机构学和机器人学-2运动学中的向量法

一、平面机构的运动分析
1、铰链四杆机构 建立封闭矢量方程，可有两种形式： a、连续头尾相接的封闭链； b、到达同一研究点的两个不同途径的两个分支。 雷文（Raven）称为“独立位置方程”法，这 一方法对解决输入和输出构件都绕各自固定点 中心转动的问题特别有效。
？ ？
解题思路：
（1）位置分析
1）利用已知r1、r2和θ2，求出对角线矢
该式由相对运动速度多边形图示说明为：
iei2 、 iei3 、 iei3 分别表示 r22 、 r33 、 ra4
的方向，它们是
r2
、 r3
、 r4
的方向转过
2
所得，2
是已知的。
r22iei2 r33iei3 r44iei4
将上述矢量方程分解为实部分量和虚部分量：
r2r22c2ossin
2
2
r33 sin r33 cos3
代入（2—28）：
r4
r2 cos 2 cos 4
（2-28） （2-29）
（2-30）
（2）速度分析
对（2—27）求导杆的速度方程：
r2i2ei2 r4ei4 r44iei4 （2-31）
e 两边乘以 i4 则：
r ei(2 4 ) 22
r4 ir44
将上式分成实数分量和虚数分量得：
r4 r22 sin(2 4 )
设在复平面上有一个单位矢量 aˆ ，则该矢量可表示为：
aˆ cos i sin ei
（2-1）
y
a
O
x
如图的自由矢量 a的表示为：
a aaˆ aei a(cos i sin) ax iay 于是矢量 a的分量分别为：ax 、 ay
1）向量 a与单位矢量 ei 相乘：
ei (aei ) aei( ) 表示向量 a逆时针转过一个 角。
r3 cos3
r4 sin4
r4 cos4 r4 sin4 r4 cos4
于是可得：
3
2
r2r4 cos 2 r3r4 cos
s in 4 3 sin
r2r4 sin2 cos4 4 r3r4 sin3 cos 4
2
r2 r3
s in( 4 s in( 3
2 4
) )
（2-25）
类似可求得：
由位置方程 r2ei2 r3eie3 r1 r4ei4 进行求导：
d (rei ) rei ri ei
dt
由于铰链四杆机构中均为刚体，因此利用上式） 矢量微分，将不包含径向分量项，由此得：
r22iei2 r33iei3 r44iei4 （2-23）
r22iei2 r33iei3 r44iei4
a aaˆ aaˆ a aaˆ 2aaˆ aaˆ
式中：
（2-13）
aˆ ei (isin cos) j sin （2-14）
aˆ ei sin(i2 ) 2iei cos ei (cos sin2 )
j(sin cos2 )
（2-15）
§2-2 利用复数向量进行机构的运动分析
取虚数分量：
（2-33）
r22 cos(2 4 ) r222 sin(2 4 ) 2r44 r44
（2-34）
因此：
4
1 r4
r22 cos(2 4 ) r222 sin(2 4 ) 2r44
（2-35）
取（2—23）实数分量：
r22 sin(2 4 ) r222 cos(2 4 ) r4 r422
3 r44 sin r44 cos4
4
未知量 3 、 4 左移：
3 (r3 sin3 ) 4 (r4 sin4 ) r22 sin2 3 (r3 cos3 ) 4 (r4 cos4 ) r22 cos2
（2-24）
最后，用Cramer（克莱姆）法则解（2—24）
r22 sin2
3
r22 cos2 r3 sin3
3 (r3 sin3 ) 4 (r4 sin4 ) r22 sin2 r222 cos2 r332 cos3 r442 cos4 A 3 (r3 cos3 ) 4 (r4 cos4 ) r22 cos2 r222 sin2 r332 sin3 r442 sin4 B
由此得：
A r4 sin4
，2
10
1 s
求当：2 30 ，4 45 时杆3的位置角 3 、 3 及4
由于杆2在I—J平面内运动，所以矢量 r2 在I—R平面内的投影
