高等代数II课习题课例题精讲(高清PDF)

σ (V ) = L(σ (γ1 ),⋅⋅⋅,σ (γ 4 )) .
(σ (γ1 ),⋅⋅⋅,σ (γ 4 )) = (σ (ε1 ),⋅⋅⋅,σ (ε4 )) P
= (ε1,ε2 ,ε3,ε4 ) AP
1 0 0 0
=
(ε1,
ε
2
,
ε
3
,
ε
4
)

0 2
1 1
0 0
0 0

.

{ } （2）求 Cn×n 的子空间 C ( F ) = X ∈ Cn×n | FX = XF 的维数.
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( ) 证（1） 记 A = α1,α2 ,⋅ ⋅⋅,αn , M = an1F n−1 + an−1,1F n−2 + ⋅ ⋅⋅ + a21F + a11E . 要证明 M = A ，
只需证明 M 和 A 的各列向量对应相等即可. 设 ei 表示第 i 个基本单位列向量. 只需证明
Mei = Aei = αi , i = 1, 2,⋅⋅⋅,⋅⋅⋅n .
若记 β = (−an, −an−1,⋅⋅⋅, −a1 )T ，则 F = (e2 , e3,⋅⋅⋅, en , β ) . 注意到
计算得
2 −3 3 2
1
B
−1
AB
=

−2 0
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1
00 30 −1 1 −1 1
0 −1 1
0


−1
0 1
2


2
0 2 2 −2
2 1 5 1
1 1
3


−2
5 0
−2


1
00 30 −1 1 −1 1
0
0
0
→

0 2
1 1
0
0

，
0 0

1
−1
0
0

第2页共5页
即存在可逆阵 P ，使得
1 0 0 0
AP
=

0 2
1 1
0 0
0 0

.

1
−1
0
0

令 (γ1, γ 2 ,γ 3 ,γ 4 ) = (ε1,ε 2 ,ε3,ε4 ) P ，则γ1, γ 2 ,γ 3,γ 4 也是V 的一组基，因此
1 0 2 1
1 0 0 0
解（1）
设
A
=

−1 1
2 2
1 5
3 5


，
B
=

−2
0
3 −1
0 1
0 0

，显然
B
是可逆阵.

2
−2
1
−2


1
−1 1
2

由题意知 σ (ε1,ε2,ε3,ε 4 ) = (ε1,ε2 ,ε3,ε4 ) A ， (η1,η2,η3,η4 ) = (ε1,ε 2,ε3,ε4 ) B ，因此，
因此，
( ) Fe1 = e2 , F 2e1 = Fe2 = e3 ,⋅⋅ ⋅, F n−1e1 = F F n−2e1 = Fen−1 = en .
Me1
=
an1F
e n−1 1
+
an −1,1 F
e n −2 1
+
⋅⋅⋅
+
a21Fe1
+
a11e1
= an1en + a e n−1,1 n−1 + ⋅⋅⋅ + a21e2 + a11e1
下面考虑 g 在V0 上的限制 g |V0 ，由于V0 是复数域 C 上的线性空间，因此 g |V0 一定有特征值， 设为 λ′ ，设它的一个特征向量为ξ ′ ∈V0 ，所以，ξ ′ 也是 f , g 的公共的特征向量. 证毕.
例 3 （2009 年全国大学生数学竞赛数学类试题）已知 C n×n 是 n × n 复数矩阵全体在通常运算下
λ (g (ξ ) +ξ ) = 0 .
（3）
若 λ ≠ 0 ，则 g (ξ ) + ξ = 0 ，所以，由（1）得
0 = f ( g (ξ ) + ξ ) = f ( g (ξ )) + f (ξ ) = λ ( g (ξ ) + ξ ) + λξ = λξ ,
于是ξ = 0 ，这与ξ 是对应于 λ 的特征向量的前提不相符. 故 λ = 0 . 所以 f 的特征值全是 0.
2

=

2 3 8 3 0
−4 3
− 16 3 1
10 3 40 3 −7
10

3
40

3 8

为线性变换σ 在基η1,η2 ,η3,η4 下的矩阵.
注 在求 B−1 时，可由已知两组基的关系容易解得
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ε1
=
η1
+
2 3
η2
+
2 3
η3

ε2 ε3
= =
1 2
η2
η3 −
+ 13η3
1 2
η4

ε4
=
1 2
η4
−
1 2
η4
，因此
B−1
=

1
2 3 2 3 −1 2
0 1 3 1 3
0
0 0
1 −1
2
0
0 .
0
1 2
（2）先求核σ −1 (0) .
∀α ∈σ −1 (0) ，设α = (ε1,ε2,ε3,ε4 ) x ，其中 x = ( x1, x2 , x3, x4 )T .
《高等代数 II》习题课例题讲解
例 1 （《高等代数》张志让等，高教版. P214 第 1 题）设ε1, ε2 ,ε3,ε4 是 4 维线性空间V 的一个
基，线性变换σ 在这个基下的矩阵为
1 0 2 1

−1
2
1
3

1 2 5 5

2
−2
1
−2

（1）求σ 在η1 = ε1 − 2ε 2 + ε4 ,η2 = −3ε2 − ε3 − ε4 ,η3 = ε3 + ε4 ,η4 = 2ε4 下的矩阵； （2）求σ 的核与值域.
1
−1
0
0

