组合数学第四版卢开澄标准答案-第三章

第三章

3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通

过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。

[解].令：A 1={通过中文考试的学生}

A 2={通过英语考试的学生}

A 3={通过数学考试的学生}

于是 |Z| =100，|A 1|=92，|A 2|=75，|A 3|=65

|A 1∩A 2|=65，|A 1∩A 3|=54，|A 2∩A 3|=45

此题没有给出：

有多少人通过三门中至少一门；

有多少人一门都没通过。

但是由 max{ |A 1|,|A 2|,|A 3| }=max{92,75,65}=92

故可以认为：

至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A 1∪A 2∪A 3|≥92

至多有8人没通过一门考试，即0≤|1A ∩2A ∩3A | ≤8

于是，根据容斥原理，有

|A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)-(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3|

即 |A 1∩A 2∩A 3|=|A 1∪A 2∪A 3|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)

=|A 1∪A 2∪A 3|-(92+75+65)+(65+54+45)

=|A 1∪A 2∪A 3|-232+164

=|A 1∪A 2∪A 3|-68

从而由 92-68≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤100-68

即 24≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤32

可得 24≤|A 1∩A 2∩A 3| ≤32

故此，通过3门学科考试的学生数在24到32人之间。

也可用容斥原理，即

|1A ∩2A ∩3A |=|Z|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)-|A 1∩A 2∩A 3|

=100-(92+75+65)+(65+54+45)-|A 1∩A 2∩A 3|

=100-232+164-|A 1∩A 2∩A 3|

=32－|A 1∩A 2∩A 3|

从而有 |A 1∩A 2∩A 3|=32-|1A ∩2A ∩3A |

由已知 0≤|1A ∩2A ∩3A |≤8，可得

24≤|A 1∩A 2∩A 3|≤32

故此，通过3门学科考试的学生数在24到32之间。

3.13.试证：(a)|A ∩B|=|B|-|A∩B|

(b)|A ∩B ∩C|=|C|-|A∩C|-|B∩C|+|(A∩B∩C )|

[证].(a)B =B∩Z (因为B ⊆Z)

= B∩(A ∪A ) (零壹律:且有互补律Z=A ∪A )

=(B∩A )∪(B∩A ) (分配律)

=(A∩B )∪(A ∩B ) (交换律)

另外 (A∩B )∩(A ∩B )

= (A∩A )∩B (结合律，交换律，幂等律)

=∅∩B (互补律A∩A =∅)

=∅ (零壹律)

所以 |B|=|A∩B|+|A ∩B|

因此 |A ∩B|=|B|-|A∩B| (b)|A ∩B ∩C|=|B A ⋃∩C| (de Morgan 律)

=|C|-|(A ∪B)∩C| (根据(a)，令A 1=A ∪B)

=|C|-|(A∩C )∪(B∩C )| (分配律)

=|C|-(|A∩C|+|B∩C|-|(A∩C )∩(B∩C )|)

=|C|-|A∩C|-|B∩C|+|(A∩C )∩(B∩C )|

=|C|-|A∩C|-|B∩C|+|(A∩B∩C )| (结合律，交换律，幂等律)

3.1

4. N={1,2,…,1000}，求其中不被5和7除尽，但被3除尽的数的数目。

[解].定义： P 1(x ):3|x A 1={x |x ∈N ∧P 1(x )}

P 2(x ):5|x A 2={x |x ∈N ∧P 2(x )}

P 3(x ):7|x A 3={x |x ∈N ∧P 3(x )}

|A 1| =⎣1000/3⎦=333 |A 1∩A 2|=⎣1000/(3×5)⎦=66

|A 1∩A 3|=⎣1000/(3×7)⎦=47 |A 1∩A 2∩A 3|=⎣1000/(3×5×7)⎦=9

因此 |A 1∩2A ∩3A |=|A 1|-|A 1∩A 2|-|A 1∩A 3|+|A 1∩A 2∩A 3|

=333-66-47+9

=229

因此 ，在1～1000中能被3整除，同时不能被5和7整除的数有229个。

3.15. N={1,2,⋯,120}，求其中被2,3,5,7,m 个数除尽的数的数目，m =0,1,2,3,4 。求不超过120

的素数的数目。

[解].定义 P 1(x ):2|x A 1={x |x ∈N ∩P 1(x )}

P 2(x ):3|x A 2={x |x ∈N ∩P 2(x )}

P 3(x ):5|x A 3={x |x ∈N ∩P 3(x )}

P 4(x ):7|x A 4={x |x ∈N ∩P 4(x )}

|A 1|=⌊120/2⌋=60 |A 2|=⌊120/3⌋=40 |A 3|=⌊120/5⌋=24 |A 4|=⌊120/7⌋=17 |A 1∩A 2|=⌊120/(2×3)⌋=20 |A 1∩A 3|=⌊120/(2×5)⌋=12 |A 1∩A 4|=⌊120/(2×7)⌋=8 |A 2∩A 3|=⌊120/(5×7)⌋=8 |A 2∩A 4|=120/(3×7)⌋=5 |A 3∩A 4|=⌊120/(5×7)⌋=3 |A 1∩A 2∩A 3|=⌊120/(2×3×5)⌋=4 |A 1∩A 2∩A 4|=⌊120/(2×3×7)⌋=2