四边形中的折叠问题
专题02特殊平行四边形中的折叠问题教师版
专题02 特殊平行四边形中的折叠问题【典型例题】1．（2020·河北定州初三二模）如图，正方形ABCD 中，AB =6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【解析】连接AE ，∵AB =AD =AF ,∠D =∠AFE =90°，由折叠的性质得：Rt △ABG ≌Rt △AFG ，在△AFE 和△ADE 中，∵AE =AE ，AD =AF ，∠D =∠AFE ，∴Rt △AFE ≌Rt △ADE ，∴EF =DE ，设DE =FE =x ，则CG =3，EC =6−x .在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：(6−x )2+9=(x +3)2，解得x =2.则DE =2. 2．（2019·全国初三单元测试）如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AEF ，若AB ＝2，∠B ＝45°，则△AEF 与菱形ABCD 重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）.A ．2B ．C ．D ．【解析】∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B =45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ，由折叠的性质可知，△ABF 为等腰直角三角形，∴S △ABF =12AB •AF =2，S △ABE =1，∴CF =BF -BC =-2，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =45°，又由折叠的性质知，∠F =∠B =45°，∴CG =GF =2∴S △CGF =12GC •GF =3-，∴重叠部分的面积为：2-1-（3-）=2，故选D ． 3．（2020·全国）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，使得点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上．（1）折叠后，DC 的对应线段是 ，CF 的对应线段是 ；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB =8，DE =10，求CF 的长度．【答案】（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC 的对应线段是BC ′，CF 的对应线段是C ′F ；故答案为：BC ′，C ′F ． （2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF =50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°； 故答案为：50°，80°（3）∵AB =8，DE =10，∴BE =10，∴AE 6，∴AD =BC =6+10=16，∵∠1=∠BEF =50°，∴BF =BE =10， ∴CF =BC ﹣BF =16﹣10=6．故答案为：6【专题训练】一、选择题1．（2020·海南临高）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC =∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．5【解析】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，选B．2．（2020·全国）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )A．6B．8C．10D．12【解析】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，∴∠1=∠2，而∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴ED=EB=5，∵矩形ABCD中，∠A=90°∴重叠部分△BDE的面积=12DE×AB=12×5×4=10．故选：C.．3．（2020·全国）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）A．3B．4C．6D．8【解析】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选C．4．（2020·新疆昌吉初三一模）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解析】设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=12BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选：A．5．（2019·河北遵化初三一模）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°【解析】试题分析：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°．∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°．∴∠PDC=90°．∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．在△DEC中，．故选B．6．（2020·全国）如图，已知四边形ABCD 是边长为6的菱形，且∠BAD =120°，点E ,F 分别在AB ,BC 边上，将菱形沿EF 折叠，点B 正好落在AD 边的点G 处．若EG ⊥AC ，则FG 的长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【解析】如图，设AC 与EG 交于点O ，FG 交AC 于点H ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，∴60B D ∠=∠=︒， ∴ABC ACD 、是等边三角形．∴60CAD B ∠=∠=︒．∵EG AC ⊥，∴90GOH ∠=︒．∵60EGF B ∠=∠=︒，∴30OHG ∠=︒，∴18090AGH CAD OHG ∠=︒-∠-∠=︒，∴FG AD ⊥，∴FG 是菱形ABCD 的高，即为等边三角形ABC 的高，∴ =C ．7．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校）如图,把一个矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置,若∠EFB =65°,则∠AED ′为（ ）。
