地球重力场PPT课件
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，此功必等于位能 的减少：
地球重力场及地球形状的基本理论
对上式积分，则得离心力位能：
Q d Q m 2d 1 m 22 1 m 2 ( x 2 y 2 )
2
2
离心力位或位函数 ： 取质点m的质量为单位质量则有：
Q12(x2y2)
2
此函数则为质点M的离心力位或位函数，由于为标量，去掉负号
S
质 体 引 力 位
x
z
m 1
r
(x, y, z)
dm (,, )
y o
质体(M)
地球重力场及地球形状的基本理论
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q(x, y, z)
离
离心力：
P
2
心 力
位
离心力位： Q(x, y, z) 2 (x2 y2 )
引言
自然表面
地球重力场及地球形状的基本理论
地球形状 大地水准面
大小
参考椭球面
正常椭球面
地 轴
地心
大小
ω fM
地球重力场及地球形状的基本理论
引力F
❖M为地球质量， ❖m为质点质量，
F f
Mm r2
❖f为万有引力常数，
❖r为质点到地心的距离。
z ω
ρ
F
P
r
o
y
x
离心力
Pm2 为地球自转速度 28616.04957.292111505rad•s1 为质点所在平行圈半径
S
质 点 引 力 位
x
z
m 1
r
m
( ,, )
o
(x, y, z) y
引力位
地球重力场及地球形状的基本理论
①质点M的引力位
对于质量为M的球体表面附近一点m，其引力
为：
F f
Mm r2
若两质点间的距离
在力的方向有一个微分
变量dr，则必做功：
dAf Mmdr r2
用V表示引力位能，
此功必等于位能的 减少：
2
验证：
Q x
Px ,
Q y
Py ,
Q z
0
x
z
x2 y2
m (x, y, z)
y o
地球重力场及地球形状的基本理论
z
离心力位
ω
①质点M的离心力位
m绕M旋转所受离心力：
ρ
F
P
r
P m2
o
y
(x2 y 2 )
x
若两质点间的距离
在力的方向有一个微分
变量dr，则必做功：
dAm2d
用Q表示离心力位能
地球重力场及地球形状的基本理论
位函数 ①位函数：通俗地讲，即在
一个参考坐标系中，位函数表示 被作用点的位能大小。
借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。
②位函数的性质
位函是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行 积分。
V＝V＋Q+…
其对三个坐标方向的一阶导数的数值等于作用力在该方向 上的分力大小。
VfM r
地球重力场及地球形状的基本理论
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位V (x, y, z)
质体引力：
F
f
(M
)
dm r2
r r
质体引力位：V (x, y, z) f dm (M) r
验证：
V
F cos(F, S )
地球重力场及地球形状的基本理论
3.1.地球重力场
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位 V (x, y, z)
质点引力：
F
fm r
r2 r
质点引力位： V (x, y, z) fm r
验证：
V
F
cos(F, S )
地球重力场及地球形状的基本理论
对上式积分，则得位能：
VdV f
M r2 dmrf
M r
m
引力位或位函数 ： 取质点m的质量为单位质量则有：
V f M r
此函数则为质点M的引力位或引力位函数
地球重力场及地球形状的基本理论
②地球的引力位函数
地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分
体，则（有dmi）位函数（dVi）之和，对整个地球而言
V dVf dm
M
M
z
(X，y，z) S
(Xm,ym,zm)
dm
Rψ
ρ
r S0
o
φm φ
λm λ
x
Se
y
地球重力场及地球形状的基本理论
③引力位函数的偏导数与引力、加速度
根据牛顿力学第二定律
Fmaf
Mm r2
M dV
af
r2
gradV dr
上式表明：
引力位梯度在数值上等于单位质点受r处质体M吸引而形成的加速度 值，单位质点所受引力在数值上就等于加速度。
地球重力场及地球形状的基本理论
②离心力位函数的另一种推导
x rcoscos, y rcossin,z rsin
对 时 间 求 导: 数
x rcossin y rcoscos ,
x 2x
y
2
y
z 0
z 0
上式表明： 坐标对时间的二阶导数就是
单位质点的离心加速度。
z
ω (X，y，z)
③、离心力位函数的特性：
（1）、其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量 的负值。
（2）、其二阶导数为布阿桑算子
2Q x 2
2
2Q y 2
若设加速度的模a：
a ax2ay2az2
(a,x),(a,y),(a,z)为a与各坐标轴之间的夹角，则
ax =acos(a,x), ay=acos(a,y), az=acos(a,z)
地球重力场及地球形状的基本理论
④引力位的物理意义
引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。
Q
AdVVQ0VQ
Q0
此定理可扩展至三维坐标系中
地球重力场及地球形状的基本理论
空间直角坐标系中，引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐 标轴上的加速度(或引力)向量的负值：
ax
V x
,ay
ຫໍສະໝຸດ Baidu y
, az
V z
r 2 x xm 2 y ym 2 z zm 2
式中x, y, z为被吸引点坐;标
xm , ym , zm为吸引点坐标
S
离心加速度即向心加速度， 指向圆心。但此处与前一种 推导方法相差一个负号
r
S
y
o
φ
z
λ
S
x
e
x
y
地球重力场及地球形状的基本理论
由加速度求离心力位：
离心力位Q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向量的负值。
Q
x Q
y
2x
x
2y
y
Q 0
z
故离心力位公式：
Q 2（x2 y2）
2
地球重力场及地球形状的基本理论
在某一位置处，质点的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点所做功。 （假设无穷远处V=0）
Q
Q0
F
m
M
r
r
A Fdr
fM r2
d
r
fM r
0V AV A fM r
地球重力场及地球形状的基本理论
⑤引力位符号的习惯用法 地球物理： V f M
