一道习题的探究与反思
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Ａ Ｄ Ａ Ｄ
可证 厶 ４ ＝ＬＥ Ｆ＝１５．同样 构 造 ＡＡ ＡＥ Ｆ 舰 Ｃ ３。 ＭＥ Ｃ ，得 Ａ Ｅ＝
Ｅ＝ Ｃ Ｆ ＬＥ Ｆ＝１５ ．因此 ， Ｅ 说 明 上述 结论 同样 成 立 ． Ｅ， Ｃ ３。 Ｆ
证 明 ：略 ．
变式 ２ ：如 图 ３ １ ，若点 Ｅ运 动 到 Ｂ （） Ｃ延长 线上 时 ，其 他 条件不变 ，上述结论还成立吗？
Ｎ ． ０２ Ｏ５ ２ １
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒａ ｆＣ ｉｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
—
２１ ０ ２年
第 ５期
摘 要 ：新课程倡 导教师要创 造性地使 用教 材 ，引导学生进 行 自主性 学习、探究性学习．综观近几年各地 中考试题 ，很 多题 目都 源于教材而又 高于教 材．因此 ，在 日常教 学中教师应精心解 读教 材 ，站在知识 系统 的高度 用 “ 活”教材．对教材 中的例题 、
的 延 长 线 上 截 取 Ａ ：ｃ ） Ｍ Ｅ ，连 接 ＭＥ， 则 Ａ 朋Ｅ＝ＺＥ Ｆ＝４ 。 ＿Ｃ ５， Ｍ ＡＥ＝ Ｃ Ｆ， Ｅ ＡＭ ＝Ｅ ． Ｃ 所以 △ △Ｅ Ｆ （Ｓ ． Ｃ Ａ Ａ） 四 、 中考 链 接 例 １ （０ ０年 江 苏 ・ ２１ 无锡 卷 ） （ ） 图 ５ １如 ，在 正 方 形 Ａ Ｃ ＢＤ
点Ｂ、Ｃ重合） ，其他条件不变 ，上述结论还成立 吗？
Ａ Ｄ Ａ Ｄ
习题进行一题 多变和反 思的研 究 ，充分发 挥教材应有 的功能和
作用 ，从 而提 高教 学质量．
关 键 词 ： 用 活教 材 ； 习题 研 究 ；教 学反 思
Ｂ Ｅ Ｃ Ｇ Ｂ Ｅ Ｃ Ｇ
作者简介 ：郝新武 （ ６一） １ ９ ，男，河北 易县人 ，中学高级教师 ，主要从 事中学数 学教 育与教 学研究 ９
２ ５
Ｂ 的 延 长 线上 ：反 之 亦然 ． Ａ
探究 ，培养学生提 出问题 、分 析问题 、解决问题的能力．真正达
证明 ：如图 ３ ２ ，延长 Ｂ （） Ａ到点 ，使 Ｂ ＝Ｂ （ Ｍ Ｅ 或在 Ｂ 到 “ Ａ 做一题 ，通一类 ，会 一片”的效果 ，从而提高教学质量．
妖 以 Ａ Ｂ＋ Ｃ Ｆ＝９ 。 厶ＡＥ Ｅ Ｂ：９ ｏ Ｅ Ｅ ０， Ｂ＋ Ａ ０． 既 ＼ Ｂ Ｅ＝ Ｃ Ｆ Ａ Ｅ．
分 析 ：（ 法 １ 用 类 比 法 分 析 问题 ．由原 题 和 变 式 １的 分 方 ）
析 可知 ，可先构造 以 Ｂ Ｅ为直角边的等腰直角三角形 ，再 构造 一 个以 Ａ Ｅ为边的三角形和 ＡＥ Ｆ全等 ，可证得 结论 同样 成立．即 Ｃ
中 ，Ｍ 是 Ｂ Ｃ边 （ 不合 端 点 、ｃ ）
上 任 意 一 点 ，Ｐ 是 Ｂ 延 长 线 上 一 Ｃ
Ａ
Ｄ
断＼ Ａ Ｅ＝Ｅ ． Ｆ
变式 ３：如图 ４ １ ，若点 Ｅ运动 到 Ｃ （） Ｂ延长线 上时 ，其 他 点 ，Ⅳ是 ／ＤＣ ＿ Ｐ的平 分线上一点． ＿ 若