与R轴夹角θ2=900，又由于杆4在平行于R—J平面内旋转，因 此向量r4在I—R平面内的投影与R轴夹角θ4=0。
矢量A0B0可表达为： A0B0＝a+i b+ j c
对实轴的对称点也对应一个复数：
~z x iy
则称
~z 是z的共轭复数，
(z~z )
1 2
定义为复数z的模
记为： z
z
(
z~z )
1 2
x2 y2
模等于1的复数称为单位复数：
zˆ cos i sin
θ称为幅角，由Euler公式：
ei cos i sin z z ei
二、复数矢量的表示
4
2
r2 r4
sin( sin(
3 3
2 4
) )
（2-26）
（3）加速度分析
同样方法对（2—16）进行二次微分得：
r22 (iei2 ) r222 (ei2 ) r33 (iei3 ) r332 (ei3 )
r44 (iei4 ) r442 (ei4 )
（2-27）
将（2-27）分解为实数分量和虚数分量，便可 得含有未知数 3和 4 的两个方程：
a a(ei sin j cos)
（2-11）
式中θ为矢量
与实轴R间夹角，
为aa在与复J 平轴面的（夹O角—。RI平面）上的投影
J虚
矢量 a可看成长度a与单位向量 aˆ
的乘积。由式2—11
则单位向量：
I虚
aˆ ei sin j cos （2-12）
O
R实
a a aˆ，其一阶导数，二阶导数为:
c os ( d
3)
r32
d 2 r42 2dr3
(d 3 ) 有两个可能解，根据连续条件确定一个。 取（2—20）的虚部得：
r3 sin3 d sind r4 sin4
sin 4
r3
sin3
r4
d sin d
（2-22）
同样，θ4有可能有2个解，根据连续条件加以确定。
（2）速度分析
第二章 运动学中的向量法
向量法是描述刚体运动的一种基本方法，可用直 角坐标，也可用极坐标表示。
§2-1 复数矢量法(复极向量法)
Y
一、复数
i
用两个实数x、y表示一个复数
z x iy
O
x、y 分别称为复数的实部和虚部，实部 单位为“1”，略去不写，虚部单位“i”有
求法规则：i i 1
Z
y
1 xX
将式（2—17）移项后，分别求上它们各自的共轭复数：
(deid )(deid ) (r1 r2ei2 )(r1 r2ei2 ) d 2 r12 r22 r1r2 (ei2 ei2 )
或： d r12 r22 2r1r2 cos2
（2-18）
将式（2—17）分解为实部和虚部，得：
机构的运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸 的条件下，在原动件的运动规律给定时，确定从动件 任一运动变量的变化规律。
运动分析包括：位置分析，速度和加速度分析。 其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级 机构才能列出输出变量和输入变量的显函数表达式， 而其他情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。
（2-5）
（2-6） （2-7）
sin( ) sin cos cos sin （2-8）
5）复数矢量的微分
设矢量 r rei ，表示某一点相对于固定参考系坐标
原点的位置，则一阶导数：
dr d (rei ) dt dt
rei r(ei i) rei ri ei
（2-9）
等式右边可看作二个复数矢量 rei 、 riei 其中 r、 r
(1) 位置分析
对B点可列两个独立位置方程：
rB r2 r3 a ib jc r4
r2 (ei2 sin 2 j cos2 ) r3 (ei3 sin 3 j cos3 )
a ib jc r4 (ei4 sin 4 j cos4 )
（2-37）
2 90 ，4 0 代入得：
r2 (ei90 sin 2 j cos2 ) r3 (ei3 sin 3 j cos3 )
a ib jc r4 (sin4 j cos4 )
3
B r4 cos4 r3 sin3 r4 sin4
