第三章 集中量数概论
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45-49 3 47 -25 -5 40-44 1 42 -30 -6
∑ 48 － － －
i=5
还原
X
fm f
f m i
f
A
i
A
d’
X
A
f
m i
f
A i
A
fd' f
i
4）分析过程
①选择A： A=72
②确定d′
分组 f m d’
90-94 2 92 4 85-89 2 87 3 80-84 2 82 2 75-79 4 77 1 70-74 11 72 0 65-69 10 67 -1 60-64 6 62 -2 55-59 4 57 -3 50-54 3 52 -4 45-49 3 47 -5 40-44 1 42 -6
79.1
二、加权式及其变式
fX
基本式： X
f
变式 归一化均数
总均数 频数分布表的均数
加
权数（重）
权 式
X fX
f
（一）归一化均数
例3-2：某生数学成绩， 期中72，期末86。期中期 末的比重为4：6。该生的 学期成绩是多少？
公式
X WXi
X 72 0.4 86 0.6 80.4
X
A
f d' i
f
假设 平均数
d mA i
2）原理
每一X同加或 同减一常数， 则M也同加或 同减此常数；
数的 性质
每一X同乘或 同除以一常数， 则M也同乘或 除以此常数。
3）简化值d’
离均差（d）： d m A
简化值（d’）： m A d '
特点
i
A组：d′=0； ＞A各组：d′依 次为1、2、3…； ＜A各组：d′依次为-1、-2、-3…。
∑ 48 － －
③求fd′和∑fd′ ∑fd′ =-45
wenku.baidu.com④代公式
X
A
fd' f
i
72 45 5 48
72 4.69
67.31
分组 f m d’ fd’
90-94 2 92 4 8 85-89 2 87 3 6 80-84 2 82 2 4 75-79 4 77 1 4 70-74 11 72 0 0 65-69 10 67 -1 -10 60-64 6 62 -2 -12 55-59 4 57 -3 -12 50-54 3 52 -4 -12 45-49 3 47 -5 -15 40-44 1 42 -6 -6
40-44 1
∑ 48
思路
①确定组中值（m）
②求m与f的乘积 （mf）
③求mf的和 （∑mf） ④求均数
∑mf/∑f
分组 f
90-94 2 85-89 2 80-84 2 75-79 4 70-74 11 65-69 10 60-64 6 55-59 4 50-54 3 45-49 3 40-44 1
指标
算术平均数 中数 众数 倒数平均数
几何平均数
第一节 算术平均数
定义：观测值总和除以观测值个数的商。
符号：M（Mean）或 X
分析方法 定义式 加权式 简捷式
一、定义式
公式： X X N
等量齐观
例3-1：有一组测验分数为79，67，80， 91，80，83，76，79，80，76。M=？
归一化 权重
公式推导
X
fX f
f
f
X
X WX
归一化 权重
W
例3-3：3名学生报考研究生，五门课
成绩如下表。且当年的录取标准为： ①各门课均在60分以上； ②一门50-60，其他60以上，总分310以上； ③两门50-60，其他60以上，总分320以上。 试问这种录取结果是什么？是否合理？ 为什么？
分组 f m m-A d’
90-94 2 85-89 2 80-84 2 75-79 4 70-74 11 65-69 10 60-64 6
92 20 4 87 15 3
82 10 2
77
51
72
00
67 -5 -1 62 -10 -2
55-59 4 57 -15 -3
A 50-54 3 52 -20 -4
表3-2 3名报考研究生的考生成绩
政治 外语 基础 专业基础 专业课 总分
甲生 62 61 60 62
60 305
乙生 70 58 60 63
62 313
丙生 57 59 75 86
59 336
现经专家讨论，确定的各课程权数 分别为10%、20%、25%、25%、 20%。试问现在的录取结果怎样？
∑ 48
m fm