分 析 ： 由题 意 ， 易证
可 以取 Ａ 的 中 点 ，连 接 ＭＥ，如 图 １ （ ） Ｂ ２ ，得 Ａ ＝Ｅ ， 且 Ｍ Ｃ ＡＭＢ Ｅ为 等 腰 直 角三 角形 ． 而 可 证 』 从 ４ 肘Ｅ＝ ＬＥ Ｆ＝１ ５． Ｃ ３。 进 而构 造 △Ａ ＡＥ Ｆ ＭＥ Ｃ ，问题 得 证 ．
（） １
图 ２
（） ２
分 析 ： 此 题 虽 然 有 的 条 件 同原 题 相 比 改 变 了 ，但 是
一
、
原 题 呈 现
“
Ｅ＝ Ｃ Ｆ，ＬＥ Ｆ＝１５ ’这种 关 系并没有发 生改变． Ｅ Ｃ ３ 发
题目 （ 人教版 《 义务教 育课程 标准 实验教 科书 － 学》 八 生 变化 的 是 Ｅ 数 Ｃ不 一 定 只 是 Ｂ Ｃ的 一 半 ，这 个 唯 一 确 定 的 值 ．可
Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｃ
曰
Ｅ
Ｃ
Ｇ
Biblioteka Baidu
（） １
图 ｌ
（） ２
Ｃ
Ｇ
Ｂ
Ｃ Ｅ Ｇ
（） １
图３
（） ２
证 明 ：如 图 １２ ，取 Ａ （） Ｂ的 中 点 ，连 接 ＭＥ， 则 Ａ ＝Ｅ ， ＬＡ Ｍ Ｃ ＭＥ＝ＬＥ Ｆ：１５ Ｃ ３． 因 为 ＬＡ Ｆ＝９ 。 ／Ａ Ｃ＝９ 。 Ｅ ０， Ｂ ０，
所 以 ＡＥ＝Ｅ ． Ｆ
二 、变 式 探 究
（ 方法 ２ 用运动 的观点 分析 问题 ．当点 Ｅ在 线段 Ｂ ） Ｃ上运
如 果把题 目中的 “ Ｅ是边 Ｂ Ｃ的中点 ”改为 “ Ｅ是 直线 Ｂ 动时 ，若点 Ｅ由点 曰向点 Ｃ运动 ，Ｂ Ｃ Ｅ越来越长 ，则在 线段 Ｂ Ａ 上的动点 ”其他条件不变 ，还 可以演变 出以下题 目．
延 长 Ｂ 到 点 ，使 Ｂ ＝Ｂ （ 在 Ｂ 的 延 长 线 上 截 取 ＡＭ ＝ Ａ Ｍ Ｅ 或 Ａ
ｃ ，连 接 ＭＥ，如 图 ３ ２ ，构 造 ＡＡ ＡＥ Ｆ （） ＭＥ Ｃ ，得 Ａ Ｅ＝ Ｆ Ｅ．
说 明上 述 结 论 同样 成 立 ．
所 以 △Ａ
ＡＥ Ｆ （ Ｓ ． Ｃ Ａ Ａ）
上截得 Ｂ 也越 来越 长 ，也说 明点 越 来越 靠近 点 Ａ Ｍ ．若 点
变式 １ ：如 图 ２ １ ，若点 Ｅ是边 Ｂ （） Ｃ上 的一个动 点 （ 不与 运 动 到 Ｂ Ｃ的 延 长 线 上 时 ，为 使 Ｂ ＝Ｂ ，点 Ｍ 也 随之 运 动 到 Ｅ Ｍ
收 稿 日期 ：２ １－ ０ １ ０ １ １— ０
年 级 下册 复 习题 １ ， 第 １ ） 如 图 １ １ ， 四边 形 Ａ Ｃ 是 正 根据原题 的证 明思路 ，在 Ａ ９ ５题 （） ＢＤ Ｂ上截取 Ａ ＝Ｅ （ Ｃ 或在 Ｂ Ａ上截取
方形 ，Ｅ是边 Ｂ Ｃ的中点 ，ＬＡ Ｆ：９ 。 Ｆ交正方形 外角平分 Ｂ ＝Ｂ ） Ｅ ０ ，Ｅ Ｍ Ｅ ，连接 ＭＥ，如 图 ２ ２ ，得 ＡＭＢ （） Ｅ为等腰 直角三角形． 线Ｃ Ｆ于点 求证 ：Ａ Ｅ＝Ｅ ． Ｆ
可证 厶 ４ ＝ＬＥ Ｆ＝１５．同样 构 造 ＡＡ ＡＥ Ｆ 舰 Ｃ ３。 ＭＥ Ｃ ，得 Ａ Ｅ＝
