第一课微元法求面积

dv y 2dx ( r x)2 dx
h
y dx
r
ox
Bx
h
C
v
h

(
r
x)2
dx

r 2
h x2dx r 2 x3 h 1 r 2h
0h
h2 0
3h2 0 3
第十二讲 运用微元法求体积
二 运用微元法求旋转体体积 2、 求椭球的体积。
例2 计算由
所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体积。
图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 。
y
解 选 x 为积分变量，
旋转体的体积为
dV 2 (2 x)d x ( 2x x2 x)
o x 1 2x
V 12（2 - x)( 2x x2 x)dx (3 4)
0
6
若选 y 为积分变量, 则
角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 。
解: 如图所示取坐标系为,则圆的方程
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
dV 2 1 (R2 x2 ) tan dx
2
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan dx
dA= f(x) dx≈⊿A
3) 无限求和。消除误差。
b
b
a dA a f (x)dx
y oa
f (x)
dA
dx
x x dx
第十二讲 运用微元法求体积
二 运用微元法求旋转体体积
1、 求圆锥体体积。
例1 证明：底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为
V 1 r2h.
3
y
dv A
证明 OA : y r x. h
y
y f (x)
oo aa x bb xx
o ax b x
第十二讲 运用微元法求体积
二 运用微元法求旋转体体积
当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有
dV [( y)]2 dy
V d [( y)]2 dy c
y
d y x (y) c
ox
第十二讲 运用微元法求体积
第十二讲 运用微元法求面积
一 复习微元法 二 运用微元法求旋转体体积 三 运用微元法计算已知截面积函数的物
体体积
第十二讲 运用微元法求体积
一 复习微元法
1) 分割。将[a ,b]分成n个闭子区间，为无限求和做准备。
2) 近似估值(以直代曲)。任取 一个闭子区间[x , x+dx]，在[x , x+dx] 上取左端点x的函数值f(x)代替小曲 边梯形上的其它值。则
02

2
tan
R2 x

1 3
x3

R 0
y

ox
R
x
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第十二讲 运用微元法求体积
三、运用微元法计算已知截面积函数的物体体积
例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,与底面交成
角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 。
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ?
提示:
A( y) 2x y tan
o
2 tan y R2 y2
V 2 tan Ry R2 y2 dy 0
y

yx
(x, y)
R
x
三、运用微元法计算已知截面积函数的物体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x
因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A(x)
ax
bx
第十二讲 运用微元法求体积
三、运用微元法计算已知截面积函数的物体体积
例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,与底面交成
解: 利用直角坐标方程得
则 dV y 2dx b2 (a2 x2 )dx
a2
V 2 b2
a
(a
2

x2 ) dx
a2 0

2
b2 a2
a2 x

1 3
a
x
3

0

4 ab2
3
y b
y
o xLeabharlann Baiduax
dx
第十二讲 运用微元法求体积
二 运用微元法求旋转体体积
例3 设平面图形 A 由 x2 y2 2x 与 y x 所确定 , 求
V


1 0

2

(1

1 y2 ) 2dy 1 (2 y)2 dy 0
第十二讲 运用微元法求体积
二 运用微元法求旋转体体积 特别，当考虑连续曲线段
绕x轴旋转一周围成的立体体积时, dV [ f (x)]2 dx
V b [ f (x)]2 dx a
yy
y f (x)