基于MATLAB的多元非线性回归模型

第２９卷第２期２００９年３月

云南师范大学学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｕｎｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖ０１．２９Ｎｏ．２

Ｍａｒ．２００９基于ＭＡＴＬＡＢ的多元非线性回归模型‘

董大校

（临沧师范高等专科学校，云南临沧６７７００００）

摘要：ＭＡＴＬＡＢ是源于矩阵运算的一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的

程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。文章充分利用

ＭＡＴＬＡＢ统计工具箱的优势，通过程序的实现，对多元非线性回归模型的未知参数的估计方法以及对估

计后的模型预报做出研究，并以实例验证了该方法的有效性。

关键词：ＭＡＴＬＡＢ；多元非线性回归；ｔｄ，－－乘法；统计工具箱

中图分类号：ＴＰ３０１文献标识码：Ａ文章编号：１００７—９７９３（２００９）０２—００４５—０４

ｌ预备知识

非线性回归最小二乘法拟合的基本原理…。

对给定数据（菇ｉ，Ｙ；）（ｉ＝０，ｌ，…，ｒｒｔ），在取定的函数类西中，求ｐ（ｘ）∈痧，使误差ｔ＝ｐ（ｘ）一Ｙ。（ｉ＝０，１，…，ｍ）的平方和最小，即

∑＃＝∑［ｐ（戈ｉ）一，，ｉ］２

最小，从几何意义上讲，就是寻求与给定点（菇ｉ，Ｙ；）（ｉ＝０，１，…，ｒｎ）的距离平方和为最小的曲线Ｙ＝ｐ（菇）（图１）。函数ｐ（ｘ）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数ｐ（ｘ）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

２ＭＡＴＬＡＢ非线性曲线拟合命令介绍

２．１ｎＨｎｆｉｔ函数旧１

用ｎｌｉｎｆｉｔ函数进行非线性最小二乘数据拟合。该函数使用高斯一牛顿算法，调用格式如下：

Ｑｂｅｔａ＝ｎｌｉｎｆｉｔ（Ｘ，Ｙ，ｆｕｎ，ｂｅｔａ０）用最小二乘法估计非线性函数系数。Ｙ为响应值（因变量）矢量。一般地，为自变量值组成的设计矩阵，每一行对应与Ｙ中的一发个值。但是，ｘ可以是ｆｕｎ参数能接受的任何数组。ｆｕｎ参数为一函数，该函数具有下面的形式

ｙｈａｔ＝ｍｙｆｕｎ（ｂｅｔａ。Ｘ）

其中ｂｅｔａ为系数矢量，ｘ为设计矩阵。ｆｕｎ为参数返回一个拟合Ｙ值的ｙｈａｔ矢量。ｂｅｔａＯ为包含系数初始值的矢量。

●［ｂｅｔａ，ｒ，Ｊ］＝ｎｌｉｎｆｉｔ（Ｘ，Ｙ，ｆｕｎ，ｂｅｔａ０）返回拟合系数（ｂｅｔａ）、残差（ｒ）、和雅可比矩阵Ｊ，这些参数可以用于ｎｌｉｎｔｏｏｌ函数，生成预测值的误差估计；或用于ｎｌｐａｒｃｉ函数生成系数的误差估计。

２．２ｎｌｉｎｔｏｏｌ函数

使用ｎｌｉｎｔｏｏｌ函数可以对数据进行非线性方程拟合并交互图形显示，其调用格式如下：

·收稿日期：２００８—１０－２３

作者简介：董大校（１９６５一），男，云南省临沧市人，副教授，主要从事数学教学科研工作．

·４６·云南师范大学学报（自然科学版）第２９卷

●ｎｌｉｎｆｉｔ（ｘ，ｙ，ｆｕｎ，ｂｅｔａ（））为一预测图，它提供数据（ｘ，ｙ）的非线性曲线拟合。它用两条红色曲线来表示预测值的９５％置信区间。ｂｅ啪为一矢量，包含参数的初值。ｆｕｎ参数为一函数，该函数具有ｙｈａｔ＝ｍｙｆｕｎ（ｂｅｔａ，Ｘ）的形式：

