动态电路方程及其解【优质参考】

t0 t0
iC
(
)d


1
iL(t0 ) iL(t0 ) L
t0 t0
uL
(
)d

uC (t0 ) uC (t0 )
iL(t0 ) iL(t0 )

换路定律
注意：除uC(0＋)和iL(0＋)外，其他各电流和电压在换
路前后可以跃变。
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二阶常系数微分方程
d 2uC dt 2

R L
duC dt

1 LC
uC

1 LC
us
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第四章 动态电路的时域分析
一般而言，若电路中含有n个独立的动态 元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的， 称为n阶电路。
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第四章 动态电路的时域分析
3.2.2 动态电路方程解 1. 初始值的计算
, uL

L diL dt
diL dt

R L
iL

Hale Waihona Puke Baidu
R L
is
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一阶常系数微分方程
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第四章 动态电路的时域分析
3. RLC电路
uL (t ) uR (t ) uC (t ) us (t )
i C duC , dt
uR

Ri

RC
duC dt
,
uL

L di dt

LC
d 2uC dt 2
3.2 动态电路方程及其解
包含至少一个动态元件（电容或电感）的 电路为动态电路。 含有一个独立的动态元件的电路为一阶电路。 （电路方程为一阶常系数微分方程）
含有二个独立的动态元件的电路为二阶电路。 （电路方程为二阶常系数微分方程）
含有三个或三个以上独立的动态元件的电路
为高阶电路。（电路方程为高阶常系数微分
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第四章 动态电路的时域分析
例1 初始值的确定
S C R2
已知：换路前电路处稳态，
+ t=0
U
R1
-
C、L 均未储能。
L 试求：电路中各电压和电 流的初始值。
(a)
解：(1)由换路前电路求 uC (0 ), iL (0 )
由已知条件知 uC (0 ) 0, iL(0 ) 0
第四章 动态电路的时域分析
上节回顾
1. 电容元件
电容元件的特点
电容的VAR
*电压有变化，才有电流。电
容具有隔直流作用。
i dq C du dt dt
*电容电压具有连续性，不能
跃变。
du(t) 1
t
i( )d
C
*电容有“记忆”电压的作
用。电容是无源元件。
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1
第四章 动态电路的时域分析

Ri

i

C
duC dt
, uR

Ri

RC
duC dt
uR (t ) uC (t ) us (t )
duC dt

1 RC
uC

1 RC
us
一阶常系数微分方程
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第四章 动态电路的时域分析
2. RL电路
iR(t) iL(t) is(t)
iR

uR R

uLi C R
uL R
独立初始值： uC(0＋), iL(0＋)
非独立初始值：t0+ 时刻其它u (0＋), i (0＋)值。
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第四章 动态电路的时域分析
t0时刻换路，换路前一瞬间记为t0-，换路后一瞬间记为 t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL分别为
1
uC (t0 ) uC (t0 ) C
方程）
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3
第四章 动态电路的时域分析
换路、暂态与稳态的概念
+
US
(t=t1) (t=0)
R C
uc
-
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。有两类稳态电路：
直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。 正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。
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第四章 动态电路的时域分析
求初始值的简要步骤如下：
(1) 0- 的独立初始值。由t＜0时的电路， 求出uC(0-), iL(0-)； (2) 0+ 的独立初始值。根据换路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。
画出0+等效电路；在t=0+时，用电压等于uC( 0+) 的电压源 替代电容元件，用电流等于iL(0+)的电流源替代电感元件， 独立电源均取t=0+时的值。 (3) 由0+等效电路，求出非独立初始值（各电流、电压的 初始值）。
2. (电t )感 元L件i(t )
u(电t )感的dVAR
dt u(t ) L di(t )
dt
i(t) 1 t u( )d
L
电感元件的特点
*电流有变化，才有电压。
*电感的电流具有连续性，不
能跃变。
*电感有“记忆”电流的作
用。电感是无源元件。
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2
第四章 动态电路的时域分析
路中，要得到待求量，就必须知道待求量的初始 值。而相应的微分方程的初始条件为电流或电压 的初始值。
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第四章 动态电路的时域分析
动态电路的初始状态与初始值
t0+ 和 t0t0 时的刻瞬换间路（，称则为换t0-路为后换的路初前始的时瞬刻间），。t0+ 为换路后 独立初始值 uC(t)和 iL(t)为电路的独立状态变量。 T0+ 时刻的uC(0 ＋)和 iL(0＋)为电路的原始状态，它们反映了换路前电 路所储存的能量。
例：求解方程 dx 5 x 0, x(0) 2
dt
解： 特征方程 s 5 0
特征根 通解
s 5
x(t ) K e s t K e5t
代入初始条件，得
x(0) 2 K 2
原问题的解为
x(t ) 2 e 5t
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第四章 动态电路的时域分析
讨论初始值的原因: 初始值用来完全确定微分方程的解。动态电
(a) 电路
(b) t = 0+等效电路
uC (0 ) 0, 电容元件可视为短路
(2)根据换路定律得：uC (0 ) uC (0 ) 0
L (0 ) L (0 ) 0
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第四章 动态电路的时域分析
S C R2
t=0 +
U -
R1
L
iC (0+ ) uC (0+)+u2(0+_)
+
i1(0+ )
R2 +
iL(0+ ) +
U -
R1 _u1(0+) _ uL(0+)
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第四章 动态电路的时域分析
+
uc
US 暂态
稳
US
(t=t1) (t=0)
R C
态
暂态
uc
-
t t1
暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态
的过渡过程。
过渡过程产生的原因：
外因换路；内因有储能元件。
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第四章 动态电路的时域分析
3.2.1 动态电路方程 1. RC电路
i

C
duC dt
, uR