平面向量知识点总结

平面向量知识点小结

一、向量的基本概念

1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.

举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)

2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是||

AB AB ±

）；

4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.

6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.

举例2 如下列命题：（1）若||||a b =，则a b =.

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =. （5）若a b =，b c =，则a c =.

（6）若//a b ，//b c 则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5）

二、向量的表示方法

1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；

3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)x y 为向量a 的坐标，(,)a x y =叫做向量a 的坐标表示.

结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理

定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.

（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成. （3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）若(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c = . 结果：1

322

a b -. （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B

A.1(0,0)e =，2(1,2)e =-

B.1(1,2)e =-，2(5,7)e =

C.1(3,5)e =，2(6,10)e =

D.1(2,3)e =-，213,2

4e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

（3）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：

2433

a b +. （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.

四、实数与向量的积

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下： （1）模：||||||a a λλ=⋅；

（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相

反，当0λ=时，0a λ=，

注意：0a λ≠.

五、平面向量的数量积

1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.

当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2

π

θ=

时，a ，b 垂直. 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ

叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.

规定：零向量与任一向量的数量积是0.

注：数量积是一个实数，不再是一个向量.

举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-.

（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，10,2b ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭

，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4

π，则k = ____. 结果：1.

（3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____. 结果：23.

（4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30.

3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.

举例5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：

12

5

. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=；

（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=；

||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；

当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件； 当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件； 当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件. （3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||

a b a b θ⋅=

；④||||a b a b ⋅≤.

举例6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43

λ<-或0λ>且13

λ≠；

（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若

12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

； （3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）. ①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小. 结果：①21

(0)4k a b k k +⋅=

>；②最小值为12

，60θ=.

六、向量的运算

1.几何运算 （1）向量加法

运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.

运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=； 作图：略.

注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.