其中ｂｅｔａ为系数矢量，ｘ为设计矩阵。

ｎｌｉｎｔｏｏｌ函数显示一个图形“矢量”，其中的每个图形对应于输入矩阵Ｘ的每一列。响应变量Ｙ为一列矢量，与ｘ的行数相匹配。

●ｎｌｉｎｔｏｏｌ（ｘ，Ｙ，ＦＵＮ，ｂｅｔａ０，ａｌｐｈａ）用图形表示预测值的１００（１一ａｌｐｈａ）％置信区间。当ｘ为矩阵时，将为每一列单独生成图形，应变量Ｙ为一列变量，对应于Ｘ的行。ａｌｐｈａ（）的默认值为０．０５生成９５％置信区间。

２．３ｎｌｐｒｅｄｃｉ函数

可利用ｎｌｐｒｅｄｃｉ函数计算非线性模型预测值的置信区间，其调用格式如下：

●ｙｐｒｅｄ＝ｎｌｐｒｅｄｃｉ（ＦＵＮ，ｉｎｐｕｔｓ，ｂｅｔａ，ｒ，Ｊ）给定拟合参数（ｂｅｔａ）、残差（ｒ）和和雅可比矩阵（Ｊ），返回预测响应。输入是非线性函数中独立变量的数值矩阵。

２．４ｎｌｐａｒｃｉ函数

可利用ｎｌｐａｒｃｉ函数计算非线性模型中参数估计值的置信区间。

●ｎｌｐａｒｃｉ（ｂｅｔａ，ｒ，Ｊ）给定拟合参数（ｂｅｔａ）、残差（ｒ）、和解处的雅可比矩阵（Ｊ），返回非线性最小二乘参数估计（ｂｅｔａ）的９５％置信区间ｃｉ。ｎｌｐａｒｃｉ函数使用ｎｌｉｎｆｉｔ函数的输出作为输入。

２．５ｒｅｇｒｅｓｓ函数

用ｒｅｇｒｅｓｓ函数进行多元线性回归。

●［ｂ，ｂｉｎｔ，ｒ，ｔｉｎｔ，ｓｔａｔｓ］＝ｒｅｇｒｅｓｓ（ｙ，ｘ，ａｌｐｈａ）给出ｂｉｎｔ和ｔｉｎｔ的１００（１一ａｌｐｈａ）％置信区间。２．６ｓｔｅｐｗｉｓｅ函数

用ｓｔｅｐｗｉｓｅ函数进行逐步回归，它使用交互环境进行分析。其调用格式如下：

●ｓｔｅｐｗｉｓｅ（ｘ，Ｙ，ｉｎｍｏｄｅｌ，ｐｅｎｔｅｒ，ｐｒｅｍｏｖｅ）指定模型的初始状态和要使用的置信区间。ｉｎｍｏｄｅｌ为长度为ｘ中列数的逻辑矢量。ｉｎｍｏｄｅｌ指定包含在初始模型中的自变量。默认时不包含ｘ中的列。ｐｅｎ—ｔｅｒ指定引入自变量的最大Ｐ值，默认时为０．０５。ｐｒｅｍｏｖｅ指定剔除自变量的最小Ｐ值，默认时为０．１０。

３实例验证

３．１反应动力学模型

反应动力学中的Ｈｏｕｇｅｎ—Ｗａｔｓｏｎ模型是非线性模型的一个典型例子。其模型如下：

口ｌ·菇２一Ｘ３佃５

ｒａｔｅ２—瓦了■啄－＿ｉ而

其中：卢。，届：，…，风为未知参数，石。，算：和戈，为三个输入变量。三个输入为氢（ｈｙｄｒｏｇｅｎ）、ｎ一戊烷（ｎ—ｐｅｎｔａｎｅ）、异戊烷（ｉｓｏｐｅｎｔａｎｅ）。上述模型显然为多元非线性模型。文件ｒｅａｃｔｉｏｎ．ｍａｔ包含了反应的仿真数据。

通过计算可知，反应动力学Ｈｏｕｇｅｎ—Ｗａｔｓｏｎ模型中的５个未知参数为

卢ｌ＝１．２５２６，／３２＝０．０６２８，岛＝０．０４，／３４＝０．１１２４，岛＝１．１９１４最终模型为：ｍｔｅ＝ｒｉ矿丽西１．２＿５ｉ２６了‘百ｘ２面－Ｆｘ／ｉ１—．１＿石９１１：４瓦ｒｉ

３．２财政收入预测［３１

财政收入与国民收入、工农业总产值、人１２、就业人１２、固定资产投资等因素有关。采用逐步回归分析构造预测模型。以财政收入作为因变量Ｙ，自变量为国民收入（鼻。）、工业总产值（茹：）、农业总产值