σ (γ1 ) = ε1 + 2ε3 + ε4 =$ξ°1 ，σ (γ 2 ) = ε2 + ε3 − ε4 =$ξ°2 ，σ (γ 3 ) = σ (γ 4 ) = 0 . 故
( ) σ (V ) = L ξ°1,ξ°2 .
例 2（2009 年全国大学数学竞赛数学类试题）设V 是复数域 C 上的 n 维线性空间 (n > 0) ，f , g
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+
x1Fe1
+
x2 F
2e1
+
⋅⋅⋅+
xn−1F
e n−1 1
= x0e1 + x1e2 + x2e3 + ⋅ ⋅⋅ + xn−1en .
故 x0 = x1 = x2 = ⋅⋅ ⋅ = xn−1 = 0 ， 即 E, F, F 2 , ⋅⋅ ⋅, F n−1 线 性 无 关 ， 因 而 它 是 C ( F ) 的 基 . 故 dimC ( F ) = n.
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= f ( g2 (ξ )) − λg2 (ξ ) − λg (ξ ) ,
得到
f ( g2 (ξ )) = λ ( g2 (ξ ) + 2g (ξ ) + ξ ) .
（2）
在（1）中以 g (ξ ) 代替ξ 可得
f (g2 (ξ )) = λ (g2 (ξ ) + g (ξ )).
（2） − （3）得

x2
=
−
3 2
x3
− −
x4 2x4
，它的一个基础解系是
β1 = (4,3, −2, 0)T , β2 = (1, −2, 0, −1)T ,
其通解为 x = c1β1 + c2β2 ，这里 c1, c2 为任意常数.
所以，σ −1 (0) = {α ∈V | σ (α ) = 0}
{ } = c1 (ε1,ε2,ε3,ε4 ) β1 + c2 (ε1,ε2,ε3,ε 4 ) β2 | c1, c2是任意常数 .
是V 上的线性变换. 如果 fg − gf = f ，证明： f 的特征值都是 0，且 f , g 有公共的特征向量.
解（1）设 λ 是 f 的任一特征值，ξ 是对应于 λ 的特征向量，因此， f (ξ ) = λξ .
由于 f = fg − gf ，所以
f (ξ ) = f (g (ξ )) − g ( f (ξ )) ，
{ } 解（2） 由（1）知 C ( F ) = span E, F, F 2,⋅⋅⋅, F n−1 .
设 x0 E + x1F + x2F 2 + ⋅⋅ ⋅ + xn−1F n−1 = 0 . 所以
( ) 0 = x0E + x1F + x2 F 2 + ⋅⋅ ⋅ + xn−1F n−1 e1
=
x0e1
令ξ1 = (ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 ) β1 = 4ε1 + 3ε2 − 2ε3 ，ξ1 = (ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 ) β2 = ε1 − 2ε 2 − ε4 ，则
σ −1 (0) = L (ξ1,ξ2 ) .
下面再求值域σ (V ) .
对矩阵 A 施行初等列变换得
1 0 0 0
A
= α1 = Ae1 ，
Me2 = MFe1 = FMe1 = FAe1 = AFe1 = Ae2 ,
Me3 = MF 2e1 = F 2Me1 = F 2 Ae1 = AF 2e1 = Ae3, ⋅⋅⋅
Men
=
MF
e n−1 1
=
F n−1Me1
=
F n−1Ae1
=
AF
e n−1 1
=
Aen .
故 M = A.
(ε1,ε2 , ε3, ε4 ) = (η1,η2 ,η3,η4 ) B−1 . σ (η1,η2,η3,η4 ) = σ (ε1,ε2,ε3,ε4 ) B
= (σ (ε1 ),σ (ε2 ),σ (ε3 ),σ (ε4 )) B
= (ε1,ε2 ,ε3,ε4 ) AB
= (η1,η2 ,η3,η4 ) B−1 AB .
所构成的复数域 C 上的线性空间，
0 0

1
0
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
0 0
−an −an−1

F = 0 ⋅ ⋅ ⋅
1 ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
0 ⋅⋅⋅
−an−2 ⋅⋅⋅

.
0 0 ⋅⋅⋅ 1 −a1
( ) （1）设 A =
aij
， AF = FA . 证明：
n×n
A = an1F n−1 + an F −1,1 n−2 + ⋅⋅⋅ + a21F + a11E ；
{ } （2）设V0 = ξ ∈V | f (ξ ) = 0 是 f 的属于特征值 0 的特征子空间，则V0 是 f -子空间.
∀ξ ∈V0 ，则 f (ξ ) = 0 ，所以
0 = f (ξ ) = f (g (ξ )) − g ( f (ξ )) = f ( g (ξ )) ，
故 g (ξ ) ∈V0 . 所以V0 是 g -子空间.
即
λξ = f ( g (ξ )) − g (λξ ) = f ( g (ξ )) − λg (ξ ) ,
移项得
f (g (ξ )) = λ (g (ξ ) + ξ )
（1）
其次，
f ( g (ξ )) = f ( g2 (ξ )) − g f ( g (ξ )) ，
因此，
λ ( g (ξ ) + ξ ) = f ( g2 (ξ )) − g λ ( g (ξ ) + ξ )
由σ (α ) = σ (ε1,ε2,ε3,ε4 ) x = (ε1,ε 2,ε3,ε4 ) Ax = 0 知， Ax = 0 . 对系数矩阵 A 施行初等行变
换得
1 0 2 1

A
→

0
1
3 2
2
.

0 0
0 0
0 0
0 0

所以，齐次线性方程组
Ax
=
0 可化为
x1 = −2x3