平行四边形折叠问题解题技巧
平行四边形折叠问题解题技巧平行四边形折叠问题解题技巧什么是平行四边形折叠问题平行四边形折叠问题是一种数学问题，要求将一块平行四边形纸张折叠成特定的形状。
解决这个问题需要一些技巧和方法。
以下是一些常用的技巧，可以帮助你解题。
技巧一：注意对称性•在折叠平行四边形时，要注意纸张的对称性。
利用对称性可以简化问题，并找到更快的解决方案。
•如果可以发现平行四边形纸张具有对称性，可以根据对称性进行折叠，将问题简化为更小的子问题。
技巧二：利用角度相等•在平行四边形折叠问题中，角度是一个重要的概念。
角度相等的性质可以帮助我们确定折叠的方式。
•如果已知某个角度相等，可以通过将纸张折叠使得两个角度重合，从而找到解题的关键位置。
技巧三：利用边长比例•平行四边形的边长比例也是一个重要的信息。
通过观察边长比例，可以推导出纸张的折叠方式。
•如果已知两个边长的比例，可以利用这个比例关系进行折叠，从而找到解题的关键位置。
技巧四：分析折痕•折痕是平行四边形折叠问题中的关键点。
分析折痕的特点可以帮助我们确定折叠的方式。
•观察折痕的位置、形状和角度，可以推断出纸张的折叠方式，并找到最终的解答。
技巧五：尝试反向思考•在解决平行四边形折叠问题时，有时候可以尝试反向思考。
即从最终的形状出发，逆向推导出折叠的方式。
•这种方法可以帮助我们更直观地理解问题，从而找到更有效的解题方法。
技巧六：多练习、多实践•最后，最重要的是多练习、多实践。
通过反复练习和实践，可以加深对平行四边形折叠问题的理解，掌握更多的解题技巧。
•在实践中遇到问题不要气馁，可以寻求他人的帮助或参考相关资料，不断提升自己的解题能力。
以上是解决平行四边形折叠问题常用的技巧和方法。
通过灵活运用这些技巧，相信你能够轻松解决各种平行四边形折叠问题。
祝你成功！（以上仅为参考，具体文章内容可以根据实际需要进行修改和补充。
）。
四边形中的折叠型问题例析
四边形中的折叠型问题例析折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的问题。
这类问题直观性与逻辑性相结合，是考查学生是否具备良好的空间想象能力的一类好题。
现以近年中考题为例，谈谈折叠型问题在四边形中的应用，供大家参考。
一、平行四边形中的折叠问题例１如图１，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________________.解:由折叠知:△EAB≌△EFB,∴EA=EF,AB=FB,∴DE+DF+EF=DE+EA+DF=AD+DF=AD+DC－FC=AB+BC－FC=8FC+BC+BF=FC+AB+BC=22,∴FC=(AB+BC+FC―(AB+BC―FC=(22―8 =7二、矩形中的折叠问题例2如图2，将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F 在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分BFE，则GFH的度数满足（）A． B。
C． C。
随着折痕位置的变化而变化解：由题意知：△GFC≌△G FE，∴∠GFC=∠GFE，∵FH平分∠BFE，∴∠EFH=∠BFH，又∵∠GFC+∠GFE+∠EFH+∠HFB=∴∠GFH=三、正方形中的折叠问题例3 如图3, 已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则PBQ=__________度.解:∵C与P为对称点,BQ为折痕,∴ΔBCQ≌△BPQ,∴∠CBQ=∠PBQ,BC=BP,∵BN= BC,∴BN=BP,在Rt△BNP中, sin∠BPN=∴∠BPN= ,∵MN∥AB ,∴∠ABP=∠BPN=∴∠PBQ= =四、梯形中的折叠问题例4 如图4,梯形纸片ABCD,∠B= ,AD∥BC,AB=AD=2,BC=6.将纸片折叠,使点B 与点D重合,折痕为AE,则CE=______________.解:∵AD∥BC,∠B=,∴∠BAD=∠B=,易知△ABE≌△ACE,∴∠BAE=∠DAE=∴△ABE为等边三角形,∴BE=AB=2∴EC=BC－BE=6－2=4。
解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法
解决特别平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特别平行四边形中的折叠问题1、如图1－ZT－１,将矩形AＢCD沿EＦ折叠,使顶点C恰好落在ＡB边的中点Ｃ′上、若ＡＢ=6,BC＝９,则ＢＦ的长为()图1－ZT-1Ａ、4 B、3 2C、4、５D、５2、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT-2所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为ＥF、若AＢ＝3 cm,BＣ＝５cm,则重叠部分△ＤEＦ的面积是______＿＿cm2、:学*科＊网Ｚ＊X＊X*K]图1－ZＴ—２３。
如图１－ZT—3,将长方形纸片ABＣD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在对角线D′处、若AB＝3,ＡＤ＝4,则ED的长为()图1—ＺT-３A、＼f(3,2)B、3C。
