单循环比赛日程安排

单循环比赛日程安排

一、摘要：

本文在合理假设的基础上由问题的数学实质，建立出问题的模板模型，并根据问题的特殊性将模板分为奇数和偶数两种来研究，运用归纳的方法发现了列出矩阵后的特殊规律，根据这些规律得出一般模型，把模型与矩阵相对应，即得出日程安排的结果，并把模型一般化，使之能广泛应用于日程安排中，给出一个性能指标，用于判断日程安排是否公平、适合

对模型进行了推广。

二、问题重述：

1）七支球队进行单循环比赛，每天一场，每个队伍在两场比赛之间至少间隔一天，

2)若变成八支，九支，如何安排合理。能是两只球队至少

间隔两天吗。

3）推广到N支球队的比赛，如何安排，每支球队两场比赛之间至少间隔多少天。

4）你建议用那些指标衡量比赛日程的优劣，如何使这些指标达到最优。

三、建模假设：

1)每天的同一天进行比赛。

2)符号假设

i j 第i 队与第j 队比赛 [x]第x 场比赛

x(ij)第i 队与第j 队的比赛在第x(ij)场 N 球队的总支数 四、分析与建立模型:

（1） 建模思路：首先用矩阵的方式把每场比赛列出来（顺序列出），从矩阵中的到一定规律，通过专业人士以前得出的日程安排概况，按一定规律建立一个模板，把矩阵与模板相应的值对应，比赛日期=比赛开始日期+x(ij)-1。

首先，建立一个关于

x(ij)矩阵，i 代表行，j 代表列。

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣

⎡)77()

76()

75()

74()

73()

72()71()67()66()65()64()63()62()61()57()56()55()54()53()52()51()47()46()45()44()43()42()41()37()36()35()34()33()32()31()27()26()25()24()23()22()21()17()16()15()14()13()12()

11(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

ii 这种情况不存在，ij 与ji 意义相同，为了简便，我们只看对角线上半部分， 既得：

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00

)67(000000)57()56(00000)47()46()45(0000)37()36()35()34(000)27()26()25()24()23(00)17()16()15()14()13()12(0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x X

建模求解：根据模板，（当n=7时）

⎥⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=0000

00700000012300000161160000

191510200021181495004201713810

X

可得x （ij ）的值 当八支队伍比赛时，n=8 模板变为:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00

0400000001480000001913300000231812700002622

171120002825211610600537242015910

X

（2）建立通用模型

当有n 队参加比赛时，各队每两场比赛之间相隔的场次数为（n-3)/2 如果n 是偶数，设n=2k ，则模板为

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡----++++-+=00

2420

3410

120

30

20

2220

114121

k k k k k k k k k k K k X

当n 是奇数时，设n=2k+1，则模板为

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡++-++++++=00120

140420100302032201242210

k k k k k k k k k k K k X

可以通过计算每个队的每两次比赛的间隔天数的平均值，求各个队间隔天数的平均值的方差，方差越小越好。 如果结果觉得不理想，可通过优化模板实现。

（3）建模检验：得出结果与题目要求相符合，与客观事实相符合。 （4）缺点：模板的建立有一定的主观性，但可通过广泛的征求意

见和查资料弥补。

优点：应用方便，易懂。

五、推广：

1）也可以应用于每支球队(一共n支球队)相邻两场比赛之间至少间隔(n-3)/2场的比赛

2）可以设计不同种类比赛和不同规则安排的比赛的日程安排模板，组成一个库，建立一个应用软件，专门用于进行日程安排的计算。

六、参考文献：数学建模与数学实验。