北师大版 九年级中考数学 圆的综合题 复习练习题

圆的综合题总结
1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC，B C.
(1)求证：BC平分∠ABE；
(2)若∠A＝60°，OA＝2，求CE的
长．
题图第1
2 A.PB·上，且C在⊙OPCP＝的延长线上，点的直径，点如图，2. (2019泸州)AB为⊙OP在AB的切线；是⊙O(1)求证：PC︵AB是10，点D＝＝(2)已知PC20，PB的长．，求于点交，，垂足为⊥的中点，DEACEDEABFEF
第2题图
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心、OA长为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，过点E作⊙O的切线EF交BC的延长线于F，交AC于点G.
(1)试判断BF和EF的大小关系并说明理由；
(2)若OA＝3，∠A＝30°，求阴影部分的面
题图第3
4.如图，AB为⊙O的直径，OE⊥BC于点E，AB⊥CD于点F.
(1)求证：AD＝2OE；
(2)若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求两阴影部分面积的
和．
4题图第
60°.CPBAPC＝∠＝OBA的半径为1，，P，，C是⊙上的四个点，∠O5.如图，⊙的形状，说明理由；请判断△ABC(1) 的面积最大？并求出最大面积．AB的什么位置时，四边形APBC位于弧当点(2)P
题图5第
6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点D在BC的延长线上，且使∠CAD＝∠B，CE⊥AD于点E.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为8，CE＝2，求CD的
长．
题图第6
7.如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是⊙O上一动点(与A，B不重合)，∠ACB的平分线交⊙O于D.
(1)判断△ABD的形状，并证明你的结论；
(2)若I是△ABC的内心，当点C运动时，CI、DI中是否存在长度保持不变的线段？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理
由．
7题图第
DO的中点，连接是ABBC＝2，点D，是直径，∠是△8.如图，已知⊙OABC的外接圆，ACA＝30°.AC于点F作于点并延长交⊙OP，过点PPF⊥；(的长结果保留π)PC(1)求劣弧．π)结果保留(求阴影部分的面积
(2)．
题图第8
参考答案O的切线，1. (1)证明：∵CD是∵DE，∵OC∵，BE又∵∵DE，
∵OC∵BE，∵∵OCB＝∵CBE∵OB＝OC，∵∵OCB＝∵OBC，∵∵，∵CBEOBC＝ABE；平分即BC∵，A解：∵∵＝60°(2) 2.＝OA＝AC∵∵OAC是等边三角形，OA＝4.＝∵AB2 O的直径，为∵AB∵，90°∵∵ACB＝22AB＝∵BC－AC24＝16－＝3.1 ，∵30°，且OBC＝∵CBEAOC ∵∵OBC＝∵＝2 ∵∵CBE＝30°.1 ＝BC3.＝CE∵2 ：如解图，连接OC，2. (1)证明PCPA2PC∵＝PB·PA，即＝，PBPC．
∵＝P，又∵P∵∵PCA.∵∵PBC PAC.∵∵PCB＝∵∵O的直径，∵AB是ACB＝90°.∵∵＝90°.＋∵∵A∵ABC OB，∵OC＝OCB.∵∵OBC＝∵PC.90°，即OC∵∵∵PCB＋∵OCB＝的半径，OC是∵O∵的切线；PC是∵O∵
第2题解图2PC10，PC＝20，PB＝∵(2)解：如解图，连接OD，A，＝PB·P2PC＝PA∵40.＝PB 30.∵AB＝，∵∵PBC∵∵PCAAACP∵＝＝2.PCBC x，，则BC＝xAC＝2设
222 56BC＝65，即＝，x)(2中，Rt∵在ABCx＋x＝30，解得︵AB为∵点D的直径，O∵为AB的中点，