1 Acos4 B sin4 r3 sin(3 4 )
r3 cos3 r4 cos4
4
1 r4
Acos3 B sin3 sin(3 4 )
2、偏置曲柄滑块机构
？ ？
列出B点的独立位置方程，再由位置方程一次、二次微
分得速度。加速度方程。通过分离实数分量和虚数分量的方
r2 cos2 r1 d cosd
r2 sin2 d sind
由此解得：
s in d
r2 d
s in 2
c os d
r1
r2 cos2
d所Biblioteka ：tan dr2 sin 2 r1 r2 cos 2
（2-19）
由式（2—17）计算θd，很容易判别θd的象限， 当矢量 d 可确定后，由于：
2）向量 a与虚数单位i的乘积：
（2-2）
iaei
a(i cos
sin ) acos(
) i sin(
2
2
)
i( )
ae 2
a 相当于矢量 转过900。
（2-3）
同理：i(iaei ) a( cos isim ) acos( ) i sin( )
aei( ) aei
分别为它们的矢量大小（模）， ei、 iei 为单位方向矢。
二阶导数：d 2 dt 2
(rei )
rei
r(ei
i) (r r)iei
r(iei i)
(r r2 )ei (r 2r)iei （2-10）
继续求导可求出高阶导数。
三、空间矢量的复数表示
则矢量取坐a标可系写O成—：RIJ，矢量 a如图，R为实轴，I、J为虚轴，
4
r22 cos(2
r4
4)
（3）对位置方程二次微分得加速度方程：
r22iei2 r222ei2 (r4 r442 )ei4 (2r44 r44 )iei4
两边同乘 e i4 得：
（2-32）
r22iei(2 4 )
r2
e2 i(2 4 ) 2
(r4 r442 ) (2r44 r44 )i
因此得：
r4 r22 sin(2 4 ) r222 cos(2 4 ) r442 （2-36）
二、空间机构的运动分析
如图所示RSSR机构，
？
？
杆2在I—J平面旋转，杆4
在平衡R—J平面旋转，
？
已知：
r2 127 mm ， r4 203mm
a 102mm ，b 406mm
c
102mm
2 、 2 ，求不同位置的 4 、4 、4及r4 、 r4 、 r4
（1）位置分析
独立位置方程为：
？
r2ei2 ir1 r4ei4
（2-27）
分成实数分量和虚数分量：
r2 cos2 r4 cos4
r2 sin2 r1 r4 sin4
两式相除得：
4
arctan
r2 sin 2 r1 r2 cos 2
如图铰链四杆机构，假设量各d。杆长度为r1、r2、r3、r4输
入角θ2
已知，可列出独立位置2方）利程用：矢量d和r4求出矢量r3，解出θ3
rB r2ei2 r3e i和3 θ4 。r1 r4ei4
（2-16）
位置分析的目的是求出θ3和θ4的值。
首先确定对角线d 的长度：
r2ei2 deid r1 （2-17）
法最终求出未知量：
rB
r2ei2
r3ei3
x ib
rB r2 (2iei2 ) r3(3iei3 ) x
rB (r222ei2 r22iei2 ) (r332ei3 r33iei3 ) x
3、摆动导杆机构
？
已知：构件1和构件2 长度为 r1、r2 ，构件2（曲柄） 的角速度和角加速度为
r3ei3 deid r4ei4 消去θ4 （2-20）
移项，两边分别乘以各自的共轭复数：
(r3ei3 deid )(r3ei3 deid ) r4ei4 r4ei4
r42 r32 d 2 2r3dei(d 3 )
取（2—21）实部得：
（2-21）
r42 r32 d 2 2dr3 cos( d 3 )
a 相当于矢量 转过1800。
（2-4）
3） e i是单位矢量 ei 的共轭矢量
ei ei (cos i sin )(cos i sin ) cos2 sin 2 1
4）两个有用公式
cos ei ei
2
sin i ei ei
2 cos( ) cos cos sin sin