Ｅ＝ Ｃ Ｆ ＬＥ Ｆ＝１５ ．因此 ， Ｅ 说 明 上述 结论 同样 成 立 ． Ｅ， Ｃ ３。 Ｆ
证 明 ：略 ．
变式 ２ ：如 图 ３ １ ，若点 Ｅ运 动 到 Ｂ （） Ｃ延长 线上 时 ，其 他 条件不变 ，上述结论还成立吗？
Ｎ ． ０２ Ｏ５ ２ １
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒａ ｆＣ ｉｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
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２１ ０ ２年
第 ５期
摘 要 ：新课程倡 导教师要创 造性地使 用教 材 ，引导学生进 行 自主性 学习、探究性学习．综观近几年各地 中考试题 ，很 多题 目都 源于教材而又 高于教 材．因此 ，在 日常教 学中教师应精心解 读教 材 ，站在知识 系统 的高度 用 “ 活”教材．对教材 中的例题 、
的 延 长 线 上 截 取 Ａ ：ｃ ） Ｍ Ｅ ，连 接 ＭＥ， 则 Ａ 朋Ｅ＝ＺＥ Ｆ＝４ 。 ＿Ｃ ５， Ｍ ＡＥ＝ Ｃ Ｆ， Ｅ ＡＭ ＝Ｅ ． Ｃ 所以 △ △Ｅ Ｆ （Ｓ ． Ｃ Ａ Ａ） 四 、 中考 链 接 例 １ （０ ０年 江 苏 ・ ２１ 无锡 卷 ） （ ） 图 ５ １如 ，在 正 方 形 Ａ Ｃ ＢＤ
点Ｂ、Ｃ重合） ，其他条件不变 ，上述结论还成立 吗？
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习题进行一题 多变和反 思的研 究 ，充分发 挥教材应有 的功能和
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关 键 词 ： 用 活教 材 ； 习题 研 究 ；教 学反 思
Ｂ Ｅ Ｃ Ｇ Ｂ Ｅ Ｃ Ｇ
作者简介 ：郝新武 （ ６一） １ ９ ，男，河北 易县人 ，中学高级教师 ，主要从 事中学数 学教 育与教 学研究 ９
２ ５
Ｂ 的 延 长 线上 ：反 之 亦然 ． Ａ
探究 ，培养学生提 出问题 、分 析问题 、解决问题的能力．真正达
证明 ：如图 ３ ２ ，延长 Ｂ （） Ａ到点 ，使 Ｂ ＝Ｂ （ Ｍ Ｅ 或在 Ｂ 到 “ Ａ 做一题 ，通一类 ，会 一片”的效果 ，从而提高教学质量．
妖 以 Ａ Ｂ＋ Ｃ Ｆ＝９ 。 厶ＡＥ Ｅ Ｂ：９ ｏ Ｅ Ｅ ０， Ｂ＋ Ａ ０． 既 ＼ Ｂ Ｅ＝ Ｃ Ｆ Ａ Ｅ．
分 析 ：（ 法 １ 用 类 比 法 分 析 问题 ．由原 题 和 变 式 １的 分 方 ）
析 可知 ，可先构造 以 Ｂ Ｅ为直角边的等腰直角三角形 ，再 构造 一 个以 Ａ Ｅ为边的三角形和 ＡＥ Ｆ全等 ，可证得 结论 同样 成立．即 Ｃ
中 ，Ｍ 是 Ｂ Ｃ边 （ 不合 端 点 、ｃ ）
上 任 意 一 点 ，Ｐ 是 Ｂ 延 长 线 上 一 Ｃ
Ａ
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变式 ３：如图 ４ １ ，若点 Ｅ运动 到 Ｃ （） Ｂ延长线 上时 ，其 他 点 ，Ⅳ是 ／ＤＣ ＿ Ｐ的平 分线上一点． ＿ 若
