p13_7相对论能量和动量的关系

由此得 mv来自百度文库dv = (c2– v2)dm
A=∫
m 2 2 2 m = m0
代入功的公式得
m m = m0
[v dm + (c − v )dm] = ∫
c 2 dm = mc 2 − m0 c 2
根据质点的动能定理：合外力所做的功等于动能的增量。 根据质点的动能定理：合外力所做的功等于动能的增量。 在相对论中物体的动能为 物体静止时动能为零， 物体静止时动能为零， m0 c 2 故合外力所做的功全部 − m0 c 2 . T = mc2 - m0c2 = 1 − v2 / c2 转化为物体的动能。 转化为物体的动能。
{范例 范例13.7} 相对论能量和动量的关系 范例
试推导相对动能和能量公式以及动量公式。 试推导相对动能和能量公式以及动量公式。 m0 E0 = m0c2， E = mc2， m = 1 − v2 / c2 利用质-速关系可得 利用质 速关系可得 2 2 m0 v 2 c 2 m0 c 4 2 2 2 4 = = m2v 2c 2 = p 2c 2 E − E0 = − m0 c 2 2 1 − v2 / c2 1− v / c 即E2 = p2c2 + m02c4， 这就是相对论中的能量 动量关系。 这就是相对论中的能量-动量关系 动量关系。 能量和动量是双曲线的关系。 能量和动量是双曲线的关系。 如果某种粒子静止质量为零， 如果某种粒子静止质量为零，即m0 = 0，则得 = pc， ，则得E ， 比较公式E 可得p 比较公式 = mc2，可得 = mc， 该粒子速度就是光速。 ， 该粒子速度就是光速。 光可当作一种静止质量为零的粒子流，对应的粒子称为光子。 光可当作一种静止质量为零的粒子流，对应的粒子称为光子。
v v d(mv ) A = ∫ F ⋅ dr = ∫ ⋅ dr = ∫ v ⋅ d(mv ) = ∫ (v 2 dm + mv ⋅ dv ) v =0 v =0 v =0 v =0 dt
v v
m0 m v ⋅ dv mv ⋅ dv 对质-速关系 对质 速关系 dm = d[ ] = 2 0 2 2 3/ 2 = 2 (1 − v ⋅ v / c 2 )1/ 2 c (1 − v / c ) c (1 − v 2 / c 2 ) 求微分得
{范例 范例13.7} 相对论能量和动量的关系 范例
试推导相对动能和能量公式以及动量公式。 试推导相对动能和能量公式以及动量公式。 T = mc2 - m0c2 =
m0 c 2 1 − v2 / c2 − m0 c 2
当v << c时，根据公式 + x)n≈ 1 + nx，运动物体的质量为 时 根据公式(1 ， 1 m0 v 2 −1/ 2 v2 m= = m0 (1 − 2 ) ≈ m0 (1 + 2 ) T ≈ m0 v 2 因此 c 2c 1 − v2 / c2 2 可见：在低速情况下，相对论力学过渡到经典力学。 可见：在低速情况下，相对论力学过渡到经典力学。 m0是物体的静止质量，m是物体的运动质量。 是物体的静止质量， 是物体的运动质量 是物体的运动质量。 物体的静止能量为E 物体的静止能量为 0 = m0c2， 能量守恒必然导致质量 守恒，反之， 守恒，反之，质量守恒 也将导致能量守恒。 也将导致能量守恒。 物体的总能量为 E = mc2， 在相对论中， 在相对论中，质量守恒 和能量守恒是统一的， 和能量守恒是统一的， 能量蕴含在质量之中。 能量蕴含在质量之中。 这就是质-能方程 是相对论独有的 没有经典项对应。 这就是质 能方程,是相对论独有的，没有经典项对应。 能方程 是相对论独有的，
{范例 范例13.7} 相对论能量和动量的关系 范例
试推导相对动能和能量公式以及动量公式。 试推导相对动能和能量公式以及动量公式。 [解析 在合外力 的作用下，静止质量为 0 解析]在合外力 的作用下，静止质量为m 解析 在合外力F的作用下 的物体，速度由零变为v， 的物体，速度由零变为 ，合外力做的功为
物体能量随速度的变化的曲线与质 量随速度的变化的曲线是相同的。 量随速度的变化的曲线是相同的。
当物体的静止质量不为零时， 当物体的静止质量不为零时，能 量随动量按双曲线的规律变化； 量随动量按双曲线的规律变化；
当物体的静止质量为零时， 当物体的静止质量为零时， 能量随动量直线变化。 能量随动量直线变化。