数据结构 图的基本知识点

在无向图G中：
如果从顶点Vi 到顶点Vj至少有一条路径，则称Vi与Vj是连通 的。 如果图中任意两个顶点都连通，则称G为连通图，否则称为 非连通图。 任何连通图的连通分量只有一个，即其自身，而非连通图有 多个连通分量。
在非连通图G中，任何一个极大连通子图称为G的连通分量。
在一个连通图中，含有全部顶点的极小(边数最少)连通子图， 称为该连通图的生成树。(包含图的所有 n 个结点，但只含 图的 n-1 条边。在生成树中添加一条边之后，必定会形成回 路或环)
在非强连通图G中，任何一个极大强连通子图称为G的强
连通分量。 任何强连通图的强连通分量只有一个，即其自身，而非强
连通图有多个强连通分量。
有向图G和强连通分量示例：
8．权、带权图、有向网和无向网
在一个图中，各边(或弧)上可以带一个数值，这个数值称为 权。 这种每条边都带权的图称为带权图或网 有向网：带权有向图 无向网：带权无向图
在有向图中，顶点v的度又分为入度和出度两种：
以顶点v为终点(弧头)的弧的数目称为顶点v的入度，记 为ID(v)； 以顶点v为起点(弧尾)的弧的数目称为顶点v的出度，记 为OD(v)；
有向图顶点v的度为该顶点的入度和出度之和，即
D(v)=ID(v)+OD(v)
无论是有向图还是无向图，一个图的顶点数n、边 (弧)数e和每个顶点的度di之间满足以下的关系式：
无向图G1的二元组表示： V(G1)={V1, V2, V3, V4} E(G1)={(V1, V2)，(V1, V3)，(V1, V4)，(V2, V3)，(V2, V4)，(V3, V4)} 有向图G3的二元组表示： V(G3)={V1, V2, V3} E(G3)={<V1, V2>，<V1, V3>，<V2, V3>，<V3, V2>}
1
V5
3 V4
4 V5
1、举例
有向图
V1 V2
以顶点V1为始点的弧的终点 顶点在数组中的下标
0 V1 1 2 ∧
邻接表表示
V3 V4
1 V2
2 V3 3 V4
∧
3 0 ∧ ∧
顶点的出度
该顶点所在单链表中表结点个数
顶点的入度 查询整个邻接表中的表结点，与该顶点的序号（数 组下标）一致的表结点个数
5．路径、回路和路径长度
使(Vp, Vi1)，(Vi1, Vi2)，…，(Vin, Vq)均为图G的边，则该称顶
点的序列为顶点Vp 到顶点Vq 的路径。若G是有向图，则路径 是有向的。
在无向图G中，若存在一个顶点序列(Vp , Vi1 , Vi2 , … , Vin , Vq)，
路径长度定义为路径上的边数或者弧的数目。
算法实现（无向图）
void CreateGraph(MGraph *g) { int i, j, v, e; scanf("%d %d", &g->vn, &g->en); /*输入顶点数和边数*/ for(v=0;v<g->vn;v++) scanf("%d", &g->vex[v]); /*顶点数据输入*/ for(i=0;i<g->vn;i++) for(j=0;j<g->vn;j++) g->arc[i][j]=0; /*邻接矩阵的初始值都为0*/ for(e=0;e<g->en;e++) /*共有g->en条边*/ { scanf("%d %d", &i, &j); /*指明有边的两个顶点的序号*/ g->arc[i][j]=1; /*有边赋值为1*/ g->arc[j][i]=1; /*建有向图时此句不要*/ } }
vextype vertex;
第8章
图
2013年7月22日
第8章 图
8.1 图的基本概念 8.2 图的基本存储结构 8.2.1 邻接距阵及其实现 8.2.2 邻接表及其实现 8.3 图的遍历 8.3.1 深度优先搜索遍历 8.3.2 广度优先搜索遍历 8.4 图的应用 8.4.1 连通图的最小生成树 8.4.2 拓扑排序
8.1 图的基本概念
8.2 图的基本存储结构
图需存储的信息：
V0 V2 V3 V4 V1
各顶点的数据
各个边（弧）的信息，包括：
哪两个顶点有边（弧）
若有权要表示出来
V0
V1
顶点数、边（弧）数
