函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题

一、重点难点分析：

①

此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。

②要掌握常见的几种函数式变形求极限。

③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。

④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。

⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例题

例1．求下列极限

①②

③④

解析：①。

②

。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，

∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，

∴ m=3代入求得n=-1。

例3．讨论函数的连续性。

解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，

又，

∴，∴ f(x)在x=1处连续。

由，

从而f(x)在点x=-1处不连续。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。

例4．已知函数, (a,b为常数)。

试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。

解析：∵且，

∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函数极限

①②

解析：①

。

②。

例6．设，问常数k为何值时，有存在？

解析：∵，。

要使存在，只需，

∴ 2k=1，故时，存在。

例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？

解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。

三、训练题：

1．已知，则

2．的值是_______。

3. 已知，则=______。

4．已知，2a+b=0，求a与b的值。

5．已知，求a的值。

参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0