１D。
＼f(４,3)［来源:1]4。
如图1-ZT-４,折叠矩形ABCD的一边AＤ,使点D落在BC边上的点F处,已知折痕AE=5 5 ｃm,且EC∶ＦC=BF∶AB=3∶４、那么矩形ABCD的周长为______＿＿cｍ、图１—ZＴ-4５、如图1-ZT—５,在矩形ＡBCD中,点E在边ＣD上,将该矩形沿ＡE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作ＦG∥CD,交AE于点G,连接DG、(1)求证:四边形DEFＧ为菱形;(２)若ＣD=8,CF＝4,求CEDＥ的值。
图1-ZT-５►方法二用数形结合思想解决特别平行四边形中的折叠问题6。
如图1—ＺT—6,在矩形ABCＤ中,AB＝4,BＣ=6,Ｅ为BC的中点,将△ABＥ沿AＥ折叠,使点Ｂ落在矩形内点F处,连接CF,则ＣＦ的长为()图1－ZT-6A、95B。
＼f(1２,5)C、＼f(1６,５)D、＼f(18,5)7。
如图１—ZT－7,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AＥ折叠(点E在边ＤC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处、若点Ｄ的坐标为(10,８),则点E的坐标为＿＿______、图1-ZT－78、如图１－ZT－8,在矩形ABＣD中,AＢ=6 cｍ,E,F分别是边BC,AＤ上一点,将矩形AＢCD沿ＥF折叠,使点C,Ｄ分别落在点C′,D′处、若Ｃ′E⊥ＡD,则ＥＦ的长为＿＿______ｃm。
人教版八年级下册数学作业课件 第十八章 解题技巧专题：特殊四边形中的折叠问题
◆类型二 矩形的折叠
3．如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，
折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O.若 AE＝5，BF＝3，
则 AO 的长为（ C ）
A. 5
B.32 5
C．2 5
D．4 5
4．(2021·杭州中考)如图是一张矩形纸片 ABCD，点 M 是对角线 AC 的中点，点 E 在 BC 边上，把△DCE 沿直线 DE 折叠，使点 C 落在对角线 AC 上的点 F 处，连接 DF，EF.若 MF＝AB，则∠DAF＝ 18 °.
◆类型三 菱形的折叠 5．如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A＝60°，折叠菱 形纸片 ABCD，使点 C 落在 DP(P 为 AB 中点)所在 的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE.则∠DEC 的大 小为 75° .
解析：如图，连接 GH.由翻折可知，∠CHF＝∠FHC′， ∠BHE＝∠EHC′，∴∠FHE＝∠FHC′＋∠EHC′＝
12 (∠CHC′ ＋ ∠BHC′) ＝ 90°. 同 理 ∠HFGБайду номын сангаас＝ ∠GEH ＝ 90°，∴四边形 EHFG 是矩形．
∴FE＝HG.由翻折得 CH＝C′H＝BH＝12BC，AG＝
A．1
B. 2
C. 3
D．2
8．(2021·东营中考)如图，正方形纸片 ABCD 的边
长为 12，点 F 是 AD 上一点，将△CDF 沿 CF 折叠，
点 D 落在点 G 处，连接 DG 并延长交 AB 于点 E.
若 AE＝5，则 GE 的长为
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.
解题技巧专题特殊四边形中的折叠问题课件
解题技巧专题特殊四边形中的折叠问题课件一、教学内容本节课教学内容选自高中数学教材《几何与图形》第四章第四节，主题为“特殊四边形中的折叠问题”。
具体内容包括：掌握特殊四边形（正方形、矩形、菱形等）的性质，利用折叠方法解决四边形问题，以及通过实际操作，提高空间想象能力和解题技巧。
二、教学目标1. 理解并掌握特殊四边形的性质，能运用折叠方法解决相关问题。
2. 培养学生的空间想象能力，提高解决几何问题的技巧。
3. 培养学生的合作意识和动手操作能力，激发学习兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：特殊四边形折叠问题的解题方法。
教学重点：特殊四边形性质的运用和空间想象能力的培养。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、折叠模型。
学具：直尺、圆规、剪刀、彩纸。
五、教学过程1. 实践情景引入展示一组特殊四边形的折叠图形，引导学生观察并思考：这些图形在折叠过程中，有哪些性质可以帮助我们解决几何问题？2. 例题讲解（1）正方形折叠问题：讲解如何通过折叠正方形，求解正方形对角线长度、面积等问题。
（2）矩形折叠问题：分析矩形折叠过程中，如何利用矩形的性质求解矩形长、宽等问题。
（3）菱形折叠问题：介绍菱形折叠方法，引导学生运用菱形的性质解决相关问题。
3. 随堂练习（1）折叠一个正方形，求其对角线长度。
（2）折叠一个矩形，求其长和宽。
（3）折叠一个菱形，求其对角线长度。
4. 小组讨论学生分小组讨论折叠过程中遇到的问题，分享解题经验。
六、板书设计1. 特殊四边形性质及折叠方法。
2. 折叠问题解题步骤及技巧。
3. 学生随堂练习答案。
七、作业设计1. 作业题目：（1）折叠一个正方形，求其对角线长度。
（2）折叠一个矩形，求其长和宽。
（3）折叠一个菱形，求其对角线长度。
2. 答案：（1）对角线长度为正方形边长的√2倍。
（2）矩形长和宽的比值为折叠后图形的长宽比。
（3）对角线长度为菱形边长的√2倍。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思本节课通过折叠特殊四边形，让学生掌握了解题方法，提高了空间想象能力。
北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)
专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。