V2
V3
8.2.1 邻接矩阵及其实现
顶点数据存储：
一维数组（顺序存储）
边（弧）信息的存储：
邻接矩阵：图中n个顶点之间相邻关系的n阶方阵（即二 维数组a[n][n]）
一、现实中的图
图最常见的应用是在交通运输和通信网络中找出造价
最低的方案。通信网络示例如下图所示：
二、图的定义
记为二元组形式： G= (V, E) 其中:
V是由顶点构成的非空有限集合，记为：V＝{V0, V1, V2, …Vn-1} E是由V中顶点的对偶构成的有限集合，记为：E={(V0, V2), (V3, V4), … }，若E为空，则图中只有顶点而没有边。
1 n e D(vi ) 2 i 1
即在有向图或无向图中： 所有顶点度数之和 ：边数 = 2 ：1
3．完全图、稠密图和稀疏图
在图G中：
若G为无向图，任意两个顶点之间都有一条边，称G为无
向完全图。顶点数为n，无向完全图的边数： e=Cn2 =n(n1)/2 若G为有向图，任意两个顶点Vi, Vj之间都有弧<Vi,Vj> 、 <Vj,Vi> ，称G为有向完全图。如顶点数为n，有向完全图
3 2 3 2 ∧ ∧ 4 4 ∧ ∧
邻接表表示
2 V3 3 V4 4 V5
V4
V5
1
2
∧
顶点的度：该顶点所在单链表中表结点个数 无向网
V1
权值
V2
0 V1 1 V2 1 2 3 4 ∧
2 1
0
1 0 1
2
1 4 5
2
3 2 21Biblioteka 3 3 1 ∧ ∧4
4
5
1
∧
∧
4 3
V4
V3
5 邻接表表示
2 V3
4、建图运算
建图——就是完成图类型变量中各个成员值的创建过程。
例：建一个如图所示的无向图 0 1
0 1 0 1 0
执行时输入数据：
6 1 2 3 4 1 3 2 4 3 4
5 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 3 4 0 1 1 0 0 1 分析： 2 各顶点信息：键盘输入 2 各边信息：邻接矩阵，顶点间有边值为1， 无边值为0 顶点数、边数：键盘输入
typedef struct arcnode{
int adjvex;
struct arcnode *next; } ArcNode, *Arc;
表结点类型
3、邻接表存储的图类型定义 （2）顶点结点类型
顶点结点：
顶点信息
vertex firstarc 链表头指针(指向第一个表结点)
typedef struct vexnode{
1．邻接点
在无向图中，若存在一条边（Vi, Vj），则称Vi和Vj 互为邻接点（Adjacent）
在有向图中，若存在一条弧<Vi, Vj >，则称Vi为此
弧的起点，称Vj为此弧的终点，称Vi邻接到Vj，Vj 邻接自Vi，Vi和Vj互为邻接点。
2．顶点的度、入度和出度
在无向图中，与顶点v相邻接的边数称为该顶点的 度，记为D(v)。
3、邻接矩阵存储的图类型定义
# define MAX 100 /* MAX为图中顶点最多个数 */ typedef int vextype; /* vextype为顶点的数据类型 */ typedef struct{ vextype vex[MAX]; /* 一维数组存储顶点信息 */ int arc[MAX][MAX]; /*邻接矩阵存储边（弧）信息 */ int vn, en; /* vn顶点数和en边数 */ }MGraph; /* 图类型 */ 注：MGraph 既可以表示有向图、无向图，也可以表示有 整型权的网
1
0
0
V1 V2 V3 V4 V5 2 1 4 3
V4 V2
V1 V2 5 邻接矩阵表示
0 2 ∞ 2 0 1 ∞ 1 0
4 ∞ 3
∞ 5 1
V3
V3 V4
1
V5
4 ∞ 3
∞ 5 1
0 ∞
∞ 0
V5
1、举例
有向图
V1 V2
V1 邻接矩阵表示 V2 V3 V4
V1 V2 V3 V4 0 1 1 0
邻接矩阵中元素值情况（规定自身无边、无弧）： 无向图 有向图 0 1 vi与vj无边 vi与vj有边
a [i][j]={
网
a [i][j]={
0 1