92 184 87 174 82 164 77 308 72 792 67 670 62 372 57 228 52 156 47 141 42 42 － 3231
（三）次数分布表的均数计算
1、一般式
X
fm f
3231 48
67.3125
2、简捷式
1）公式
离均差 （deviation）
1、某生数学成绩， 期中 72，期末86。期中期末的比 重为4：6。该生的学期成绩 是多少？
2、已知某年 级各班成绩及 人数如下表。 试问其年级分
数是多少？
表3-1 班级成绩表 甲班 乙班 丙班
人数 32
40
36
平均 72.6 80.2 75
概述
平均数
中数 众数
概述
定义——集中趋势 功用
典型情况或一般水平 差异比较
X 79 67 80 76 79.1 10
系数？
思考题
例3-1：有一组 测验分数为79，67， 80，91，80，83， 76，79，80，76。 试问这组数的平均
数是多少？
若用系数形式 怎样可快速求出 例3-1的均数？
公式怎样列？
思考题
X 911 831 803 79 2 76 2 671 1132 211
公式演变
X
fX f
n
X
t
nX i n
例3-5：48名 小学生在瑞文 推理测验上的 成绩如表。试 问其推理的平 均成绩是多少？
表3-3 学生成绩表
分组
f
90-94 2
85-89 2
80-84 2
75-79 4
70-74 11
65-69 10
60-64 6
55-59 4
50-54 3
45-49 3
例3-4：已知某年级各班成绩及人数 如下表。试问其年级分数是多少？
甲班 人数（n） 32 平均成绩 72.6
乙班 丙班
40
36
80.2 75
（二）总体平均数的计算
Xt
72.6 80.2 75.0 3
75.93
Xt
32 72.6 5080.2 36 75 32 50 36
76.2
Xt
nX i n
计算结果
X甲 .1 62 .2 61 .25 60 .25 62 .2 60
60.9
X乙 .1 70 .2 58 .25 60 .25 63 .2 62
61.75 X丙 .157 .259 .25 75 .25 86 .259
69.55
表3-1 班级成绩表
∑ 48 － － －
i=5
还原
X
fm f
f m i
f
A
i
A
d’
X
A
f
m i
f
A i
A
fd' f
i
4）分析过程
①选择A： A=72
②确定d′
分组 f m d’
90-94 2 92 4 85-89 2 87 3 80-84 2 82 2 75-79 4 77 1 70-74 11 72 0 65-69 10 67 -1 60-64 6 62 -2 55-59 4 57 -3 50-54 3 52 -4 45-49 3 47 -5 40-44 1 42 -6
79.1
二、加权式及其变式
fX
基本式： X
f
变式 归一化均数
总均数 频数分布表的均数
加
权数（重）
权 式
X fX
f
（一）归一化均数
例3-2：某生数学成绩， 期中72，期末86。期中期 末的比重为4：6。该生的 学期成绩是多少？
公式
X WXi
X 72 0.4 86 0.6 80.4
X
A
f d' i
f
假设 平均数
d mA i
2）原理
每一X同加或 同减一常数， 则M也同加或 同减此常数；
数的 性质
每一X同乘或 同除以一常数， 则M也同乘或 除以此常数。
3）简化值d’
离均差（d）： d m A
简化值（d’）： m A d '
特点
i
A组：d′=0； ＞A各组：d′依 次为1、2、3…； ＜A各组：d′依次为-1、-2、-3…。
∑ 48 － －
③求fd′和∑fd′ ∑fd′ =-45
wenku.baidu.com④代公式
X
A
fd' f
i
72 45 5 48
72 4.69
67.31
分组 f m d’ fd’
90-94 2 92 4 8 85-89 2 87 3 6 80-84 2 82 2 4 75-79 4 77 1 4 70-74 11 72 0 0 65-69 10 67 -1 -10 60-64 6 62 -2 -12 55-59 4 57 -3 -12 50-54 3 52 -4 -12 45-49 3 47 -5 -15 40-44 1 42 -6 -6