【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。
2024年平行四边形中的折叠问题课件
2024年平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨教材第十二章“几何变换”中的折叠问题，特别是平行四边形的折叠。
详细内容包括：理解平行四边形的基本性质，掌握折叠过程中的对称性和不变量，运用这些性质解决折叠问题。
二、教学目标1. 理解平行四边形的性质，并能运用性质解决折叠问题。
2. 通过折叠活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
教学重点：平行四边形性质的应用，折叠问题的解决方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，平行四边形的模型。
2. 学具：剪刀，彩纸，尺子，圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中的折叠实例，如纸飞机、纸盒等，让学生感受折叠在生活中的应用。
2. 知识讲解：（1）回顾平行四边形的性质。
（2）介绍折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
3. 例题讲解：（1）给出一个平行四边形折叠问题，引导学生分析问题，找出关键信息。
（2）示范解题过程，强调平行四边形性质的应用。
4. 随堂练习：让学生独立解决一个类似的折叠问题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组讨论解决折叠问题的方法，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠过程中的对称性和不变量3. 折叠问题的解题步骤七、作业设计答案：折叠后的形状为一个三角形。
2. 作业题目：已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，沿对角线AC折叠，求折叠后的形状。
答案：折叠后的形状为一个三角形。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生感受到了折叠的趣味性。
在讲解过程中，注重引导学生运用平行四边形的性质解决问题。
2. 拓展延伸：鼓励学生探究其他多边形的折叠问题，培养学生的探究意识和创新精神。
重点和难点解析1. 实践情景引入的选择与设计。
2. 知识讲解中对平行四边形性质的回顾与强调。
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四边形中的折叠问题教学设计
一． 教学内容分析
折叠问题是中考中常见类型，以填空选择形式出现，应用到的知识
较多，如四边形的性质、判定，勾股定理等，
折叠前后的部分全等，
注意总结“角平分线平行线等腰三角形来出现，折叠全等见勾股”
二． 教学目标：
1.知识与技能：
在折纸的情境中，建立现实生活问题与几何的联系，培养联想、
类比由特殊到一般等数学的思考方式，渗透转化与划归的数学思想，
能较为综合运用角平分线、平行线及与三角形,多边形相关角的一些
知识。
2.过程与方法：
经历做数学（实践），思考，再合情推理的数学知识形成过程；
通过观察一探索一猜想一验证的学习过程，体会科学发现的一般规律。
3. 情感态度、价值观：
建立一些活动(折纸)与几何世界的多种联系，激发学习几何的
兴趣。感受到运动中蕴涵着静止，变与不变得辩证关系，在折纸
中加强学生的发现探究能力和创造力。
三． 教学重点：
折叠图形的中几何问题的发现和解决,让学生提问与质疑、尝试与
探究、讨论与交流、归纳与总结。促使学生思维开放，在积极探
索中形成创新性的思考与看待问题的方式，并藉此获得知识.
四． 教学难点：折叠运动变化中存在的等量关系的发现和如何利用
折叠中的不变量解决具体问题
五． 教学方式：探索式,启发式
六． 教学手段：计算机辅助，几何画版课件，flash课件
七．教学过程
（一） 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容:
折纸与几何解题
例1：如图1，将一张长方形纸片如图1折叠，其中EF, FH为折
痕，试判断∠EFH的度数？说明理由。
2.学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，直角的结论
明显，并积极思考理由。
3.教师活动设计：此题结论明显，易操作，主要目的使学生感受
折叠过程中表现出重合（全等）的特性，从而造成的折痕为角平
分线，从此题中得出本题实质是临补角的角平分线互相垂直，进
一步得到思想方法，化复杂图形为基本图形；运动中有静止。
（板书）解答：∠EFH＝90°
理由：
由折叠过程可知: ∠1=∠2, ∠3=∠4
又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°
所以∠1＋∠3＝90°
即∠EFH＝90°
小结：折叠过程所呈现出的几何等量是由于重合。
例2．如果将一张长方形纸片，沿着对角线折起一个角，使C
点落在E处，BE与AD相交与点O（如图2）这时我们能观察到什
么呢？请说明理由。
学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，会发现许多的
结论，并积极思考理由。
教师活动设计：此题易操作，结论颇多，是一个开放性
问题，主要目的使学生进一步体会思想方法，化复杂图形为基本
图形；运动中有静止。并积极搜索自己大脑中的知识库，给出合
理的理由。
（板书）结论： ∠E=∠C, ∠EDB=∠BDC, ∠EBD=∠CBD (动中
有静
∠ODB=∠CBD=∠EDB,∠AOB=∠EOD,∠BDC=∠ABD=∠EDB, ∠OBD=∠
ODB, ∠ABO=∠EDO（各类基本图形）
AB=CD=ED, AD=BC=BE,OA=OE,OB=OD（可用等积法说明OA=OE）
S△ABD=S△BDC= S△BED S△ABO= S△EOD
AE//BD
注：此时学生还没有学三角形全等和等腰三角形有关知识
例3.