vi到vj无弧 vi到vj有弧
w vi与vj有边（或vi到vj有弧） W 表示边上的权值； 0 表示vi与vj是同一个顶点 ∞ 表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。
a [i][j]={
∞或0
vi与vj无边（或vi到vj无弧）
1、举例
无向图
V1 V2
V1 V2 V3 V4 V5 V1 V2
V3
0
1
0
1
0
1
0 1
0
1 0
1
0 1
0
1 0
1
1 0
邻接矩阵表示
V5
V3
V4
V4
特点： 对称 行或列方向的非零元素（或1）的个数为此顶点的度 无向网
V1
V5
0
1
若一条路径中不出现重复顶点，则称此路径为简单路径。 若一条路径的起点和终点相同（Vp=Vq）称为回路或环。 除了起点和终点相同外，其余顶点不相同的回路，称为简单 回路或简单环。
例如，在无向图G1中： 顶点序列（V1, V2, V3, V4）是一条从顶点V1到顶
点V4，长度为3的简单路径；
0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
0
V3
V4
特点：
不一定对称
行方向的非零元素（或1）的个数为此顶点的出度 列方向的非零元素（或1）的个数为此顶点的入度
2、邻接矩阵法特点
邻接矩阵法优点： 容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点之间是否 有边（弧）、找顶点的邻接点等等。 邻接矩阵法缺点： n个顶点需要n*n个单元存储边(弧);空间效率为O(n2)。 对稀疏图而言尤其浪费空间。
顶点序列（V1, V2, V4, V1, V3）是一条从顶点V1到
顶点V3，长度为4的路径，但不是简单路径；
顶点序列（V1, V2, V3, V1）是一条长度为3的简单 回路。 在有向图G3中： 顶点序列（V2, V3, V2）是一个长度为2的有向简单 环。
6．连通、连通分量和连通图、生成树
2、邻接表法特点
邻接表的优点： 空间效率高；容易寻找顶点的邻接点；
邻接表的缺点：
判断任意两顶点间是否有边或弧，需搜
索两结点对应的单链表，没有邻接矩阵
方便。
3、邻接表存储的图类型定义 （1）表(边)结点——表示边(或弧)信息的链表中结点
表结点：
邻接点序号 (下标) adjvex next adjvex 下一个邻接 点地址 w next 权值
的弧数：
e=Pn2 =n(n1) 例如，无向图G1就是4个顶点无向完全图。 若一个图接近完全图，则称其为稠密图；反之，若一个图含 有很少条边或弧（即e＜＜n2），则称其为稀疏图。
4．子图
若有图G=(V, E)和G′=(V′, E′) 且V′ 是V的子集，即V′V ， E′是E的子集，即 E′ E 则称图G′为图G的子图。
8.2.2 邻接表及其实现
是顺序与链接相结合的图的存储方式
所有顶点组成一个数组，为每个顶点建立一个单链表
有两部分组成：
表头——顶点数组（存放顶点信息）
表体——单链表（存放与顶点相关的边或弧的信息）
1、举例
无向图
V1 V2 0 V1 1 V2 V3 1 0 1 0
与顶点V1相邻接的顶点 在数组中的下标
图G1和G2为连通图
非连通图G4
A
E F I K C D G J
非连通图G4的三个连通分量
B
A E B F G
I K C D
J
连通图G5
A B
连通图G5的两棵生成树
A B A B
C
D
C
D
C
D
7．强连通、强连通分量和强连通图
在有向图G中：
存在从顶点Vi 到顶点Vj的路径，也存在从顶点Vj 到顶点Vi 的路径，则称Vi与Vj是强连通的。 如果图中任意两个顶点都是强连通，则称G为强连通图， 否则称为非强连通图。
图G是由一个顶点集V和一个边集E构成的数据结构。
其中对偶可以表示成： (Vi, Vj)—无序的对偶称为边，即(Vi, Vj)=(Vj, Vi) ，其图称为 无向图 <Vi, Vj>—有序的对偶称为弧，即<Vi, Vj> ≠<Vj, Vi>，则称 Vi为弧尾，称Vj为弧头，该图称为有向图
有向图和无向图示例：