40-44 1
∑ 48
思路
①确定组中值（m）
②求m与f的乘积 （mf）
③求mf的和 （∑mf） ④求均数
∑mf/∑f
分组 f
90-94 2 85-89 2 80-84 2 75-79 4 70-74 11 65-69 10 60-64 6 55-59 4 50-54 3 45-49 3 40-44 1
指标
算术平均数 中数 众数 倒数平均数
几何平均数
第一节 算术平均数
定义：观测值总和除以观测值个数的商。
符号：M（Mean）或 X
分析方法 定义式 加权式 简捷式
一、定义式
公式： X X N
等量齐观
例3-1：有一组测验分数为79，67，80， 91，80，83，76，79，80，76。M=？
归一化 权重
公式推导
X
fX f
f
f
X
X WX
归一化 权重
W
例3-3：3名学生报考研究生，五门课
成绩如下表。且当年的录取标准为： ①各门课均在60分以上； ②一门50-60，其他60以上，总分310以上； ③两门50-60，其他60以上，总分320以上。 试问这种录取结果是什么？是否合理？ 为什么？
分组 f m m-A d’
90-94 2 85-89 2 80-84 2 75-79 4 70-74 11 65-69 10 60-64 6
92 20 4 87 15 3
82 10 2
77
51
72
00
67 -5 -1 62 -10 -2
55-59 4 57 -15 -3
A 50-54 3 52 -20 -4
表3-2 3名报考研究生的考生成绩
政治 外语 基础 专业基础 专业课 总分
甲生 62 61 60 62
60 305
乙生 70 58 60 63
62 313
丙生 57 59 75 86
59 336
现经专家讨论，确定的各课程权数 分别为10%、20%、25%、25%、 20%。试问现在的录取结果怎样？
∑ 48
m fm
92 184 87 174 82 164 77 308 72 792 67 670 62 372 57 228 52 156 47 141 42 42 － 3231
（三）次数分布表的均数计算
1、一般式
X
fm f
3231 48
67.3125
2、简捷式
1）公式
离均差 （deviation）
1、某生数学成绩， 期中 72，期末86。期中期末的比 重为4：6。该生的学期成绩 是多少？
2、已知某年 级各班成绩及 人数如下表。 试问其年级分
数是多少？
表3-1 班级成绩表 甲班 乙班 丙班
人数 32
40
36
平均 72.6 80.2 75
概述
平均数
中数 众数
概述
定义——集中趋势 功用
典型情况或一般水平 差异比较
X 79 67 80 76 79.1 10
系数？
思考题
例3-1：有一组 测验分数为79，67， 80，91，80，83， 76，79，80，76。 试问这组数的平均
数是多少？
若用系数形式 怎样可快速求出 例3-1的均数？
公式怎样列？
思考题
X 911 831 803 79 2 76 2 671 1132 211
公式演变
X
fX f
n
X
t
nX i n
例3-5：48名 小学生在瑞文 推理测验上的 成绩如表。试 问其推理的平 均成绩是多少？
表3-3 学生成绩表
分组
f
90-94 2
85-89 2
80-84 2
75-79 4
70-74 11
65-69 10
60-64 6
55-59 4
50-54 3
45-49 3
例3-4：已知某年级各班成绩及人数 如下表。试问其年级分数是多少？
甲班 人数（n） 32 平均成绩 72.6
乙班 丙班
40
36
80.2 75
（二）总体平均数的计算
Xt
72.6 80.2 75.0 3
75.93
Xt
32 72.6 5080.2 36 75 32 50 36
76.2
Xt
nX i n
计算结果
X甲 .1 62 .2 61 .25 60 .25 62 .2 60
60.9
X乙 .1 70 .2 58 .25 60 .25 63 .2 62
61.75 X丙 .157 .259 .25 75 .25 86 .259
69.55
表3-1 班级成绩表