(2016.河北）将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落
在点B´处， 若∠1= ∠ 2=44°，则∠B=( ) °
（二）师生小结：
思想方法
② 复杂的图形转化为基本图形
② 从运动变化中寻找不变性的思想
③ 从折叠与展开过程中体会到逆向思维
折叠前后的部分全等，注意总结“角平分线平行线等腰三角形
来出现，折叠全等见勾股”
（三）课后练习：
1. 如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，
点D落在点G处，（1）求证：△ABE≌△AGF
（2）连接CF, 判定四边形AECF是什么图形，并证明．
2.
将三角形纸片ABC(AB>AC）沿过点A的直线折叠，使得AC
落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三
角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接
DE、DF，如图（2）。求证：四边形AEDF是菱形。
（四）课后反思：
折纸活动本身能唤起学生很多美好的回忆，如折纸飞机、纸帆
船、千纸鹤。另一方面，折纸活动又是一种有效的操作活动，学
生可以通过自己动手操作来感悟图形的几何性质，运用图形运动
去发现问题、分析问题。而且折纸活动本身也承载着许多重要的
几何问题，可以提炼出更一般的几何方法，它对于培养学生的学
习兴趣、好奇心与探索精神，有重要的价值。 通过设计折纸活
动让学生动手实践，自主探索与合作交流，丰富了学生的学习方
式和教师的教学方式，在此过程中，学生找到了学习的乐趣，教
师对教与学的方式也有了新的认识。
用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几
何图形的性质是学习几何的方法。A.关于
互为临补角的角平分线互相
垂直
这一结论学生已经知道，用折纸的背景将条件隐藏起来，从学生
已有的生活经验、数学基础出发，重新设计“互为临补角的角平分线
互相垂直”的教学过程。让学生从研究折叠中的图形性质探索出结论
并加以证明。此题折叠效果明显，结论唯一，证明易操作。B.关于
长
方形沿对角线的折叠
这个问题背景简单，但隐含条件和结论异常丰富，
是向学生发起挑战的一题，大量的线，角关系。学生得到的三角形全
等，线段相等（等积法）体现了学生的探索深度，可惜A,E两点连线
//对角线BD没有给出。
布鲁纳也指出：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目
的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程。学习是一种过程，
而不是结果。”可见，让学生在活动中“学会学习”本身比“学会什
么”更重要。
数学的特点之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的关系，
但它们都有非常多的现实背景。该课例在教学设计中关注了这个
特点，力图体现数学事实的现实背景，并从中选取与学生生活世
界密切相关的情境，使学生思维的抽象过程犹如“自然”发生。
数学的另一特点是严密性，表现为逻辑严格与计算精确，这种严
密过程正体现了人类认识的逐渐深化。在课例中，我们也注意了
学生的认知特点，在“直观几何”到“证明几何”的严谨化过程
之中做一过渡，以此启蒙证明与反驳的思维方式。同时，这反映
了一个逐渐追求严谨的过程。在课例设计的问题解决活动中，体
现了一些数学思想方法：(1)思考问题的逆(反方向)，(2)从一般
问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化
为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想
(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中
寻找不变性的思想.
此外，教师在设计活动式教学时体会到，设计的探究步伐大小是
很重要的。我们的认识是探索与尝试的步子一定要适合学生的实
际。要让学生面对适度的困难，诱发探索与思考的兴趣，并从这
种克服困难的过程中有一定的收获，有一些成就感。但设计的问
题不宜太难，否则学生会在问题面前过多徘徊，浪费许多宝贵时
间。活动开始时，探索与尝试的步子要小一些，使得更多的学生
有机会投入与参与。随着学生对环境、情境、问题的熟悉，探索
与尝试的步子可以加大，不断增加创造性因素。
（五）作业
学案(1—6)题