高一寒假讲义21 三角函数图象与性质

三角函数的图象与性质

含答案

知识梳理

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，),(12π

，(π，0)，),(123

-π，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，),(02π，(π，－1)，),(02

3

π，(2π，1).

2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )

函数 y ＝sin x

y ＝cos x

y ＝tan x

图象

定义域 R R },|{2

π

π+≠∈k x R x x 且

值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数

偶函数 奇函数

递增区间 ⎣

⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2

[2k π－π，2k π] ),(2

2π

ππ

π+-

k k 递减区间 ⎣

⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]

无

对称中心 (k π，0) ),(02

π

π+

k ),(

02

πk 对称轴方程

x ＝k π＋π2

x ＝k π

无

3、求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：

(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).

4、若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则

(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π

2＋k π(k ∈Z )；

(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).

5、对称与周期

（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1

4

个周期.

（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

（3）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π

|ω|

.

6、要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.

7、对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间),(2

2π

ππ

π+-k k (k ∈Z )内为增函数.

知识典例

题型一 三角函数定义域 例 1 函数2sin 1y x =-__________．

【答案】5[,],6

6

k k k Z π

π

ππ++

∈

函数tan()4

y x π

=-的定义域是（ ）

A ．,4x x x R π

⎧⎫≠

∈⎨⎬⎩

⎭ B ．,4x x x R π

⎧

⎫≠-

∈⎨⎬⎩

⎭

C ．,,4x x k k Z x R π

π⎧

⎫

≠+∈∈⎨⎬⎩

⎭

D ．3,,4x x k k Z x R ππ⎧

⎫

≠+

∈∈⎨⎬⎩

⎭

【答案】D 【解析】

函数的解析式即：tan 4y x π⎛⎫

=-- ⎪⎝

⎭

， 函数有意义，则：()4

2

x k k Z π

π

π-≠+

∈，

解得：()34

x k k Z π

π≠+

∈， 据此可得函数4y tan x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是3,,4x x k k Z x R ππ⎧⎫

≠+∈∈⎨

⎬⎩⎭

. 本题选择D 选项.

题型二 三角函数值域

例 2 已知x ∈[－

3π，

23

π

]， （1）求函数y ＝cos x 的值域；

（2）求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4的值域． 【答案】（1）[－12，1]（2）[－13，154

]

函数()2

3s 34f x in x cosx =+-

（0,2x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

）的最大值是__________． 【答案】1 【详解】

化简三角函数的解析式， 可得()2

231

1cos 3cos cos 3cos 44

f x x x x x =-+-

=-++= 2

3(cos )1x --

+， 由[0,]2

x π∈，可得cos [0,1]x ∈，

当3

cos x =时，函数()f x 取得最大值1．

题型三 比较大小

例 3 比较下列各数的大小：sin1,sin 2,sin 3_________. 【答案】sin3sin1sin 2<<

设α，()0,βπ∈，且αβ>，则下列不等关系中一定成立的是（ ） A ．sin sin αβ< B ．sin sin αβ>

C ．cos cos αβ<

D ．cos cos αβ>

【答案】C 【分析】

根据正弦函数以及余弦函数在()0,π上的单调性求解即可. 【详解】

因为α，()0,βπ∈，且αβ>，