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但 不等于 ，譬如 =
EB
1
EB
2 AF
时， 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑
求 CD 的长。
过 E 作 EH⊥CD 于 H，交 AB 于 G
2、已知：如图，四边形 AEDF 为菱形，
AB=12，BC=10，AC=8，
求：BD、DC 及 AF 的长。
6
4
24
5
3、 已知：如图，B 在 AC 上，D 在 BE 上，且
AB:BC=2:1，ED:DB=2:1
求 AD:DF
过 D 作 DG∥AC 交 FC 于 G（还可过 B 作 EC 的平行线）
（二）新知识的教学
1．提出问题，使学生思考。
在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是 1：1 的？
而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点
与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答
不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点，
则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出 AE AF 1 ， EB FC 1
AE 2
在梯形 ABCD 中，EF//BC 的条件不变，但 E 不是 AB 的中点，仍如 = ，那么是否
EB 3
DF
2
也等于 ？
FC
3
而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图 3）。
就图 3 的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含 EF 的延
AE 2 AF
在此基础上，教师提出问题：由 A1 A2 = B1B2 ，利用比例的性质还可得到哪些比例式？ A2 A3 B2 B3
（ A2 A3 = B2 B3 ， A1 A2 = B1B2 ，等） A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含 的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。
2、 △ABC 中，若 DE∥BC，则 AD AE , 它们的值与 DE 相等吗？为
AB AC
BC
什么？
二、新课：
例 1：已知：如图，DE∥BC，分别交 AB、AC 于
点 D、E
求证： AD AE DE
AB AC BC
分析： DE 中的 DE 不是△ABC 的边 BC 上，但从比例
BC
AD AE , 可以看出，除 DE 外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我
AB AC
们只要将 DE 移到 BC 边上去得 CF=DE，然后再证明 AD CF 就可以了，
AB BC
这只要过 D 作 DF∥AC 交 BC 于 F，CF 就是平移 DE 后所得的线段。
结论：平行于三角形的一边，并且和其
他两边相交的直线。所截得的三角形的三边
与原三角形的三边对应成比例。
例 2：已知：△ABC 中，E、G、D、F 分别是边 AB、CB 上的一点，且
提出问题：
如果 E 不是 AB 的中点，如 AE:EB=2:3，那么 AE:EB=?（让生填空）
进一步问，如果 AE：EB＝m:n，结论成立吗？如何说明？ 引导学生得出 AE:EB=AF:FC 之后，提问
3、得出平行线分线段成比例定理 强调对应线段：
问 AE:CF=AF:EB 成立吗？ 4、例 1 讲解（略) 变式：
GF∥ED∥AC，EF∥AD 求证： BG BD .
BE BC
例 3、已知：△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，
过 C 任作一直线交 AD 于 E，交 AB 于 F。 求证： AE 2AF
ED FB
例 4：如图，已知：D 为 BC 的中点，AG∥BC， 求证： EG AF
ED FC
AG （DC=BD）
（3）已知：如图 7， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DF=10，求 DE。 （4）已知：如图 8， l1// l2 // l3 ，AB=a，BC=b，DF=c，求 EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其 口答。
例 2．已知线段 PQ，PQ 上求一点 D，使 PD：DQ=4：1。 先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足， 最后使他们实践。 （四）小结 1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线 等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是 通过转化为平行线等分线段定理来解决的。 2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对 应线段，否则就会产生错误。 （五）布置作业 补充（1）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PD：PQ=4：1； （2）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PQ：DQ=4：1
已知：如图 6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求 BF。
已知：如图 7,AB=3,BC=5,DF=10，求 DE。 已知：如图 8,AB=a，,BC=b，DF=c，求 EF。 5、例 2 讲解：(略） 分析：已知是给出了"上：下"的比的形式，而结论是求"上：全"，故考虑运用合
比性质。 三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证 明，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； 2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段 的第一个端点来定左、右 四、作业
DC
例 5：已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC， 求证： AB BD ，过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延
AC DC
长线于 E.
例 6：△ABC 中，AD 平分∠BAC，CM⊥AD 交 AD 于 E，交 AB 于 M， 求证： BD AB
DC AM
BD MF
再证：△MEF≌△CED （由三线合一：ME=EC） 三、练习： 四、小结： 1、今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形，可得这 两个三角形的三对对应边成比例，特别注意与平行线分线段成比 例定理的区别。 2、 如果平行于三角形一边的直线，与三角形两边的延长线相交也 可以用这个定理。 五、作业 六、弹性练习： 1、已知：如图， EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2 BD=3.6
（1）3x=5y； （2）x= 2 y ； （3）3：2= ： ； （4）3： =5： 。 3
2．已知
7 2
,
求
。
3．已知
z ,求
x y z
。
2 3 4 2x 3y z
其中第 1 题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第 2、3 题以学生各自解答，指定
2 人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。
课题：平行线分线段成比例定理⑴
一、教学目的：
1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；
2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；
3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。
二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。 三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。 四、教学过程：
高中数学选修 4-1 全套教案
一 平行线分线段成比例定理
教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。 教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。 教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。 教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。 教学过程： （一）旧知识的复习 利用投影仪提出下列各题使学生解答。 1．求出下列各式中的 x：y。
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，如果
A1 A2
2
= ，那么
B1 B2
2
= ，即
A1 A2
= B1B2
。
A2 A3 3
B2 B3 3
A2 A3 B2 B3
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。
进一步提出：