r
大地测量学：由于位函数是一个标量，符号正负不 影响计算。故
地球重力场及地球形状的基本理论
对上式积分，则得离心力位能：
Q d Q m 2d 1 m 22 1 m 2 ( x 2 y 2 )
2
2
离心力位或位函数 ： 取质点m的质量为单位质量则有：
Q12(x2y2)
2
此函数则为质点M的离心力位或位函数，由于为标量，去掉负号
S
质 体 引 力 位
x
z
m 1
r
(x, y, z)
dm (,, )
y o
质体(M)
地球重力场及地球形状的基本理论
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q(x, y, z)
离
离心力：
P
2
心 力
位
离心力位： Q(x, y, z) 2 (x2 y2 )
引言
自然表面
地球重力场及地球形状的基本理论
地球形状 大地水准面
大小
参考椭球面
正常椭球面
地 轴
地心
大小
ω fM
地球重力场及地球形状的基本理论
引力F
❖M为地球质量， ❖m为质点质量，
F f
Mm r2
❖f为万有引力常数，
❖r为质点到地心的距离。
z ω
ρ
F
P
r
o
y
x
离心力
Pm2 为地球自转速度 28616.04957.292111505rad•s1 为质点所在平行圈半径
S
质 点 引 力 位
x
z
m 1
r
m
( ,, )
o
(x, y, z) y
引力位
地球重力场及地球形状的基本理论
①质点M的引力位
对于质量为M的球体表面附近一点m，其引力
为：
F f
Mm r2
若两质点间的距离
在力的方向有一个微分
变量dr，则必做功：
dAf Mmdr r2
用V表示引力位能，
此功必等于位能的 减少：
2
验证：
Q x
Px ,
Q y
Py ,
Q z
0
x
z
x2 y2
m (x, y, z)
y o
地球重力场及地球形状的基本理论
z
离心力位
ω
①质点M的离心力位
m绕M旋转所受离心力：
ρ
F
P
r
P m2
o
y
(x2 y 2 )
x
若两质点间的距离
在力的方向有一个微分
变量dr，则必做功：
dAm2d
用Q表示离心力位能
地球重力场及地球形状的基本理论
位函数 ①位函数：通俗地讲，即在
一个参考坐标系中，位函数表示 被作用点的位能大小。
借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。
②位函数的性质
位函是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行 积分。
V＝V＋Q+…
其对三个坐标方向的一阶导数的数值等于作用力在该方向 上的分力大小。
VfM r
地球重力场及地球形状的基本理论
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位V (x, y, z)
质体引力：
F
f
(M
)
dm r2
r r
质体引力位：V (x, y, z) f dm (M) r
验证：
V
F cos(F, S )
地球重力场及地球形状的基本理论
3.1.地球重力场
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位 V (x, y, z)
质点引力：
F
fm r
r2 r
质点引力位： V (x, y, z) fm r
验证：
V
F
cos(F, S )
地球重力场及地球形状的基本理论
对上式积分，则得位能：
VdV f
M r2 dmrf
M r
m
引力位或位函数 ： 取质点m的质量为单位质量则有：
V f M r
此函数则为质点M的引力位或引力位函数
地球重力场及地球形状的基本理论
②地球的引力位函数
地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分
体，则（有dmi）位函数（dVi）之和，对整个地球而言
V dVf dm
M
M
z
(X，y，z) S
(Xm,ym,zm)
dm
Rψ
ρ
r S0
o
φm φ
λm λ
x
Se
y
地球重力场及地球形状的基本理论
③引力位函数的偏导数与引力、加速度
根据牛顿力学第二定律
Fmaf
Mm r2
M dV
af
r2
gradV dr
上式表明：
引力位梯度在数值上等于单位质点受r处质体M吸引而形成的加速度 值，单位质点所受引力在数值上就等于加速度。
地球重力场及地球形状的基本理论
②离心力位函数的另一种推导
x rcoscos, y rcossin,z rsin
对 时 间 求 导: 数
x rcossin y rcoscos ,
x 2x
y
2
y
z 0
z 0
上式表明： 坐标对时间的二阶导数就是
单位质点的离心加速度。
z
ω (X，y，z)
③、离心力位函数的特性：
（1）、其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量 的负值。
（2）、其二阶导数为布阿桑算子
2Q x 2
2
2Q y 2
若设加速度的模a：
a ax2ay2az2
(a,x),(a,y),(a,z)为a与各坐标轴之间的夹角，则
ax =acos(a,x), ay=acos(a,y), az=acos(a,z)
地球重力场及地球形状的基本理论
④引力位的物理意义
引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。
Q
AdVVQ0VQ
Q0
此定理可扩展至三维坐标系中
地球重力场及地球形状的基本理论
空间直角坐标系中，引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐 标轴上的加速度(或引力)向量的负值：
ax
V x
,ay
ຫໍສະໝຸດ Baidu y
, az
V z
r 2 x xm 2 y ym 2 z zm 2
式中x, y, z为被吸引点坐;标
xm , ym , zm为吸引点坐标
S
离心加速度即向心加速度， 指向圆心。但此处与前一种 推导方法相差一个负号
r
S
y
o
φ
z
λ
S
x
e
x
y
地球重力场及地球形状的基本理论
由加速度求离心力位：
离心力位Q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向量的负值。
Q
x Q
y
2x
x
2y
y
Q 0
z
故离心力位公式：
Q 2（x2 y2）
2
地球重力场及地球形状的基本理论
在某一位置处，质点的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点所做功。 （假设无穷远处V=0）
Q
Q0
F
m
M
r
r
A Fdr
fM r2
d
r
fM r
0V AV A fM r
地球重力场及地球形状的基本理论
⑤引力位符号的习惯用法 地球物理： V f M
r
大地测量学：由于位函数是一个标量，符号正负不 影响计算。故