完全平方公式(第一课时) 教案

完全平方公式(第一课时)教案

教学目标：完全平方公式的推导及其应用

教学重点：完全平方公式的推导过程，公式特点

教学难点：理解完全平方公式的特点并能灵活应用公式进行计算

教学过程：

1 计算下面各题：(复习多项式与多项式相乘)

(1)(2x＋1)(x＋3) (2) (m＋2n)(m－3n) (3) (x＋2)(x＋3) (4)(x－4)(x＋1) (5) (y＋4)(y－2) (6) (y－5)(y－3)

2 师：我们曾学过求正方形的面积，那么它的面积公式是如何表示的，请一个同学说出来。生：s = a2

师：很好，请问a2 表示什么意思？

生：a2表示a · a，即两个a相乘

师：说得对，用数学表达式可以写作：a2 = a ·a (教师板书)，这节课我们就要用到这种方法来解决一个新的问题

二导入新课：

先计算下列各式，看谁能先发现计算结果有什么的规律性

(1) (p＋1)2 = (p＋1)(p＋1)= (2) (m＋2)2 =

(3) (p－1)2 = (p－1)(p－1) = (4) (m－2)2 =

通过计算，得：(1) 的结果是：p2＋2p＋1 ；(2) 的结果是：m2＋4m＋4 ；

(3) 的结果是：p2－2p＋1 ；(4) 的结果是：m2－4m＋4 。

教师启发学生先观察(1)式，

师：它是求(p+1)的平方，第一项和第三是这两个加数的什么？

生：是这两个加数的平方，

师：在看第二项，在我们计算的结果中除了字母p和数字1 外，还多了一个系数2，你还知道是如何得到的吗？

生：是根据多项式与多项式相乘，展开后其中有两项是一样的，通过合并同类项得到系数2；师：说的对，请再分析一下第二项与这两个加数是不是还有什么样的关系？

生：从刚才的计算过程中可以看出，实际上第二项就是这两个加数的2倍；

师：说得好！(教师板书)：2 p = 2 ×p ×1，因为这个1可以省略，所以写作2 p，但我们心里要明白是这两个加数的2倍，不然的话我们就容易出现计算上的错误，比如说(2) 和(4)中间项就是2 ×m ×2 = 4m得到的；

师：还有一个问题就是展开后的符号是如何确定的，你知道吗？

生：对于这样的式子来说，如果说是加号就加上这两个数的2倍，是减号的话即减去这两个数的2倍了，其余符号都为加号。

师：好的，现在我们再来计算一下这两题看看是不是有这样的情况：

(1)(a＋b)2 (2) (a－b)2

经过计算后学生发现(1) 的结果是：a2＋2ab＋b2 ；(2) 的结果是：a2－2ab＋b2 ，这与刚才分析的是一致的。

师：能否说出有什么规律性？

生：两个数的和的平方，会等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两个数的差的平方，会等于它们的平方和减去它们的积的2倍，

师：不错，这就是我们这节课要讲的内容，归纳一下可以简单扼要的说“两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们积的2倍，刚才上面计算的两个公式叫做（乘

法的）完全平方公式

三 讲授新课：

例3运用完全平方公式计算：

(1) (4m ＋n)2

2

)21)(2(-y 解： (1) 原式 = (4m)2 ＋ 2 · (4m) · n ＋ n 2

=16m 2＋ 8m n ＋ n 2

4

1)21(212)2(222+

-=+⨯

⨯-=y y y y 原式

例4 运用完全平方公式计算：

(1) 1022 (2) 992

分析(1) 要用到完全平方公式就要想办法分解为两个加数的和，最优的分解方法应该是102=100＋2，转化为整百数与一个数的和，用其它分解方法来计算会繁一点，由此得如下解法

解：(1) 原式 = (100＋2)2 = 1002＋2×100×2＋22

= 10000＋400＋4

= 10404

分析(2) 这题可根据上题的思路，转化为整百数与一个数的差会简单一些

(2) 原式 = (100－1)2 = 1002－2×100×1＋12

=10000－200＋1

=9801

四 巩固练习：

课本第155页练习 1、2（练习完后教师要有针对性的进行讲评）然后提出下面的问题，让学生思考，培养学生对式子的转化和观察图形的能力。

思考一：(a ＋ b)2 与 (－a －b)2 相等吗？(a －b)2 与 (b － a)2 相等吗？

通过分析发现：(－a － b)2 与( a －b)2有相似之处，它的－ a 可以看成是公式中的a ，只要将其代入(a － b)2 = a 2－2ab ＋b 2 ，即 (－a － b)2 = (－a )2－2·(－a )·b ＋b 2 = a 2＋2ab ＋b 2，就可以发现它与(a ＋ b)2的结果是一样的（如果说是能应用添括号的方法就可以直接转化为同一个式子了）， 而(a － b)2 与(b － a)2只是被减数和减数的位置交换了，与它们的平方没有关系（应用添括号的方法可以直接转化为同一个式子），通过计算可以发现结果是一样的。

思考二：你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗？

图（1）

图（2）

如图（1）大正方形的面积等于两个正方形的面积加上两个长方形的面积，即(a ＋ b)2 = a 2＋b 2 ＋ab ＋ab=a 2＋b 2 ＋2ab ，再转化成课本上的公式就是：(a ＋ b)2 = a 2＋2ab ＋b 2

如图（2）红色正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积和一个黄色正方形的面积，即 (a －b)2 =a 2－(a －b) b － (a －b)b －b 2 = a 2－ab ＋b 2 －ab ＋b 2－b 2 = a 2－2ab ＋2b 2 －b 2 = a 2－2ab ＋b 2 ，即得：(a －b)2 = a 2－2ab ＋b 2

五 课堂小结：

这节课我们讲了完全平方公式，它是中学运用比较多的公式之一，在后面的学习中我们还会利用它进行解题，希望同学们要理解和掌握好完全平方公式，并能灵活应用公式进行计算。

六 课堂练习：

1.（1）(2a ＋3b)2 = （2）(－2a ＋3b)2 = (3)(a －1)(a ＋1)(a 2－1)

2.(1)已知x －2x=2,先化简,再求值：(x －1)2＋(x ＋3)(x －3)＋(x －3)(x －1)

(2)化简，求值：(x －3)2 －x (x －8)，其中x = 3

3.已知（a ＋b)2 = 8 ，（a －b)2 =12 ，求a 2＋b 2的值。

教学后的反思，根据此教案进行教学，学生能力得到了发展，并且对所学习的知识有更深层次的理解和掌握，此教案能紧紧的结合教材，并通过师生的交流，由开始的复习引入来理解完全平方公式，再到后面思考一的比较说明形变质不变，然后由思考二的数形结合，说明代数与几何的有机联系，都是紧扣主题完全平方公式，这体现在分析和方法上能加以归纳小结，我认为这样的教学研究还是很好的。