90°.∵∵AOD＝，DE∵AC∵90°.∵∵AEF＝，＝90°ACB又∵.∵BC∵DE .∵ABC∵∵DFO ＝.∵∵ACB∵∵DOF1BCOF∵＝＝，2ODAC15115 ＝.∵OF＝OD＝，即AF 222 BC，∵EF∵1EFAF∵，＝＝4ABBC531＝.BC∵EF＝423. 解：(1)BF＝EF，
理由如下：如解图，连接OE，
∵EF是∵O的切线，
∵∵OEG＝90°，
∵∵OEA＋∵BEF＝90°，
∵∵ACB＝90°，
∵∵A＋∵B＝90°，
∵OA＝OE，
∵∵A＝∵OEA，
，B∵＝BEF∵∵．
；∵BF＝EF
第3题解图A＝60°，(2)由圆周角定理得，∵EOD＝2∵33，∵EG＝OE·tan∵EOD＝2π93×3160π3 －.S＝S－＝×3×33∵S－＝EOD∵EOG扇形阴影236022 ，：如解图，连接AC4. (1)证明，∵CD∵AB︵︵AC∵AD，＝AD，∵AC＝BC，∵OE∵的中点，E为BC∵的中点，为ABO∵ABC的中位线，为∵OE∵1 ，OE∵＝AC21 AD，∵OE＝2＝2OEAD即；
题解图第41122×2π(2)解：S＝π·OB＝π，＝2半圆22 O直径，∵AB为∵90°，∵∵ACB ＝4，ABC＝30°，AB＝∵∵11 ，＝AB＝×4＝2∵AC222AC＝BC 3＝＝，2
30°tan∵tanABC11 3×2×23＝，2S＝AC·BC＝ABC∵22 ，∵CD∵AB AC的面积，弓形∵AD的面积＝弓形23. 2π－＝∵S＝S－S ABC∵半圆阴影5. 解：(1)∵ABC是等边三角形．理由如下：
在∵O中，∵∵BAC与∵CPB是弧BC所对的圆周角，∵ABC与∵APC是弧AC所对的圆周角，∵∵BAC＝∵CPB，∵ABC＝∵APC，
又∵∵APC＝∵CPB＝60°，
∵∵ABC＝∵BAC＝60°，
∵∵ABC为等边三角形；
(2)当点P为弧AB的中点时，四边形APBC的面积最大．
如解图，过点P作PE∵AB，垂足为E，过点C作CF∵AB，垂足为F.
1∵S＝AB·PE，APB∵2．
1 ，S＝AB·CF ABC∵21 ，PE＋CF)S∵＝AB·(APBC四边形
2 为∵O的直径，的中点时，PE＋CF ＝PC，PCAB当点P为弧∵此时四边形APBC的面积最大．的半径为1，又∵∵O，＝3∵其
内接正三角形的边长AB1 33.＝∵S＝×2×APBC四边形2
题解图第5 .如解图，连接OA6. (1)证明：
6题解图第的直径，BC为∵O∵，BAC＝90°∵∵＝90°，＋∵∵B∵ACB OC，OA∵＝，∵∵∵OAC＝OCA B＝∵，∵∵CAD，90°＝OAD∵，即90°＝OCA∵＋B∵＝OAC∵＋CAD∵∵．，OA∵AD∵的半径，∵O又∵OA是的切线；∵O∵AD是，∵AD(2)解：∵CE，＝90°CED ＝∵OAD∵∵OA，∵CE∵OAD，∵∵CED∵∵CECD∵＝，OAOD 8，＝x＋设CD＝x，则OD82x∵，，解得x＝＝838x＋8 .CD＝∵ 3 是等腰直角三角形．理由如下：(1)∵ABD7. 解：O的直径，∵AB是∵90°，∵∵ADB＝，平分∵ACBCD∵︵︵AD∵，＝BD BD，＝∵AD ABD是等腰直角三角形；∵∵52DI＝(2)DI的长度不变，且如解图，连接BI，∵I是∵ABC的内心，
，∵5＝∵∵4．
︵︵AD由(1)可知∵＝BD，∵2，∵∵1＝BCI的外角，∵∵3是∵∵5，∵4＝∵2＋＋∵∵3＝∵1 BD是定值，∵DI＝中，ABD在等腰直角∵，，AB＝10∵AD＝BD 2BD＝，5∵52. ＝BD ＝即DI
题解图7第经过圆心，AB的中点，PD8. 解：(1)∵点D是，PD∵AB∵，＝30°∵∵A OD，，OA＝260°∵∵POC＝∵AOD＝BD，，AD＝∵OA＝OC，＝2OD∵BC，＝2∵OA＝BC 2，∵∵O 的半径为︵260lπ；PCπ×2×2＝＝3360 ，F于点AC∵PF(2)∵．
∵∵OFP是直角三角形，1 ，＝OP＝∵OFOP·cos∵POF 2 1，∵OF＝22OP∵PF＝3－OF，＝23260π×21.－＝×1×＝3－S＝S∵Sπ－OPFCOP∵扇形阴影232360．。