固体物理学习题答案朱建国版

固体物理学习题答案朱

建国版

Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

《固体物理学》习题参考

第一章

有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：

对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f

=

2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b

那么，

Rf Rb

=3 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？

答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面

族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，正方 a=b 六方 a=b 矩形 a ≠b 带心矩形 a=b

平行四边形

第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明

设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此

123o o o a n hd

a n kd a n id

=== ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为

（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)

如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：

6

π

（2

）体心立方：8（3

）面心立方：6（4

）六方密堆积：

6（5

）金刚石：

16

。 答：令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有： 边长为a 的立方晶胞中堆积比率为

假设硬球的半径都为r ，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r ，那么：

θ= 33

4/3(2)

r r π= 6π （2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r

，则其边长为

，那么： θ=

3

（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r

，则其边长为，那么：

θ=

3

= 6 （4）对于六方密堆积

一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r ，因此

θ

=34

2()

r π⨯

（5）对于金刚石结构

Z=8 8r =

那么33344*833r F Z a ππ==⨯⨯

.

有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位）a=3i ，b=3j ，c=（i+j+k ），此处i ，j ，k 为笛卡儿坐标系中x ，y ，z 方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？ （2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？

答：（1）因为a=3i ，b=3j ，而c=（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c ′）式中c ′

=3c 。显然，a 、b 、c ′构成一个边长为3*10-10m 的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。 （2）晶胞的体积= c (a b)'⨯= 3k (3i 3j)⨯=27*10-30(m 3)

原胞的体积=c (a b)⨯=1

(333)(33)2

i j k i j +++=*10-30(m 3)

六方晶胞的基失为：2a a ai j =

+，2

a b j =+，c ck = 求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：

正格子的体积Ω=a·（b*c ）2

c 那么，倒格子的基矢为

12()b c b π⨯=

Ω2j a π=+ ，22()

c a b π⨯=Ω2j a π=+ ，

32()a b b π⨯=

Ω

2k c π

= 其第一布里渊区如图所示：

若基失a ，b ，c 构成正交晶系，求证：晶面族（hkl ）的面间距为

答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl ）中距原点最近平面在三个晶轴a 1，a 2，a 3上的截距分别为

1a h ，2a

k ，3a l

。该平面（ABC ）法线方向的单位矢量是 这里d 是原点到平面ABC 的垂直距离，即面间距。 由|n|=1得到

故1

2222123

[()()()]h k l d a a a -=++

用波长为的X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下