高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5

得证．
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3
证明：由柯西不等式知：
左边＝
ab 2＋
bc2＋
ac2×
栏
目
ba2＋
bc2＋
ac2≥
链 接
ab×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a c
2＝
(1＋1＋1)2＝9.
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4
∴原不等式成立．
已知 a1，a2…，an 都是实数．
求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)．
栏
目
分析：与柯西不等式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结 链
接
构，因此可用柯西不等式来证明．
证明：根据柯西不等式，有
(12＋12＋…＋12)(a12＋a22＋…＋an2)≥(1×a1＋
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5
n 个 12
栏
目
1×a2＋…＋1×an)2，所以 n(a12＋a22＋…＋a2n)≥(a源自文库＋a2＋…＋an)2. 链
接
点评：准确把握柯西不等式的结构特征，通过恰当变形，构造两组柯
西数组是运用柯西不等式的关键所在．
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6
►变式训练
1．已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：
a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
证明：由柯西不等式知：
栏
目
链
a12＋b12＋c12＋d12b12＋c12＋d12＋a12≥
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．2 一般形式的柯西不等式
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1
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栏 目 链 接
2
不等式证明
已知 a，b，c∈R＋，求证：
栏
ba＋bc＋acab＋bc＋ac≥9.
目 链 接
分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝ ab，a2＝ bc，a3＝
ac，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而
接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.①
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7
►变式训练
2．n
个正数的和与这
n
个正数的倒数和的乘积的最小值是
栏 目
链
___n_2__．
接
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8