(完整版)《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积体积》

S c1 c2
r O1 l
R O2
三、球的表面积
球面面积（也就是球的表面积）等于 它的大圆面积的4倍，即
S球=4πR2， 其中R为球的半径.
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh 推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
探究 2:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积 公式之间的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c '
ch'
S锥侧
1 2
ch '
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 （1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图 是一个矩形，这个矩形的一边为母线， 另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱 底面半径为r，母线长为l，则侧面积
（A）2：π （B）3：π （C）4：π （D）6：π
练习4:
2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的（ ）倍。
4 (2)若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的（ ）倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是（1: 2 2 ）。 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是（1: 3 4）。
(5)若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 ,
4 则两球的直径之差为（ ）
练习5:
1、一个四面体的所有的棱都为 2 ，四个顶点在同 一球面上，则此球的表面积（ ）
A 3л
B 4л C 3 3 D 6л
2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相 切。求球的表面积。
小结：
1、多面体的侧面积公式及球的表面 积公式 2、公式的应用 3、数学思想方法——转化、类比、 归纳猜想
1 6
a3
O D
C1 B1
C B
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
六.球的体积
V球
=
4 3
πR3
例1. 已知正四棱锥底面正方形 长为4cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的侧面积及 P 全面积.（单位：cm2 ）
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
例3: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
V V 解:
棱锥B1 A1BC1
A1
棱锥B A1B1C1
1 3 SA1B1C1 BB1
1 1 a2 a
3 2
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
S圆柱侧=2πrl.
O`
O
（2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一 个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的 半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面 圆的圆周
S圆锥侧= πrl，其中l为圆锥母线长，r为底 面圆半径。
S
l
c=2r
Or
A
（3）圆台可以看成是用一个平行底面的 平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图 是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R， 母线长为l， 则S圆台侧=π(r+R)l= 12(c1+c2)l，其中r，R 分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为 上、下底面圆周长，l为圆台的母线。
七.小结:
1.记住常见几何体的体积公式.
V柱体=sh
V锥体=
1 sh 3
V台体=
1 3
h(s
+
ss'+ s')
V球
=
4 3
πR3
1 4 R2
3
R
2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算
柱，锥，台，球等常见的几何体的体积。
谢 谢 大 家！
所以圆的半径R=25(cm).
O2
B
所以S球=4πR2=2500π(cm2) O1
A
O
练习：
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全 等的小正方体，则表面积增加了（ B ） （A）6a2 （B）12a2 （C）18a2 （D）24a2
3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面 边长为a，该三棱锥的全面积是（ A ）
（A）3 + 3 a2
4
（B） 3 a2
4
Байду номын сангаас
（C）3 + 3 a2
2
（D）
3 2
+
3 4
a2
S
A
C
B
5. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，
底面边长为a，该三棱锥的全面积是
（A ）
（A）3
4
3 a2
（C）3 3 a2
2
（B）
3 4
a2
（D）( 3 3 )a2
24
6. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为（ A ）
D
C
O
E
A
B
例2. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积.
解：由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2, 解得AO1=20cm，
BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.
O2
B
O1
A
O
所以R2=x2+202=(x+9)2+72. 解得x=15(cm).
V正方体= a3
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，