二次函数与四边形的动点问题(含标准答案)

72x = B(0,4) A(6,0) E F x

y O 二次函数与四边形

一.二次函数与四边形的形状

例１．(浙江义乌市) 如图,抛物线223y x x =--与x 轴交Ａ、B 两点(A 点在B 点左侧）,直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中Ｃ点的横坐标为2．

(1）求A 、B 两点的坐标及直线A Ｃ的函数表达式；

(2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平

行线交抛物线于E 点,求线段ＰE 长度的最大值;

（３)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由.

练习1.(河南省实验区) 23．如图,对称轴为直线72

x =的抛物线经过点 A （6,0）和 B(0，４）.

（1)求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点Ｅ（x ，y )是抛物线上一动点,且位于第四象限，四边形OEA Ｆ是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OE ＡF 的面积Ｓ与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;

①当平行四边形O ＥAF 的面积为24时,请判断平行四边形O ＥAF 是否为菱形?

②是否存在点E,使平行四边形OEAF 为正方形？若存在,求出点E 的坐标；若不存在,请说明理由．

A

练习２.（四川省德阳市)２5．如图,已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，,抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '.

(1）求抛物线2l 的函数关系式；

（2)已知原点O ,定点(04)D ，,2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称,则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形?

(3)在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形?若存,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.

练习3.(山西卷)如图,已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，,(20)B -，,(08)E ，. (１）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式;

(2)设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D

，两点(点C 在点D 的左侧)，顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S .

若点A ,点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左

运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直

方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止.求出四边形

MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取

值范围;

(3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值,并求出此

最大值；

（４)在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能,求出

此时t 的值；若不能，请说明理由．

5- 4- 3-

2- 1- 1 2 3 4

5 5 4 3 2 1 A E B

C ' 1- O 2l 1l

x y