分 析 ： 由题 意 ， 易证
可 以取 Ａ 的 中 点 ，连 接 ＭＥ，如 图 １ （ ） Ｂ ２ ，得 Ａ ＝Ｅ ， 且 Ｍ Ｃ ＡＭＢ Ｅ为 等 腰 直 角三 角形 ． 而 可 证 』 从 ４ 肘Ｅ＝ ＬＥ Ｆ＝１ ５． Ｃ ３。 进 而构 造 △Ａ ＡＥ Ｆ ＭＥ Ｃ ，问题 得 证 ．
（） １
图 ２
（） ２
分 析 ： 此 题 虽 然 有 的 条 件 同原 题 相 比 改 变 了 ，但 是
一
、
原 题 呈 现
“
Ｅ＝ Ｃ Ｆ，ＬＥ Ｆ＝１５ ’这种 关 系并没有发 生改变． Ｅ Ｃ ３ 发
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曰
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Ｇ
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（） １
图 ｌ
（） ２
Ｃ
Ｇ
Ｂ
Ｃ Ｅ Ｇ
（） １
图３
（） ２
证 明 ：如 图 １２ ，取 Ａ （） Ｂ的 中 点 ，连 接 ＭＥ， 则 Ａ ＝Ｅ ， ＬＡ Ｍ Ｃ ＭＥ＝ＬＥ Ｆ：１５ Ｃ ３． 因 为 ＬＡ Ｆ＝９ 。 ／Ａ Ｃ＝９ 。 Ｅ ０， Ｂ ０，
所 以 ＡＥ＝Ｅ ． Ｆ
二 、变 式 探 究
（ 方法 ２ 用运动 的观点 分析 问题 ．当点 Ｅ在 线段 Ｂ ） Ｃ上运
如 果把题 目中的 “ Ｅ是边 Ｂ Ｃ的中点 ”改为 “ Ｅ是 直线 Ｂ 动时 ，若点 Ｅ由点 曰向点 Ｃ运动 ，Ｂ Ｃ Ｅ越来越长 ，则在 线段 Ｂ Ａ 上的动点 ”其他条件不变 ，还 可以演变 出以下题 目．
延 长 Ｂ 到 点 ，使 Ｂ ＝Ｂ （ 在 Ｂ 的 延 长 线 上 截 取 ＡＭ ＝ Ａ Ｍ Ｅ 或 Ａ
ｃ ，连 接 ＭＥ，如 图 ３ ２ ，构 造 ＡＡ ＡＥ Ｆ （） ＭＥ Ｃ ，得 Ａ Ｅ＝ Ｆ Ｅ．
说 明上 述 结 论 同样 成 立 ．
所 以 △Ａ
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上截得 Ｂ 也越 来越 长 ，也说 明点 越 来越 靠近 点 Ａ Ｍ ．若 点
变式 １ ：如 图 ２ １ ，若点 Ｅ是边 Ｂ （） Ｃ上 的一个动 点 （ 不与 运 动 到 Ｂ Ｃ的 延 长 线 上 时 ，为 使 Ｂ ＝Ｂ ，点 Ｍ 也 随之 运 动 到 Ｅ Ｍ
收 稿 日期 ：２ １－ ０ １ ０ １ １— ０
年 级 下册 复 习题 １ ， 第 １ ） 如 图 １ １ ， 四边 形 Ａ Ｃ 是 正 根据原题 的证 明思路 ，在 Ａ ９ ５题 （） ＢＤ Ｂ上截取 Ａ ＝Ｅ （ Ｃ 或在 Ｂ Ａ上截取
方形 ，Ｅ是边 Ｂ Ｃ的中点 ，ＬＡ Ｆ：９ 。 Ｆ交正方形 外角平分 Ｂ ＝Ｂ ） Ｅ ０ ，Ｅ Ｍ Ｅ ，连接 ＭＥ，如 图 ２ ２ ，得 ＡＭＢ （） Ｅ为等腰 直角三角形． 线Ｃ Ｆ于点 求证 ：Ａ Ｅ＝Ｅ ． Ｆ